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1、 让“线段图”在小学数学教学中绽放异彩六上分数乘法解决问题教学实践及反思“老师，我这道行程问题解不出来！”“你可以画线段图理解一下，试试？”“分数、百分数解决问题好难！单位“1”都找不清楚!”“你先画线段图理理数量关系，可以吗？”在中高年级的数学课堂中经常听到这样的对白。是的，“画线段图”这一潜质性的数学学习方法，是数学问题解决中常用的一种思考策略，它能将题中蕴含的抽象的数量关系以形象、直观的方式表达出来，更清楚地反映出数量关系、结构特征，沟通学生与教师之间的思维过程之间的联系，帮助学生自己分析应用题中的数量关系，培养学生“比较”等逻辑思维能力。原来的我一直从事小学低段数学教学，说实话，对于“
2、线段图”,可以说基本不重视，上课很少涉及到这个内容，当然教材上也没有专门安排有关线段图的教学，后来为了能熟悉小学阶段所有新课程的数学教材，我走进了中高段的数学课堂，越到高年级，我越能感受到“画线段图”解决问题这种学习方法的价值。一、初次尝试，发现“线段图”教学的缺失2010年9月刚开学不久，教研员安排我要上一节研讨课分数乘法解决问题：求一个数的几分之几是多少。打开六上数学教材，分数、百分数的解决问题教学占了一大半，是这册教材的重点和难点，而分数、百分数问题在解决问题的过程中，“画线段图解题”是最基本、最常用的解题方法。求一个数的几分之几是多少是这块内容的第一课时，所以我在备课的过程中，当然得考
3、虑让学生利用“线段图”这一工具来解决分数乘法应用题。第一次备课主要流程如下：一、数形结合、复习引入1、出示线段图，学生口头列式，并说说自己的想法。课件出示：一条线段表示120 1203=360 （表示120的3倍是多少？） 1201=120 （表示120的1倍是多少？） 1201/2=60 (表示120的1/2是多少?) 1203/4=90 (表示120的3/4是多少?)反馈交流。小结：求一个数的几倍或求一个数的几分之几用乘法计算。2、出示例题：某水果小超市共有水果450千克，其中苹果占水果总量的2/5。苹果有多少千克?（我的思考：我这样设计原本是希望学生能够通过知识迁移来理解新知，因为求一个
4、数的几倍是多少，学生已经非常熟悉了，而求一个数的几分之几是多少，和前者数量关系是相同的，同时一开始就利用线段图来引入，数形结合，可以更好地帮助学生理解新知。在第一次试教的过程中，确实也达到了预期的效果，但是也带来了负面效应：由于第一个环节之后小结得到求一个数的几倍或求一个数的几分之几用乘法计算这样的结论。聪明的孩子们，在后面的练习中，先列出乘法算式，然后为了应付题目要求，懒洋洋地画线段图，似乎画线段图是个累赘，这样的话，就变成为了画线段图而画线段图，而不是利用线段图帮助自己解题了。）二、讨论交流、探索方法1、放手让学生独立去分析问题：要求出示：想一想，应重点抓住哪个已知条件分析？如何去分析？（
5、从意义、线段图、列数量关系式）2、反馈，交流3、丰富例题：如果题目让你求菠萝有多少千克？你能求吗？补充条件：菠萝占水果总量的1/5。学生可以画线段图或者抓关键句，列数量关系式解决问题。再补充条件：如果让你求其他水果一共有多少千克？你能求吗？4、小结：求一个数的几分之几，这一类分数乘法应用题，你在解决问题的过程中，可以画一画线段图或者列数量关系帮助自己解决问题。（我的思考：我原本认为六年级的学生对于画线段图应该没有多大的问题，所以在新知探究的过程中，放手让学生利用各种方法解决问题，自己画线段图或者列数量关系式，而我只需要在学生完成后小结一下就可以了。然而在这次试教中出现了尴尬：画线段图解决的孩子
6、，线段图画得很慢、很乱、很不规范，我一看不对，于是新课暂停，花了10多分钟的时间和孩子们一起根据题意学画线段图，然后再探讨如何抓关键句，列数量关系式，这样一忙活，以下巩固练习“填空”刚出示，下课的铃声就响了。一节课下来感觉我和学生都挺忙的，忙碌之后反思：这节课我要教给学生什么？学生需要什么？）三、巩固深化，拓展延伸1、填空：鸡的只数是鸭只数的，鹅的只数是鸡只数的，求鸡的只数（ ）（ ） 求鹅的只数（ ）（ ）三种家禽中（ ）数量最多，（ ）数量最少；2、基本练习（题组形式出现）3、收集班级中男女生人数与总人数的关系，编一道用分数乘法计算的应用题。第一次试教结束后，我们年级组所有数学老师根据这节
7、课展开了讨论，我们知道分数乘法解决问题是在学生理解并掌握分数乘法的意义以及分数乘法的计算方法基础上进行教学的。教材一共安排了3个例题，例1教学解答求一个数的几分之几是多少的问题，例2和例3教学稍复杂的求一个数的几分之几是多少的问题。另外在例1之后的练习四中渗透了两步连乘的练习题，应该说这是对例1教学内容的一个延伸。例1求一个数的几分之几是多少的问题是分数应用题中最基本的，也是最重要的。不仅分数除法应用题以它为基础，很多复合的分数应用题也是在它的基础上扩展的。因此，使学生掌握这种应用题的解答方法对他们今后进一步学习较复杂的分数应用题具有重要的意义。基于此，根据第一次试教后学生的课堂反应，加上课后
8、对学生所做的有关线段图的前测，（在第一次试教结束后，我心存困惑:六年级的学生画线段图的能力怎么这么差？难道是班级的缘故？于是我另外挑了2个班的学生，对于画线段图的水平进行了一个前测，题目呈现：红花有10朵，是白花的2倍。两种花一共有多少朵？结果两个班完全画正确的只有8人，占总人数7.4%，特别是问题如何表示不明确，画出的线段图五花八门。这一结果确实让当时的我很吃惊！）于是我们年级组老师最后讨论决定把例1分成3个课时完成，第一课时重点让学生通过“画线段图”理解题意，明确数量关系，正确解题；第二课时重点让学生根据题意，学会“抓关键句列数量关系式”解决问题；第三课时重点是结合练习四，对例1教学内容进
9、行扩展(两步连乘问题)。在年级组老师的指导和帮助下，我进行了第二次备课，着重点放在“线段图”教学上。二、目标定位，确立“线段图”教学的地位因为借助线段图分析问题，解决问题是解答分数乘法应用题的一种重要的策略，特别是数量关系相对复杂的分数应用题，而我们的孩子通过画线段图帮助自己解题的能力欠缺,所以这节课的目标定位放在“线段图”教学上，因此我预设了以下教学目标：学生在理解分数意义和分数乘法意义的基础上，通过对比、讨论交流，能初步会画“包含关系”和“并列关系”的两个量的线段图。学生能借助线段图，学会分析分数乘法应用题的数量关系，正确解答求一个数的几分之几是多少的实际问题。学生经历分析数量关系的过程，
10、提高学生分析能力和解决问题的能力，培养学生认真审题，仔细计算的好习惯。教学重难点在于学生能根据题意画出线段图，以线段图为突破口，借助线段图理解数量关系，正确地解答求一个数的几分之几的问题，为后续学习做好铺垫。三、多次实践，演绎“线段图”教学的精彩片断一：复习引入，课件出示分数： 师：你能说说这个分数的含义吗？生: 表示把单位“1”平均分成4份，取其中的3份。课件再出示关键句：女生人数占学生总人数的 师：读一读，说说这句话的意思。生1：这句话表示把学生总人数平均分成5份，女生人数占其中的2份。生2：这句话就是把学生总人数看作单位“1”，把单位“1”平均分成5份女生人数占其中的2份。师提出要求：请
11、你用线段图把这句话的意思表示出来。学生独立完成后，教师选择优秀的学生作品进行展示，同时，要求学生根据题意规范线段图的画法（具体的量和分率一般分别写在线段图的下面和上面。）（我的思考：从理解一个分数的意义入手，进而理解一句关键句的意义，循序渐进，为后面的解决问题做好了铺垫。同时根据提供的关键句尝试画线段图，尽管学生笔下所出现的线段图并不十分完美，但是在优秀作品展示之后，学生会通过模仿，不断修改着自己的线段图，从而明白应该如何规范地根据题意画线段图。）片断二：新知探究部分第一知识要点，即解决问题中出现“包含关系”的两个量，如何根据题意画线段图理解，从而解决问题。师：“女生人数是学生总人数的”，我们
12、给这句话加个开头“学校合唱队共有学生50人”，这个开头在线段图中怎么表示出来？一起补充刚才画的线段图。（这时补充线段图对于学生来说基本没有问题，唯一区别在于有的孩子在线段图上标出的信息比较详细，而有的孩子则很简洁。）师：根据已知条件，你觉得可以解决哪些问题？生1：女生有多少人？生2：男生有多少人？师：这两个“问题”在线段图中你觉得该怎么表示出来？（学生进一步完善刚才的线段图）出示完整例题：学校合唱队共有学生50人，女生人数是学生总人数的。女生有多少人？男生有多少人？师：我们画的线段图能把题目的意思表示出来吗？线段图和文字表述，哪个更容易理解？刚才是怎么画出线段图的？（学生各抒己见，阐述自己刚才
13、如何根据题意画线段图的）教师小结线段图的画法：我们应该根据题意明确单位“1”,然后把单位“1”平均分成几份，最后看看要求的量占了单位“1”的几分之几。学生根据线段图，理解题意，列式解答。（自由选择问题解决，时间2分钟）反馈交流：女生有多少人？学生说自己的想法。（求女生人数就是求50的是多少） 生1：50=20（人） 生2：5052=20（人）男生有多少人？（求男生人数就是求50的是多少）生1：50-20=30（人） 生2：50（1- ）=30（人）生3：50-50=30（人）反馈交流后的尝试练习：一袋苹果重60千克，卖掉了它的，卖掉多少千克？学生根据题意画出线段图，并列式解答。（我的思考：纵观
14、小学数学教材，线段图的画法归纳起来一般有两种形式：如果题中的几个量是整体和部分关系时，要画单线分段图；如果几个量是并列关系时，要画复线并列图。以上教学环节就是让根据题意学画单线分段图，由于是第一课时，所以只涉及了两个量。整个教学过程，对于学生来说，是一个不断修正、逐步完善的过程，从提供的一句关键句入手，然后加上条件，最后给出问题，在逐步完善线段图的过程中，让学生明白如何根据题意正确规范地画出线段图，再利用线段图理解题意，解决问题。）学生作业过程呈现：女生？人“1”总人数50人女生占2/5男生？人“1”学生总人数女生占2/5“1”总人数50人女生占2/5（根据关键句画线段图） （提供条件） （提
15、出问题）片断三：探究部分第二知识要点，即“并列关系”的两个量。 50人“1”（1）课件出示合唱队：提供条件1：鼓乐队的人数是合唱队的2倍。鼓乐队有多少人？根据提供的条件，学生在作业纸上接着画线段图，并解答。提供条件2：舞蹈队的人数是合唱队的，舞蹈队有多少人？根据提供的条件，学生在作业纸上接着画线段图，并解答。（2）交流反馈，并且揭题：求一个数的几分之几是多少舞蹈队：“1”50人？人合唱队：是合唱队的1/2“1”？人50人2/5（3）比较：都是以“合唱队”为单位“1”，为什么线段图的画法会不一样呢？（4）小结：根据题意画线段图，如果一个量和这个量的部分量，即几个量之间有包含关系的，一般画一条线段
16、；如果比较的量之间是并列关系的，一般画两条线段，这样可以更清晰地理清数量关系。（我的思考：这个环节一开始涉及两个量的线段图是用整数的倍数关系作为桥梁引入的，而且作业纸上合唱队50人已在线段图上表示出来，也就是线段图已经画好一半，原本的设计是全部让学生画的，可是在第二次试教的过程中发现，学生对于两个量的线段图，更画不好，有的把两个量挤在一条线段上，数量关系不清晰，不明白谁是单位“1”的量，有的画出的两条线段，左端不对齐，而且每份的长短不统一，真是五花八门。所以在第三次备课时，我听取了年级组马老师的建议，先用倍数引入，作业纸上画好一半，引导学生画另一个量时要重画一条线段，并对“并列关系”两个量的线
17、段图的画法进行规范，然后再次提供条件：舞蹈队的人数是合唱队的1/2。有了前一次的经验，大部分的学生能根据题意画出线段图解决问题。最后小结这个环节主要想告诉学生在解决问题的过程中，应该根据不同的题目类型选择画不同的线段图，以便更清晰地理清数量关系，帮助自己解决问题。）四、教后反思，形成“线段图”教学板块研讨课上完之后，我一直心存疑惑：1、数十年占据数学教材的线段图，是否需要我们教师进行系统教学？如果需要，线段图教学适宜从几年级开始？如果需要，每个年级段线段图教学要求该如何把握？2、对线段图进行开发和教学，是否拔高或偏离了新课程的教学要求。带着这些疑惑，我翻阅了大量的杂志，上网查阅很多特级教师关于
18、阐述线段图的文章，期望从中能找到答案。从专家的文章中能感受到，线段图是师生数学教与学活动的有效工具之一，这是毋庸置疑的，择取部分老师的见解予以强调：如论文浅谈线段图在小学应用题教学中的作用的作者阐发线段图能使题目中的数量关系更形象，线段图可以提高学生判断的准确性，线段图能开拓学生的思维，易使学生形成更简洁的解答方法；俞正强老师则主张线段图教学从低年级开始，应该设置专门的课时；丁爱华老师更是结合“一个数乘小数意义”的课例，发出“不要冷落线段图”的呼吁等等。看着专家关于线段图的一篇篇论述，结合自己这次六上的研讨课教学经历，我也深深感受到会画线段图解决问题的重要性。线段图是基于数形结合的数学思想，将
19、自然语言转译为图形语言的小学阶段最常用的形式之一，能为数学思维活动提供直观模型，变抽象为具体，以达到化难为易，化繁为简的目的，所以我觉得线段图的运用必须从低年级开始渗透，到中年级开始教学，到高年级能自主运用，让线段图这一解题工具在解决问题教学中发挥它最大的价值。“线段图”是学生数学学习中解决问题的思维“工具”。工具的价值不在其本身，而在于其效用，那么掌握这个“工具”就需要从中低年级培养，早起步，循序渐进，从简单题入手，从小养成画图解题的意识和良好的画图技能技巧，打下坚实的基础，到高年级才能应用自如。而我以前则认为画线段图的解决问题是高年级的事情，是解比较难的题目才使用的方法，低年级那么简单的题
20、目何必浪费时间，小题大做呢？现在自己教六年级了，才真正认识到这种想法是不对的。因为如果从小基础打不牢固，到高年级遇到比较难的应用题，需要画线段图辅助解题的时候，就会画不出来或画不正确，解题的能力就会大大降低，同时会影响思维的发展。那么如何对学生进行有关线段图的教学呢？我觉得需要做好两点：其一需要安排有效的、较为独立的、系统的线段图学习板块，即能形成“线段图”教学体系；其二是从一年级开始，老师就应该充分重视和利用数形结合的相关教材内容形式，进行意识渗透与价值引领。具体安排见下表：年级该册教材关于线段图的教学一 上1、教材“1-5的认识”或者“6-10的认识”中可渗透线段图的教学，展现具体的事物符
21、号化的过程，从实物图到线段图，让学生能初步体会线段图表示数量的功能。如：有6只蝴蝶，可以怎么表示？ 表示一： 表示二： 表示三：2、利用数形结合的教学内容形式，在平时的教学进行线段图的意识渗透。如下图： 其实呈现的是“更直观的线段图”。 ?一 下年级在这册教材中，除了平时利用图示，即“更直观的线段图”让学生感受之外，还可以在教材P72页，教学“一个数比另一个数多（少）几”即求相差数，在这节课中可适当渗透两个量的“直观复线并列图”，帮助学生理解，求相差数为什么用减法计算！如：小雪小磊小磊比小雪多几朵？小雪得7朵花，小磊得了10朵花，小磊比小雪多得几朵花？该册教材关于线段图的教学一下求小磊比小雪多
22、几朵花，得让小磊减去和两个人相等的部分。这样很直观，学生也容易理解，同时为后续学习复线并列图做好了铺垫。二 上1、 教学中继续利用数形结合的相关教材内容形式，作业练习中也能让学生直观感知线段图。？个2、 教材P76解决问题：倍的初步认识，以及P77例题4解决问题，（人教版教材中首次出现线段图），这几节课可以充分利用好线段图。帮助学生理清“倍数关系”，可以先利用具体的事物摆一摆、画一画，然后逐渐符号化，这个阶段可以教师先示范画，学生仿画。如：二 下在这册教材中，P54解决问题例题2：求一个数是另一个数的几倍。增加线段图教学完全可以帮助学生更好地理解倍数关系。（两个量之间的关系）如：第一行摆： 第
23、二行摆： 是的（ ）倍？（从具体的图形过渡到用线段表示）黄花的朵数是红花的几倍？ 红花：黄花：5朵15朵三 上1、该教材第二单元：万以内的加减法，P15-P33。在这个单元中，教师应充分利用线段图直观、简洁和有效概括的特点，体现线段图可以表示较大数量的功能，同时能在老师的指导下初步感知用线段图理数量关系。三 上2、教材第七单元：分数的初步认识，P91-P103。这个单元加入线段图的教学可以说是学生学习分数百分数应用题的基础，教材中也出现相关练习，教师应好好利用这一资源。如： 三下这册教材教学时需要增加一节课：关于“线段图的认识”。目的是让学生在原有的基础上进一步认识线段图，学会用线段图帮助思考
24、问题。可以通过四个活动让学生感受线段图的价值：活动一：自然语言：苹果比桔子少3个。这句话用什么图形或符号表示比较方便？让学生画一画，体会线段图比较简洁的特点。活动二：用线段图表示下列语言：（1）30只鸡和25只鸭。（2）苹果300筐，梨比苹果多100筐。对较大的数量的处理，让学生进一步感受线段图的优越性。活动三：白猫有30只，是黑猫的3倍。学生画一画。线段图表示出变化着的数量关系，更直观，帮助学生理清数量关系。活动四：用语言描述下列线段图所表示的意义。（略）这里出示的线段图有“单线分段图”和“复线并列图” 进一步理清部总关系、相并关系，让学生从不同样式的线段图中，初步梳理线段图的本质属性。四上
25、这册教材第三单元“行程问题”，教师应充分发挥线段图的功能，让学生自己尝试根据题意画出线段图，分析数量关系。四下四下教材第一单元“归一问题”和第八单元的“植树问题”均可渗透线段图教学，由于有了中低段关于线段图的学习的基础，在四年级应逐渐放手让学生学会使用这一工具帮助自己解决问题。五六年级五上“双归一问题”、五下“分数的意义和性质”，特别是六年级上册教材“分数、百分数应用题”，更需要线段图来帮助学生解决问题了，这时候学生会真正感受到“线段图”这一解题工具的重要性。由此可见，线段图的教学并不是一蹴而就的，它需要贯穿于整个小学数学教学之中，在一、二、三年级，由于学生的思维处于形象思维发展的初始阶段，教
26、师应当是线段图教学构造的先行者、示范者、指导者，帮助学生获得画线段图的基本方法和技能，引导学生利用线段图的形象性理解抽象的数量关系；而到了四、五、六年级，学生的思维处于具体形象思维主导期，教师可以放手让学生从自己的知识经验出发自主构造线段图，增强学生运用线段图的自觉性，特别是到了六年级，有些时候解决问题，学生就可以灵活运用线段图或者画简单线段图快速解决问题了。另外，数学教师在指导学生画图解题的过程中应提醒学生做到三点：一是要认真读题，全面理解题意，所画的图要与题目中的条件相符合。二是图中线段的长短要和数值的大小基本一致，比如小的数据要平均分，数据大的可以进行“估计分”，但不要长的线段标出小的数据而短的线段标出大的数据。三要按照题目的叙述顺序，在图上标明条件，找准数量间的对应关系，明确所求的问题。我觉得画线段图不是最后的目的，它只是解决问题的辅助工具，要让学生“我画因我需”。当他们解决问题身陷困境时，能很自然地想到利用画线段图帮助解题。而这个工具的获得，就需要我们老师从一年级开始就重视学生画线段图的能力，教给学生这种简洁有效的学习方法，让“线段图”在小学数学教学中发挥奇妙的作用，绽放特有的光彩！
