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1、 陕西师范大学本科毕业论文(设计)开题报告论文题目： 矩阵的初等变换及其应用 学生姓名： 黄敏 指导教师： 任芳国 副教授 专 业： 数学与应用数学 班 级： 2007级4班 学 号： 40705212 填写要求1开题报告作为毕业论文（设计）答辩委员会对学生答辩资格审查的依据材料之一。此报告应在指导教师的指导下，由学生在毕业论文（设计）工作前期内完成，经指导教师签署意见及所在系审查后生效；2开题报告内容必须用黑墨水笔工整书写或按教务处统一设计的电子文档标准格式（可从教务处网址上下载）打印，禁止打印在其它纸上后剪贴。开题报告完成后应及时交给指导教师签署意见；3学生查阅资料的参考文献应不少于5篇（
2、不包括辞典、手册）；4有关年月日等日期的填写，应当按照国标GB/T 740894数据元和交换格式、信息交换、日期和时间表示法规定的要求，一律用阿拉伯数字书写。如“2006年4月26日”或“2006-04-26”。5该报告由学院统一保存。陕西师范大学数学与信息科学学院 数学与应用数学 专业2010届本科毕业论文（设计）开题报告学生姓名黄敏学号40705212论文（设计）题目矩阵的初等变换及其应用选题的意义：矩阵初等变换是线性代数里面的一项重要内容，也是线性代数的一个重要工具，它在处理线性代数的有关问题时具有一定的独特作用，如求逆矩阵、求矩阵的秩、求过渡矩阵、求向量组的秩及向量组的极大线性无关组、
3、解方程组、化二次型为标准型等。初等变换的应用几乎贯穿线性代数内容的始终，几个主要概念和计算几乎都涉及到。它正如一只看不见的手，将线性代数各个部分看似零散的知识点统一起来，形成一个整体。同时，作为矩阵运算的一种方法，其在高等代数中有着极为重要的地位，也是高等代数的教学重点和难点。虽然初等变换的内容比较简单, 但它贯穿于整个高等代数理论的始终, 应用初等变换证明命题, 过程容易被接受。 所以, 许多学者们也在不断地挖掘初等变换的潜力, 尽量用它来描述、证明、计算各种问题，使初等变换能在数学领域及其它科学领域中发挥更大的作用。但是目前国内关于矩阵初等变换的研究多是就其在某一方面如二次型、解方程组等的
4、应用，而国外很多矩阵、线性代数方面的研究基于矩阵的初等变换，一其为研究的工具，却缺少矩阵初等变换的专论。因此，一方面矩阵的初等变换处境尴尬，作为必不可少的工具却不被重视，另一方面即使被重视，关于它的理论知识、研究成果凌散、不系统。本文旨在综合前人在矩阵初等变换方面的诸多研究，对矩阵初等变换的相关理论成果做全面的梳理整合，使矩阵初等变换的理论更全面、细致，同时在借鉴前人的基础上，提出自己的新见解，希望能对矩阵理论的教学提供参考作用。研究综述（前人的研究现状及进展情况）：“高等代数”课是本科数学专业的一门重要的基础课，也是理工科大学各专业的重要数学工具，它对数学专业的许多后继课程有直接影响，关系到
5、学生数学素质的培养。在高等代数中, 初等变换虽然算不上是重点也算不上是难点, 但它却是高等代数理论研究的一个必不可少的工具, 许多繁琐的问题通过初等变换可使过程大大化简。目前国内的高等代数教材比较多，如由高等教育出版社出版，北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编著的高等代数（第三版），全书共10章，内容包括多项式、行列式、线性方程组、矩阵、二次型、线性空间、线性变换、-矩阵、欧几里得空间、双线性函数与辛空间。刘仲奎、杨永保、程辉、陈祥恩所编，高等教育出版社出版的高等代数内容包括：行列式、多项式与矩阵、向量空间、线性方程组、线性变换、欧氏空间等。西北工业大学高等代数编写组编，科学出版社出版的
6、高等代数一书共分14章，几乎包含了高等代数的全部内容，研究对象从比较具体的行列式、矩阵、向量、线性方程组、多项式、相似变换、二次型、矩阵到比较抽象的线性空间、线性变换、欧氏空间、酉空间、双线性函数，进而介绍近世代数的有关内容。姚慕生、吴泉水编著，复旦大学出版社出版的高等代数学（第二版）一书以线性空间为纲，在线性空间的框架下展开高等代数的主要内容. 内容包括：行列式、矩阵、线性空间和线性变换、多项式、特征值、相似标准型、二次型、内积空间和双线性型等。由上可见，几乎在所有的高等代数教科书中, 都已经介绍了利用初等变换可以求行列式的值、求逆矩阵、判断线性方程组解的存在问题、求线性方程组的基础解系、求
7、一个向量由一组向量线性表示、判断向量组的线性相关性、求矩阵的秩等。除此之外, 初等变换还可以用于求多项式的最大公因式、求特征值与特征向量、求标准正交基。但目前并没有专讲矩阵的初等变换方面的书籍。通过查阅中国期刊全文数据库了解到目前涉及矩阵初等变换方面的研究论文有：杨甲山的初等变换的应用，文中提到矩阵的初等变换在关于行列式、线性相关性问题中的应用；蔡若松、张莉所著初等变换应用浅议一文提出了使用初等变换求多项式的最大公因式、求特征值与特征向量、求标准正交基的一种新尝试。李桂荣、刘学鹏关于线性方程组解结构的进一步研究用分块矩阵的性质和特点得到了一般线性方程组解存在的充分和必要条件。王小为矩阵初等变换
8、的独立性提出矩阵的三种行初等变换不是独立的，第三种可由前两种变换实施得到。和斌涛矩阵初等变换的若干应用谈到利用矩阵初等变换求多个多项式的最大公因式的方法，并利用此方法求解n元一次不定方程和线性同余方程组。谭军矩阵初等变换的一些性质及应用对初等变换在线性代数课程中的应用做了全面的列举，其中独到之处是提到用初等变换求的子空间与的和与交的维数。王成、饶成军矩阵初等变换的应用研究应用矩阵的初等变换求两个整数的最大公因数、最小公倍数、求m个整数的最大公因数、多项式的最大公因式、最小公倍式。从以上文献资料来看，目前对矩阵的初等变换的研究内容主要集中在矩阵初等变换的性质及应用方面，具体包括以下几点：1.性质
9、：对矩阵作行的初等变换，不改变列向量之间的线性关系，进行行初等变换对矩阵行向量线性关系的影响。n阶可逆矩阵A经基本初等变换可化为特殊对角形式；对于-矩阵，也有相应类型的初等变换和初等矩阵，上述结论同样成立。不改变矩阵的秩、不改变向量组的线性相关性。矩阵的三种初等变换间的关系。2.应用：在行列式、多项式、线性空间、二次型、矩阵、解方程、向量组、线性方程组方面的应用。虽然，各种版本的高等代数方面的教材都广泛地涉及矩阵的初等变换，国内外对矩阵初等变换的研究也取得了较大的进展，但是目前关于专写矩阵的初等变换，全面细致的论述矩阵的初等变换的相关理论及应用的文章所占比例却不是很高。论文（设计）写作提纲（除
10、题目外，具体到三级标题）：矩阵的初等变换及其应用中文摘要英文摘要关键词一、引言1.1选题的背景1.2前人研究综述1.3选题的意义二、预备知识 2.1矩阵的行初等变换 2.2矩阵的列初等变换 2.3矩阵初等变换的表示-模式图法三、矩阵初等变换的性质3.1三种初等变换之间的关系3.2 行初等变换对矩阵列向量的影响3.3行初等变换对矩阵行向量的影响3.4初等变换不改变矩阵的秩3.5初等变换不改变向量组的线性相关性四、矩阵初等变换的应用4.1在行列式中的应用 4.2在线性相关问题中的应用4.3在数论中的应用 4.3.1用初等变换求整数的最大公因数、最小公倍数 4.3.2初等变换与多项式4.4初等变换在
11、线性空间中的应用4.5初等变换与矩阵 4.5.1数字矩阵 4.5.2分块矩阵4.6初等变换与二次型4.7用初等变换解方程参考文献致谢特色与创新之处：本文通过对比矩阵初等变换方面的各种理论，取长补短，总结优势，同时阐明自身对于矩阵初等变换方面的一些理解，并且对一些开发性问题提出自己一些看法与设想，使矩阵的初等变换这一高等代数中的重要主线更明显的突现出来，以期给以后的数学工作者、本科数学专业的学生提供方便，特别是促进矩阵方面的研究工作的进一步开展。拟采用的研究方法和技术路线：1.文献法: 文献法是数学理论研究中最常用的研究方法之一，主要通过网上查找期刊文章或阅读相关书籍、专著等途径来获得研究资料，
12、从多角度对矩阵初等变换的研究动态、理论经验进行及时地把握和比较，为本文提供大量有关矩阵初等变换理论及应用方面的文献基础。2.类比研究法：本文是理论型研究课题，可采用理论类比研究法，主要通过对所获资料进行研读，通过类比，博采众长，同时可借鉴老问题的研究方法解决新问题。研究工作进度安排：第一阶段：2010年12月24日2011年3月11日，通过各种方式查找相关资料（包括书籍，期刊，报刊外文资料），进行论文的初步构思第二阶段：2011年3月12日3月14日，在老师的指导下完成论文摘要第三阶段：2011年3月15日3月24日，在老师的指导下完成论文的第一部分与第二部分第四阶段：2011年3月25日4月
13、6日，在老师的指导下完成论文的第三部分、第四部分及参考文献第五阶段：2011年4月7日5月初，对论文进行反复修改、定稿第六阶段：2011年5月8日，提交论文及相关材料（包括论文打印版、电子版、写作日志、论文独创性说明、英文翻译原文及译文等）主要参考文献目录：1北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数（第三版）M.高等教育出版社，2003.2李志慧,李永明.高等代数中的典型问题与方法M.科学出版社，2008.3刘仲奎,杨永保.高等代数M.高等教育出版社，2003.4姚慕生高等代数（第二版）M.复旦大学出版社，2008.5宋玉霞,王文省.用矩阵的初等变换求商和余式J.大学数学，2005(
14、1).6李德联.谈矩阵初等变换的独立性J.新疆职工大学学报，1994(2).7刘平,王庭宽.求过渡矩阵的初等变换法J.石家庄理工职业学院学术研究，2009(3).8岳贵新,从政义. 求多项式最大公因式的矩阵变换方法J.沈阳电力高等专科学校学报，2001(1).9王俊青.论初等变换在高等代数中的应用J.沧州师范专科学校学报，2002,18(3)10许必才.矩阵相似对角化的初等变换求解J.西华大学学报（自然科学版），2005,24(2).11康永海,朱宝彦.矩阵的初等变换在解题中的应用J.松辽学报（自然科学版），1998（3）.12 Larry Smith.Linear algebra.Springer Verlag New York inc Printed in the United States of America 1978.指导教师意见： 签名： 年 月 日教研室主任意见： 签名： 年 月 日
