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1、初中数学各种公式数学各种公式及性质 1 乘法与因式分解 (ab)(ab)a2b2；(ab)2a22abb2；(ab)(a2abb2)a3b3； (ab)(a2abb2)a3b3；a2b2(ab)22ab；(ab)2(ab)24ab。 2 幂的运算性质 aaaa-nmnm+naa；amnm-nanan；(a)a；(ab)ab；n； bbmnmnnnn1-nn0a，特别：；1(a0)。 na3 二次根式 ()2a(a0)；丨a丨；(a0，b0)。 4 三角不等式 |a|-|b|ab|a|+|b|； 加强条件：|a|-|b|ab|a|+|b|也成立，这个不等式也可称为向量的三角不等式 |a+b|a|
2、+|b|；|a-b|a|+|b|；|a|b-bab ； |a-b|a|-|b|； -|a|a|a|； 5 某些数列前n项之和 1+2+3+4+5+6+7+8+9+n=n(n+1)/2；1+3+5+7+9+11+13+15+(2n-1)=n2 ； 2+4+6+8+10+12+14+(2n)=n(n+1)； 12+22+32+42+52+62+72+82+n2=n(n+1)(2n+1)/6； 13+23+33+43+53+63+n3=n2(n+1)2/4； 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3； 6 一元二次方程 对于方程：axbxc0： -bb
3、2-4ac2求根公式是x，其中b4ac叫做根的判别式。 2a2当0时，方程有两个不相等的实数根； 当0时，方程有两个相等的实数根； 当0时，方程没有实数根注意：当0时，方程有实数根。 第 1 页 共 9 页 1 若方程有两个实数根x1和x2，则二次三项式ax2bxc可分解为a(xx1)(xx2)。 以a和b为根的一元二次方程是x2(ab)xab0。 7 一次函数 一次函数ykxb(k0)的图象是一条直线(b是直线与y轴的交点的纵坐标，称为截距)。 当k0时，y随x的增大而增大(直线从左向右上升)； 当k0时，y随x的增大而减小(直线从左向右下降)； 特别地：当b0时，ykx(k0)又叫做正比例
4、函数(y与x成正比例)，图象必过原点。 8 反比例函数 反比例函数y(k0)的图象叫做双曲线。 当k0时，双曲线在一、三象限(在每一象限内，从左向右降)； 当k0时，双曲线在二、四象限(在每一象限内，从左向右上升)。 9 二次函数 .定义：一般地，如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a0)，那么y叫做x的二次函数。 .抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点。 a的符号决定抛物线的开口方向：当a0时，开口向上；当a0时 开口向上 当a0时，对称轴在y轴2aab左侧；0,与y轴交于正半轴；c0,与y轴交于负半轴. b 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则
5、0)抛物线与x轴相交； b有一个交点(D=0)抛物线与x轴相切； c没有交点(D0)抛物线与x轴相离。 平行于x轴的直线与抛物线的交点 第 3 页 共 9 页 3 同一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是ax2+bx+c=k的两个实数根。 一次函数y=kx+n(k0)的图像l与二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图像G的交点，由方程组 y=kx+ny=ax2+bx+c的解的数目来确定： a方程组有两组不同的解时l与G有两个交点； b方程组只有一组解时l与G只有一个交点； c方程组无解时l与G没有交点。 抛物线与x轴两交点之间的距离
6、：若抛物线y=ax2+bx+c与x轴两交点为A(x1，0)，B(x2，0)，则AB=x1-x2 10 统计初步 概念：所要考察的对象的全体叫做总体，其中每一个考察对象叫做个体从总体中抽取的一部份个体叫做总体的一个样本，样本中个体的数目叫做样本容量在一组数据中，出现次数最多的数(有时不止一个)，叫做这组数据的众数将一组数据按大小顺序排列，把处在最中间的一个数(或两个数的平均数)叫做这组数据的中位数 公式：设有n个数x1，x2，xn，那么： 平均数为：x=x1+x2+.+xn； n极差：用一组数据的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方法得到的差称为极差，即：极差=最大值-最小
7、值； 方差：数据x1、x2, xn的方差为s2， 21轾则s=犏(x1-x)+n臌2(x2-x)+.+2(xn-x)2标准差：方差的算术平方根。 数据x1、x2, xn的标准差s， 则s=21轾x-x+犏1n臌(x2-x)+.+第 4 页 共 9 页 2(xn-x)24 一组数据的方差越大，这组数据的波动越大，越不稳定。 11 频率与概率 频率 频率=频数，各小组的频数之和等于总数，各小组的频率之和等于1，频率分布直方图中各总数个小长方形的面积为各组频率。 概率 如果用P表示一个事件A发生的概率，则0P1； P=1；P=0； 在具体情境中了解概率的意义，运用列举法计算简单事件发生的概率。 大量
8、的重复实验时频率可视为事件发生概率的估计值； 12 锐角三角形 设A是ABC的任一锐角，则A的正弦：sinAA的正切：tanA22并且sinAcosA1。 ，A的余弦：cosA，0sinA1，0cosA1，tanA0A越大，A的正弦和正切值越大，余弦值反而越小。 余角公式：sin(90A)cosA，cos(90A)sinA。 特殊角的三角函数值：sin30cos60，sin45cos45tan30，tan451，tan60。 h l ，sin60cos30， 斜坡的坡度：i铅垂高度设坡角为，则itan。 水平宽度13 正弦定理 正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R；注：其中
9、 R 表示三角形的外接圆半径。 正弦定理的变形公式：(1) a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC；(2) sinA : sinB : sinC = a : b : c 余弦定理 b2=a2+c2-2accosB；a2=b2+c2-2bccosA；c2=a2+b2-2abcosC； 注：C所对的边为c，B所对的边为b，A所对的边为a 14 三角函数公式 两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA 第 5 页 共 9 页 5 cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cos
10、AcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA) 倍角公式 tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a 半角公式 sin(A/2)=(1-cosA)/2) sin(A/2)=-(1-cosA)/2) cos(A/2)=(1+cosA
11、)/2) cos(A/2)=-(1+cosA)/2) tan(A/2)=(1-cosA)/(1+cosA) tan(A/2)=-(1-cosA)/(1+cosA) ctg(A/2)=(1+cosA)/(1-cosA) ctg(A/2)=-(1+cosA)/(1-cosA) 和差化积 sinA+sinB=2sin(A+B)/2)cos(A-B)/2 cosA+cosB=2cos(A+B)/2)sin(A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ct
12、gBsin(A+B)/sinAsinB 积化和差 2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) 2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B) 15 平面直角坐标系中的有关知识 对称性：若直角坐标系内一点P，则P关于x轴对称的点为P1，P关于y轴对称的点为P2，关于原点对称的点为P3。 坐标平移：若直角坐标系内一点P向左平移h个单位，坐标变为P，向右平移h个单位，坐标变为P；向上平移h个单位，坐标变为P，向下平移h个单位，坐标变为P.如：点A向上平移2个单位，再向
13、右平移5个单位，则坐标变为A。 16 多边形内角和公式 多边形内角和公式：n边形的内角和等于(n2)180，外角和等于36017 平行线段成比例定理 平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 第 6 页 共 9 页 6 如图：abc，直线l1与l2分别与直线a、b、c相交与点A、B、C和D、E、F， 则有ABDEABDEBCEF。 =,=,=BCEFACDFACDF推论：平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例。如图：ABC中，DEBC，DE与AB、AC相交与点D、E，则有：ADAEADAEDEDBEC =,=,=DBECABACBCABACl1ABC
14、l2DEFAEADabcBCBCDE18 直角三角形中的射影定理 直角三角形中的射影定理：如图：RtABC中，ACB90o，CDAB于D， 则有：CD2=ADBDAC2=ADABBC2=BDAB 19 圆的有关性质 ACDB垂径定理：如果一条直线具备以下五个性质中的任意两个性质：经过圆心；垂直弦；平分弦；平分弦所对的劣弧；平分弦所对的优弧，那么这条直线就具有另外三个性质注：具备，时，弦不能是直径。 两条平行弦所夹的弧相等。 圆心角的度数等于它所对的弧的度数。 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 圆周角等于它所对的弧的度数的一半。 同弧或等弧所对的圆周角相等。 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。 90的圆周角所对的弦是直径，反之，直径所对的圆周角是90，直径是最长的弦。、 圆内接四边形的对角互补。 第 7 页 共 9 页 7
