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1、同济五高等数学复习资料第八章 多元函数微分法及其应用 一、偏导数的求法 1、显函数的偏导数的求法 在求zz时，应将y看作常量，对x求导，在求时，应将x看作常量，对y求导，所运用的是一元函xy数的求导法则与求导公式. 2、复合函数的偏导数的求法 设z=f(u,v)，u=j(x,y)，v=y(x,y)，则 zzuzvzzuzv=+，=+ xuxvxyuyvy几种特殊情况： 1）z=f(u,v)，u=j(x)，v=y(x)，则dzdzuzdv=+ dxduxvdxfv2）z=f(x,v)，v=y(x,y)，则x=x+vx，zfzfv= yuy3）z=f(u)，u=j(x,y)则zdzuzdzu=，
2、xduxyduy3、隐函数求偏导数的求法 1）一个方程的情况 设z=z(x,y)是由方程F(x,y,z)=0唯一确定的隐函数，则 Fz=-xxFz(Fz0)， Fyz=-yFz(Fz0) 或者视z=z(x,y)，由方程F(x,y,z)=0两边同时对x(或y)求导解出zz(或). xy2）方程组的情况 由方程组F(x,y,u,v)=0zz两边同时对x(或y)求导解出(或)即可. xyG(x,y,u,v)=0二、全微分的求法 方法1：利用公式du=uuudx+dy+dz xyz方法2：直接两边同时求微分，解出du即可.其中要注意应用微分形式的不变性： zzdu+dvvu dz= zzdx+dyyx
3、三、空间曲线的切线及空间曲面的法平面的求法 x=j(t)1）设空间曲线的参数方程为 y=y(t)，则当t=t0时，在曲线上对应点P0(x0,y0,z0)处的切线z=w(t)v方向向量为T=j(t0),y(t0),w(t0)，切线方程为 x-x0y-y0z-z0= j(t0)y(t0)w(t0)法平面方程为 j(t0)(x-x0)+y(t0)(y-y0)+w(t0)(z-z0)=0 2）若曲面S的方程为F(x,y,z)=0，则在点P0(x0,y0,z0)处的法向量n=Fx,Fy,Fz切平面方程为 Fx(x0,y0,z0)(x-x0)+Fy(x0,y0,z0)(y-y0)+Fz(x0,y0,z0)
4、(z-z0)=0 vP0 ，法线方程为 x-x0y-y0z-z0 =Fx(x0,y0,z0)Fy(x0,y0,z0)Fz(x0,y0,z0)若曲面S的方程为z=f(x,y)，则在点P0(x0,y0,z0)处的法向量n=fx(x0,y0),fy(x0,y0),-1，切平面方程为 fx(x0,y0)(x-x0)+fy(x0,y0)(y-y0)-(z-z0)=0 v法线方程为 x-x0y-y0z-z0 =fx(x0,y0)fy(x0,y0)-1四、多元函数极值的求法 1 无条件极值的求法 设函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某邻域内具有二阶连续偏导数，由fx(x,y)=0，fy(x,y)=
5、0，解出驻点(x0,y0)，记A=fxx(x0,y0)，B=fxy(x0,y0)，C=fyy(x0,y0). 1）若AC-B20，则f(x,y)在点(x0,y0)处取得极值，且当A0时有极小值. 2） 若AC-B20；后侧取“-”，cosg0；左侧取“-”，cosb0；下侧取“-”，cosa0 高斯公式 右手法则取定的侧 条件：封闭，分片光滑，是所围空间闭区域W的外侧 P，Q，R具有一阶连续偏导数 结论：Pdydz+Qdzdz+Rdxdy=(WPQR+) xyz应用：满足条件直接应用不是封闭曲面，添加辅助面两类曲面积分之间的联系 Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=(Pcosa+Qcosb+R
6、cosg)dS 转换投影法：dydz=(-z)dxdyxdzdx=(-z)dxdy y所有类型的积分： 1定义：四步法分割、代替、求和、取极限； 2性质：对积分的范围具有可加性，具有线性； 3对坐标的积分，积分区域对称与被积函数的奇偶性。 第十一章 无穷级数 1 若级数收敛,各项同乘同一常数仍收敛. 2两个收敛级数的和差仍收敛. 用收敛定义，limsn存在 n注：一敛、一散之和必发散；两散和、差必发散. 3去掉、加上或改变级数有限项, 不改变其收敛性. 一般项级数 常数项级数的基本性质 常数项级数的基本性质 4若级数收敛, 则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛，且其和不变。 常数项级数交
7、错 级数 莱布尼茨判别法 若unun+1且limun=0，则(-1)n-1unnn=1收敛 比较判别法 un和vn都是正项级数，且unvn.若limvn收敛，则un=0n0正项级比较判别法u1若un和vn都是正项级数，且limun=l，则nuvvn2若l=0,v收0l+,un与vn同敛或同散;n比值判别法 uln+1=+nvru1(r=+)时发散；r=1时可能收敛也可能发散. 收敛an=0n1,r0;R=+,r=0;R=0,r=+. xn,liman+1=r,R=nanr幂级数和函数缺项级数用比值审敛法求收敛半径 1在收敛域I上连续;2在收敛域(-R,R)内可导，3且可逐项求导;s(x)的性质
8、和函数s(x)在收敛域I上可积分，且可逐项积分.(R不变,收敛域可能变化). 直接展开:泰勒级数 间接展开:六个常用展开式 11nx=x(-1x1) e=xn (-x0 相异实根r1，r2 二重实根r0 共轭复根r1,2y=c1er1x+c2er2x y=(c1+c2x)er0x y=eax(c1cosbx+c2sinbx) p2-4q=0 p2-4q0 =aib *非齐次方程y+py+qy=f(x)的特解y的形式为： f(x)的形式 特征根情况 y*的形式 Qm(x)erx r是单根k=1xkQm(x)eax r是二重根k=2(1)(2)eaxQxcosbx+Q()(x)sinbxmm (1)(2)xeaxQxcosbx+Q()(x)sinbxmm r不是特征根 Pm(x)erx r是k重特征根 el(x)cosbx+Pn(x)sinbxP axaibaib不是特征根 是特征根
