圆的一般方程(1).docx

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1、圆的一般方程圆的一般方程教学设计 一、教材分析 教材是在圆的标准方程的基础上得出了圆的一般方程，然后分析方程特点，即讨论系数在通过配方观察方程何时表示圆、何时不是圆，判断的标准是圆的标准方程，这样做紧扣圆的几何特征，最后得出二元二次方程表示圆的充要条件，使学生加深对圆的一般方程的认识与记忆，认识到标准方程与一般方程的联系与区别。并对数学中分类思想，对比记忆等思想有更深的了解和掌握。 教材配备了两个例题，例3利用圆的标准方程求同心圆方程：例4则是利用待定系数法通过一般方程解过三点的圆的方程，这是数学中常用的一种方法。 二、学情分析 学生是在已有知识的基础上能够推导出圆的一般方程，并能初步利用圆的

2、标准方程的特点研究圆的一般方程，学生在利用圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0解决问题时，常忽略表示圆的条件D2+E2-4F0，灵活使用圆的方程的两种形式解决问题是学生学习的难点。 三、本节渗透的数学思想及教学方法分析 根据以上教材分析，贯彻以启发性教学原则，教师引导，学生学习为主体的教学思想，分析与讨论结合。 1、经历用待定系数法求圆的方程的过程，它是数学中常用的一种方法，在学习过程中体会用代数方法解决几何问题的思想。 2、圆的一般方程含有三个参变量，需要三个条件才能确定圆，树立利用方程的思想求解参数变量。 3、引导学生分析两个方程之间的互化关系，选择两个方程解决问题的条件和优缺点。

3、4.教学中体现了转化、数形结合及方程的数学思想方法。 四.教学目标 知识与技能： 1).掌握圆的一般方程及一般方程的特点 2).能将圆的一般方程化成圆的标准方程，进而求出圆心和半径 3).能用待定系数法由已知条件求出圆的方程 过程与方法： 1).通过问题的分析与解决使学生认识研究问题中由简单到复杂，由特殊到一般的化归思想。 2).通过分析，充分了解分类思想在数学中的重要地位，强化学生的观察，思考能力。 情感态度与价值观： 培养学生主动探索、勇于思考、合作交流的意识，在体现数学美的过程中激发学生的学习兴趣，从而培养学生勤于动脑和动手的良好思维品质。 五.教学重、难点 教学重点： 1.圆的一般方程

4、x2+y2+Dx+Ey+F=0的形式特征。 2.待定系数法求圆的方程。 教学难点： 1. 方程x2+y2+Dx+Ey+F=0及对D2+E2-4F分类讨论。 2.根据具体条件，选择圆的方程解决有关问题及待定系数法求圆的方程。 难点突破： 通过对D2+E2-4F的分类讨论，使问题化难为易，难点个个攻破，使课堂教学显得轻松易学。 六学法分析 在教学活动中，教师提出疑问，引导学生主动思考，主动探究，讨论交流，在积极的学习中解决问题，获得知识。贯穿“疑问”“思索”“发现”“解惑”四个学习环节。 七教学过程设计 创设情境，引发思考，引入新知 问题1：A.B两镇相距10km，为了响应党的号召,丰富人民的文化

5、生活,现在两镇之间修建一个文化广场,为方便大部分群众,现要求广场到两镇之间距离的平方和为60,那么广场应修建在何处? 分析：仅仅依据问题中的几个数据无法表示距离，若将这个问题放在直角坐标系中来考虑，就能很快表示出距离，以AB两镇所在的直线为x轴，以AB的中点为坐标原点建立直角坐标系，则A(-5,0),B(5,0)，设P(x,y)为广场所在的位置，则有 1 化简得x2+y2=5。你能说明这是一个什么方程吗？(x+5)2+y2+(x-5)2+y2=60，广场应建在什么位置？ 设计意图：以生活中的实例提出问题，激发学生的学习兴趣，并借此复习学生已经掌握的圆的标准方程，并为圆方程改写成二元二次方程的形

6、式引出圆的一般方程做铺垫。 问题2：圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2的展开式是什么？： x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0 由于a,b,r均为常数，故设 D=-2a， E =-2b , F = a2+b2-r2 此方程可写成下面的形式： x2+y2+Dx+Ey+F=0 故任何一个圆的方程都可以用上式表示。 思考：形如的方程表示的曲线一定是圆吗？ 设计意图：在问题1的基础上由圆的标准方程展开问题引发概念，给学生思考、探索的空间，让学生体验数学发现和创造的历程，提高分析和解决问题的能力。 深入思考，得出结论 如果形如的方程表示的曲线是圆，那么由方程可求出圆心和半径。下面我

7、们配D2E2D2+E2-4F方整理可得：(x+)+(y+)= 224D2E2D2+E2-4F比较圆的标准方程 (x-a)+(y-b)=r与(x+)+(y+)=的形式 224222上式表不表示圆，关键跟D2+E2-4F的正负有关。 1）当D2+E2-4F0时，表示以(-径的圆。 2）当D2+E2-4F=0时，方程只有实数解 x=-(-DE,-)。 22DE1,-)为圆心，以R=D2+E2-4F为半222DE， y=-即表示一个点223）当D2+E2-4F0时，它表示的曲线才是圆，此时x2+y2+Dx+Ey+F=0叫圆的一般方程。表示以(- DE1,-)为圆心，R=D2+E2-4F为半径的圆。 2

8、22设计意图：通过本过程，学生实现了对圆的方程更深的理解，实现了对圆的一般方程的理解。引导学生理解圆的一般方程的意义，真正知道什么情况下表示圆，并理解为什么。 两相对比，加深理解 标准方程：(x-a)2+(y-b)2=r2明确指出了圆心和半径。 一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0突出了形式上的特点 1x2和y2的系数相同，且不等于0。 2没有xy这样的二次项。 3. D2+E2-4F0 设计意图：通过比较，不仅复习了以前的知识，增强了记忆。对今天的新课也有了更深层次的理解。 知识运用，巩固概念 例1判别下列方程表示什么图形,如果是圆,找出圆心和半径。 x2+y2-2x+4y+1=0 x2

9、+y2+2by=0 例2求过点M(-1,1)，且圆心与已知圆x2+y2-4x+6y-3=0相同的圆的方程。 方法一：利用配方法将其变成圆的标准形式，求出圆心后再求半径。 方法二：利用圆的一般方程方程形式求解，由于所求圆与已知圆是同心圆，故可设所求圆的方程为：x2+y2-4x+6y+F=0，然后将M点代入，利用待定系数法求F。 设计意图：本题较简单，学生独立求解，然后教师点评。设计目的是让学生应用新知，巩固知识，强调圆的标准方程与一般方程方程的相互转化及二元二次方程 3 x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的条件。同时也增强学生自信，提高兴趣。 例3求过三点O (0,0),M1(1,1), M2

10、(4,2), 的圆的方程，并指出圆心和半径。 设计意图：让学生通过自主解答，发现困难，教师适时引导，总结出用待定系数法求圆的一般方程的步骤。通过本小题进一步理解待定系数法这一思想。 注：用待定系数法求圆的方程的步骤： 根据题意设所求圆的方程为标准式或一般式； 根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程； 解方程组，求出a、b、r或D、E、F的值，代入所设方程，就得要求的方程。 反馈练习，强化概念 教材80页，练习1、2. 课堂小节，形成体系 从知识与方法两个方面进行归纳。 1本节课的主要内容是圆的一般方程,其表达式为x2+y2+Dx+Ey+F=0，其特点是： x2和y2的系数相同，且不等于0

11、。 没有xy这样的二次项 D2+E2-4F0 表示以(-DE1,-)为圆心，R=D2+E2-4F为半径的圆。 2222圆的一般方程与圆的标准方程在运用上的比较 若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单. 若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程用待定系数法求解. 3.本节课用的数学思想方法： 通过特殊认识一般的思想方法。 4 配方法(求圆心和半径).待定系数法(求圆的一般方程) 问题转化和分类讨论的思想(原则是不重复,不遗漏) 六作业布置： 教材85页A组1、2 七板书设计： 八、课后练习、巩固新知 一 基础题 1圆x2+y2+4x-6y-3=0的圆心坐标和半径分别为 2若

12、方程x2+y2-2x+4my-5m=0表示的图形是圆，则m的取值范围是 3若圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0)的圆心在直线x+y=0上，则D、E、F的关系有 4已知圆x2+y2-4x-4=0的圆心是P，O是坐标原点，则|PO|= 5过点M(-1， 1)且与已知圆C：x2+y2-2x+4y-3=0的圆心相同的圆的方程是 。 6若圆x2+y2+2x+2by+b2=0上的点关于直线x+y=0对称，则b= 0)，M(1， 1)，N(4， 2)的圆的方程是 7过三O(0，二 提高题 5)，B(5， -2)的圆的方程 5)，C(6，8求过三点A(-1，9求圆x2+y2+2x-2y+1=

13、0关于直线x-y+3=0对称的圆的方程 5 三 能力题 0)，A(3，10已知点M(x，y)与两个顶点O(0， 0)的距离之比为1，那么点M的坐标2满足什么关系？画出满足条件的点M所形成的曲线 九、教学后记 本节课采用“问题探讨教学”和“自主探究式教学”相结合，志在体现学生学习的主体地位，教学中突出数学思想方法的渗透，引导学生运用了“通过特殊认识一般”的思想方法探究新知，利用“待定系数法”与“配方法”进行圆的一般方程与标准方程的转化，借助“数形结合”的思想分析问题，解决问题。教学最后让学生从知识与方法两个方面进行归纳小结，培养学生及时梳理，系统总结，巩固所学新知的好习惯，课后练习的完成使学生进一步巩固新知，加强了对本节知识的进一步认识与运用。 另外，学生在学习本节知识时，在对方程x2+y2+Dx+Ey+F=0及对D2+E2-4F分类讨论及利用“配方法”确定圆的标准方程上存在困难，在今后教学中应加强使学生训练与提高。 6