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1、九年级数学,(,上,),第二章,二次函数,2.7.,二次函数与一元二次方程,1,、,一元二次方程,ax,2,+bx+c=0(a0),的根的判别式,=,。,方程根的情况是：当,0,时方程,；,当,=0,时，方程,；,当,0,时，方程,。,b,2,-4ac,有两个不等实数根,有两个相等实数根,没有实数根,2,、,二次函数,y=ax,2,+bx+c(a,、,b,、,c,是常数，且,a0),图像,是一条,，,抛物线,复习提问,?,一次函数,y=ax+b,的图象与,x,轴交点的横,坐标即,y=0,的值就是方程,ax+b=0,的根。,1,、二次函数图像与,x,轴交点个数有几种情况？想一想，,画一画,x,y
2、,0,三种可能：两个交点,一个交点,没有交点。,自主学习一：,(1).,图象,y=x,2,+2x,与,x,轴交点个数,(),一元二次方程,x,2,+2x=0,根的个数,(),(2),图象,y=x,2,-2x+1,与,x,轴交点个数,(),一元二次方程,x,2,-2x+1=0,根的个数,(),(3),图象,y=x,2,-2x+2,与,x,轴交点个数,(),一元二次方程,x,2,-2x+2=0,根的个数,(),?,二次函数,y=x,2,+2x,y=x,2,-2x+1,y=x,2,-2x+2,的图象如图：,y=x,2,+2x,y=x,2,-2x+1,y=x,2,-2x+2,自主学习二：,二次函数与,
3、x,轴交点与一元二次方程的根有,什么关系,?,两个交点,一个交点,没有交点,0,，有两个不相等实数根,=0,，有,两个相等实数根,0,无实数根,?,.,二次函数,y=ax,2,+bx+c,的图象和,x,轴交点的个数,与一元二次方程,ax,2,+bx+c=0,的根有什么关系,?,一元二次方程,ax,2,+bx+c=0,根的判别式,=b,2,-4ac,一元二次方程,ax,2,+bx+c=0,的根的情况,二次函数,y=ax,2,+bx+c,的图,象和,x,轴交点个数,有两个交点,有两个相异的实数根,b,2,-4ac 0,有一个交点,有两个相等的实数根,b,2,-4ac=0,没有交点,没有实数根,b,
4、2,-4ac 0,想一想,填一填,自主学习三：,二次函数图象和,x,轴交点坐标与,一元二次方程的根有什么关系,?,y=x,2,+2x,与,x,轴交点,X,1,=-2 X,2,=0,(-2,0)(0,0,）,x,2,+2x=0,方程的根是,令,y=0,交,点,的,横,坐,标,是,一,元,二,次,方,程,的,根,（,2,0,）（,4,0,）,X,1,=2 X,2,=4,y=x,2,-6x+8,与,x,轴交点是,x,2,-6x+8=0,方程的根是,令,y=0,?,与,x,轴交点的横坐标是当,y=0,时自,变量,x,的值,?,即方程,ax,2,+bx+c=0,的根,.,二次函数,y,=ax,2,+bx
5、+c,的图象和,x,轴,交点坐标与一元二次方,ax,2,+bx+c=,0,的根有什么关系,?,想一想,2.,抛物线,y=x,2,-4x+4,与轴有,个交点，坐标是,。,3.,抛物线,y=0.5x,2,-x+3,与,x,轴的交点情况是（,）,A,两个交点,B,一个交点,C,没有交点,D,画出图象后才能说明,1,.,若方程,ax,2,+bx+c=0,的根为,x,1,=-2,和,x,2,=3,，则二次函数,y=ax,2,+bx+c,的图象与,x,轴交点坐标是,。,（,-2,，,0,）、（,3,，,0,）,一,（,2,，,0,）,4,不画图象，求抛物线,y=x,2,-3x-4,与,x,轴的交点坐标。,
6、解：解方程,x,2,-3x-4=0,得：,x,1,=-1,，,x,2,=4,抛物线,y=x,2,-3x-4,与,x,轴的交点坐标是：,(-1,，,0),和,(4,，,0),跟踪练习一,5.,若函数,图象与,x,轴是只有一个公共点,求,m,的值,.,1,6,2,?,?,?,x,mx,y,解：,图象与,x,轴是只有一个公共点,则,=0,即,36-4m=0,m=9,c,1,0,1,x,y,M,N,2,3,2,y=x,2,-4x+4,一元二次方程,x,2,-4x+4=,1,的根二次函数,y,=x,2,-4x+4,的图象与直线（,）交点的横坐标,能力升华,直线,y=1,一元二次方程,x,2,-4x+4=
7、,0,的根是函数,y,=x,2,-4x+4,的图象与,（,）,交点的横坐标。,1,0,x,N,2,y=x,2,-4x+4,直线,y=0,直线,y=0,y,方程,x,2,-4x+4=1,的根（,x,1,=x,2,=),1,3,X,轴,直线,y=1,？,正确,(x-2),2,=1,(x-2)=,1,X-2=-1,或,x-2=1,想一想,一元二次方,ax,2,+bx+c=,k,的根是函数,y,=ax,2,+bx+c,的图象和,交点横坐标,y,x,0,直线,y=k,直线,y=k,x,1,x,2,跟踪练习二,函数的图象,y,=ax,2,+bx+c,如图所示，,那么,(1),关于,ax,2,+bx+c=,
8、0,的一元二次方程的根的情况是,(),(2),关于,ax,2,+bx+c=,4,的一元二次方程的根的情况是,(),(3),关于,ax,2,+bx+c=,2,的一元二次方程的根的情况是,(),x,y,0,4,-2,Y=0,Y=4,Y=2,2,两个不相等的实数根,无实数根,两个相等的实数根,?,1).,小球经过多少秒后落地,?,你有几种,求解方法,?,与同伴进行交流,.,由上抛小球落地的时间想到,?,竖直上抛物体的高度,h(m),与运动时间,t(s),的关系可用公式,h=-5t,2,+40t,表示,?,?,.,0,40,5,40,5,0,8,.,1,2,2,?,?,?,?,?,?,?,t,t,t,
9、t,h,h,s,解方程,代入函数,也可以把,可以利用图象,例,1,学以致用,h,2,4,6,8,20,40,0,60,80,100,2,）,小球上抛问题中，何时小球离地面的高度是,60m,你是如何知道的，你有几种方法,3,）,对于上题来说，方程,-5t,2,+40t=80,的根,的实际意义是什么？,h,2,4,6,8,20,40,0,60,80,100,（,2,）方法二：利用方程：把,h=60,代入得,-5t,2,+40t=60,解得,x,1,=2 x,2,=6,-5t,2,+40t=80,当,h=80,时，相对应的,t,(1),方法一：利用图像,课堂小结,想一想,议一议,若二次函数,y=ax
10、,2,+bx+c,的图象和,x,轴交点坐标,(X,1,0),(X,2,0),则二次函数的表达式可表示为,这种表示,方法称为二次函数的交点式。,若一元二次方程,ax,2,+bx+c=0,两个根为,x,1,x,2,则一,元二次方程可化为,Y=a(x-x,1,)(x-x,2,),(x-x,1,)(x-x,2,)=0,友情提示：二次函数有哪几种表达形式？,解：,设所求的二次函数为,y=a(x,1)(x,2,）,因为,：已知抛物线与,X,轴交于,A,（,1,，,0,），,B,（,2,0,）,并经过点,M,（,0,2,），求抛物线的解析式？,y,o,x,点,M(0,2),在抛物线上,所以：,a(0+1)(
11、0-2)=2,得,：,a=-1,故所求的抛物线为,y=-,(x,1)(x-2),即：,y=,x,2,+x+2,思考：,你能用什么方法做呢,?,哪个方法更好,?,例,2,要化成,一般式,二次函数的图象与轴交于（,2,0,）（,-1,，,0),且过点（,0,，,-2,）求这个二次函数的解析式,跟踪练习三,解：,设所求的二次函数为,y=a(x-2)(x+1,）,因为：,点,M(0,-2),在抛物线上,所以：,a(0-2)(0+1)=-2,得,：,a=1,故所求的抛物线为,y=(x-2)(x+1),即：,y=x,2,-x-2,课堂小结,2.,二次函数与一元二次方程的关系,y,=ax,2,+bx+c,a
12、x,2,+bx+c=,k,y,取定值,k,方程的根,交点的横坐标,与直线,y=k,1.,二次函数,y=ax,2,+bx+c,与,X,轴交点个数的确定,3.,用交点式求二次函数表达式,数,形,结,合,的,思,想,0,y,-2,1,1,、已知二次函数,y=ax,2,+bx+c(a,0),的图象如,下图所示，请写出方程,ax,2,+bx+c=0(a,0),的根,2,、抛物线,y=-3,（,x,2,）（,x,5,）与,x,轴的交点坐标为,_,3,二次函数,y=kx,2,4x,4,的图象与,x,轴有交点，,则,k,的取值范围,目标检测,相信自己，我能行,X,1,=-2,x,2,=1,(2,0)(-5,0),K-1,且,k0,4.,已知二次函数图象过（,-1,0,），（,3,，,0,）和（,1,，,-8,）三点，,求二次函数表达式。,Y=2(x+1)(x-3),即：,Y=2x,2,-4x-6,
