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1、以二次函数与等腰三角形问题为背景的解答题【学习目标】这类问题主要是以一点(或以一条线段)为依托,动点和函数思想相结合以几何图形为背景,以动点为元素,构造动态型几何问题。解此类题目,应从相关图形的性质和数量关系分类讨论来解决。此类问题较多地关注学生对图形性质的理解,用动态的观点去看待一般函数和图形结合的问题,具有较强的综合性.【教学过程】解题思路:等腰三角形的存在性的解题方法:几何法三步:先分类;再画图;后计算代数法三步:先罗列三边;再分类列方程;后解方程、检验再以二次函数与等腰三角形问题为背景的解答题中,这两种方法往往结合使用.一、 考点突破例1、如图,已知抛物线y=+bx+4与x轴相交于A、
2、B两点,与y轴相交于点C,若已知A点的坐标为(2,0)(1)求抛物线的解析式;(2)连接AC、BC,求线段BC所在直线的解析式;(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使ACP为等腰三角形?若存在,求出符合条件的P点坐标;若不存在,请说明理由【例2】如图,在平面直角坐标系中,直线y=2x+10与x轴,y轴相交于A,B两点,点C的坐标是(8,4),连接AC,BC(1)求过O,A,C三点的抛物线的解析式,并判断ABC的形状;(2)动点P从点O出发,沿OB以每秒2个单位长度的速度向点B运动;同时,动点Q从点B出发,沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动规定其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止
3、运动设运动时间为t秒,当t为何值时,PA=QA?(3)在抛物线的对称轴上,是否存在点M,使以A,B,M为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由例3、如图,已知抛物线(a0)经过A(1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点,直线l是抛物线的对称轴(1)求抛物线的函数关系式;(2)设点P是直线l上的一个动点,当点P到点A、点B的距离之和最短时,求点P的坐标;(3)点M也是直线l上的动点,且MAC为等腰三角形,请直接写出所有符合条件的点M的坐标【变式题组】1、如图,抛物线y=ax2+bx+c(a0)的图象过点M(2, ),顶点坐标为N(1, ),且与x轴交于A、B两点
4、,与y轴交于C点(1)求抛物线的解析式;(2)点P为抛物线对称轴上的动点,当PBC为等腰三角形时,求点P的坐标;(3)在直线AC上是否存在一点Q,使QBM的周长最小?若存在,求出Q点坐标;若不存在,请说明理由2、如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A(2,0),B(1,0),交y轴于C(0,2)(1)求二次函数的解析式;(2)连接AC,在直线AC上方的抛物线上是否存在点N,使NAC的面积最大,若存在,求出这个最大值及此时点N的坐标,若不存在,说明理由;(3)若点M在x轴上,是否存在点M,使以B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形,若存在,直接写出点M的坐标;若不存在,说明理由;(4)
5、若P为抛物线上一点,过P作PQBC于Q,在y轴左侧的抛物线是否存在点P使CPQBCO(点C与点B对应),若存在,求出点P的坐标,若不存在,说明理由3、如图,在平面直角坐标系中,点, 分别是轴正半轴, 轴正半轴上两动点, , ,以, 为邻边构造矩形,抛物线交轴于点, 为顶点, 轴于点()求, 的长(结果均用含的代数式表示);()当时,求该抛物线的表达式;()在点在整个运动过程中,若存在是等腰三角形,请求出所有满足条件的的值作业巩固1、如图,已知抛物线yx2bxc与x轴负半轴交于点A,与y轴正半轴交于点B,且OAOB.(1)求bc的值;(2)若点C在抛物线上,且四边形OABC是平行四边形,求抛物线的解析式;(3)在(2)条件下,点P(不与A,C重合)是抛物线上的一点,点M是y轴上一点,当BPM是等腰直角三角形时,直接写出点M的坐标.3、如图,抛物线yax2bx过A(4,0),B(1,3)两点,点C、B关于抛物线的对称轴对称,过点B作直线BHx轴,交x轴于点H(1)求抛物线的表达式,并求出ABC的面积;(2)点P是抛物线上一动点,且位于第四象限,当ABP的面积为6时,求出点P的坐标;(3)若点M在直线BH上运动,点N在x轴上运动,当以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时,请直接写出此时CMN的面积