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1、平行垂直中你不可忽略的知识点一、 知识梳理1、平行线的定义：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线2、平行的表示：用符号“”表示，读作“平行于” 3、同一平面内两条直线的位置关系：平行或相交4、平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行5、平行的传递性：平行于同一直线的两直线平行6、平行与角的联系：若一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补7、垂直定义：如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直其中一条直线叫做另一条直线的垂线它们的交点叫做垂足两条线段、射线垂直是指这两条线段、射线所在的直线垂直8、垂直的表示：用符号“”表示，读作“垂直
2、于” 9、垂直公理：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直10、点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度11、垂线段的性质：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短12、垂直与角的联系：若一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，则这两个角相等或互补二、典型例题例1、概念辨析(1)两条不相交的直线叫做平行线(2)两条直线不相交就平行(3)两条射线或线段平行，是指它们所在的直线平行(4)在同一平面内不相交的两条线段必平行(5)经过一点，有且只有一条直线与已知直线平行(6)同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行(7) 点A为直线l外一点，点B在直线l上，若AB5厘米，则点A到直线
3、l的距离为5cm解析：(1)错误，必须加同一平面内，否则在立体几何中，会出现异面的情况比如一个正方体，上面和前面相交的棱与右面和后面相交的棱，所在直线就是既不平行也不相交(2)错误，理由同(1)(3)正确(4)错误，反例如下图：(5)错误，必须在直线外，否则，如果这个点在直线上，所作直线就与已知直线重合(6)正确(7)错误，如下图，当点B在B2处，点A到直线l的距离为5cm，当点B在B1，点A到直线l的距离小于5cm二、典型例题例2、试画图说明平面内三条直线的位置关系分析：我们知道，同一平面内的两条直线有相交、平行两种关系那么到了三条直线，就会出现三条都平行，两条平行，都不平行的情况在三条都平
4、行的情况外，必然有相交的情况，我们可以从交点数来考虑，即有一个，有两个，有三个交点三种解答：二、典型例题例3、(1)如图，P是AOB外一点，过点P画直线PCOA，交OB于点C，过点P画直线PDOB，交OA反向延长线于点D，量出AOB、CPD的度数，你有什么发现？点P如果在AOB内部呢？(2)如图，P是AOB外一点，过点P画直线PCOA，交OA于点C，过点P画直线PDOB，交OB于点D，量出AOB、CPD的度数，你有什么发现？点P如果在AOB内部呢？分析：本题不难，主要是根据要求作图，然后发现度数之间的联系，不是相等就是互补，最后，再关注所研究的两个角的位置关系，发现其中一个角的两边与另一个角的
5、两边分别平行，从而得出最后结论解答：(1)当P是AOB外一点，AOBCPD180当P是AOB内一点，AOBCPD发现：若一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补(2)当P是AOB外一点，AOBCPD当P是AOB内一点，AOBCPD180发现：若一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，则这两个角相等或互补三、思维提升例1、网格作图(1)利用图(1)中的网格，利用直尺过P点画直线AB的平行线和垂线(2)把图(2)网格中的三条线段通过平移使三条线段AB、CD、EF首尾顺次相接组成一个三角形(3)如果每个方格的边长是单位1，那么图(2)中组成的三角形的面积等于_分析：网格作图是今后的重
6、点内容，我们应该引起足够的重视，(1)对于作平行，有2种作法，第一种观察线段AB是横2竖4的长方形对角线，那么，过要画的点P，也应该是构造横2竖4的长方形对角线第二种，采用平移的方法，从点A平移到点P，需要向右4格再向下1格，那么点B也要同样平移，然后将线段两端延长，变成直线对于作垂直，则和平行相反，过点P需要构造横4竖2的长方形对角线(2)我们可以保持EF不动，将AB，CD平移，注意，有2种情况(3)对于网格图形的面积，我们通常可以采用割补法，割，把大图形分成几个小图形，计算面积和，补，把大图形再补成一个更大的，可直接计算面积的图形，减去周围几个小图形的面积和本题适合用补的方法解答：三、思维
7、提升例2、垂线段再认识如图，在66的正方形网格中，点P是AOB的边OB上的一点过点P画OB的垂线，交OA于点C；过点P画OA的垂线，垂足为H；(1)请找出图中所有的垂线段，并说明这条垂线段的长度是哪个点到哪条直线的距离(2)线段PC、PH、OC这三条线段大小关系是_（用“”号连接）分析：要找垂线段，首先要找出所有的垂足，因为垂线段是直线外一点到垂足的距离这里的垂足显然只有P，H，那么点O，点C，可以和点P，点H组成垂线段要说明垂线段长度是哪个点到哪一条直线的距离，那么必然选择的是垂线段的两个端点中，不是垂足的那个点，到垂足所在的另外一条与垂线段垂直的直线的距离解答：(1)OP，OP的长度是点O
8、到直线PC的距离 CP，CP的长度是点C到直线OB的距离 OH，OH的长度是点O到直线PH的距离 CH，CH的长度是点C到直线PH的距离 PH，PH的长度是点P到直线OC的距离(2)PHPCOC三、思维提升例3、思考类作图同一平面内已知线段AB长为10cm，点A、B到直线l的距离分别为6cm和4cm，符合条件的直线l有_条?分析：显然，同学们都能想到作线段AB的垂线，将线段AB分成6cm，4cm两部分但其实，在线段AB的两侧还有两条，分别以A、B为圆心、6cm和4cm为半径作圆，当所画的直线与两个圆分别都只有一个交点时，也符合题意，这样的直线有两条，即共有3条到了初三，我们会知道，这三条线就是
9、所画的两个圆的切线解答：如图，三条红色的直线即为所求变式如图，在平面内，两条直线l1，l2相交于点O，对于平面内任意一点M，若p，q分别是点M到直线l1，l2的距离，则称(p，q)为点M的“距离坐标”根据上述规定，“距离坐标”是(2，1)的点共有_个分析：我们可以先找线，再确定点，先找出到l1距离为2的直线，到12距离为1的直线，显然，它们的交点，就满足题意画图后，不难发现到l1距离为2的直线有2条，到12距离为1的直线有2条，这4条直线两两相交，有4个交点，这4个交点就是距离坐标是(2，1)的点解答：如图，到l1距离为2的直线是2条蓝色直线，到12距离为1的直线是2条红色直线，四个交点即为所求四、拓展提升:
