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1、直线与椭圆的位置关系一、新课讲解1. 当m为何值时，直线yxm与椭圆1相交？相切？相离？【解】由，得25x232mx16m21440，(32m)2425(16m2144) 943(25m2)当0，即5m5时，直线和椭圆相交；当0，即m5时，直线和椭圆相切；当5或m5或m5时直线与椭圆相离； 当m5时，直线与椭圆相切； 当5m0；(2)直线与椭圆相切0；(3)直线与椭圆相离b0)，且a2b2(5)250.由，得(a29b2)x212b2x4b2a2b20，设y3x2与椭圆的交点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1x2.， a23b2，由解得：a275，b225，此时0，1.法二：设椭圆方
2、程为1(ab0)，直线y3x2与椭圆交于A、B两点设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则得，即.kAB3，AB中点(x0，y0)，x0，y0，3， a23b2.又a2b2(5)250，a275，b225，椭圆方程为1.【名师点评】关于中点的问题一般地可以采用两种方法解决：(1) 联立方程组，消元，利用根与系数的关系进行设而不解，从而简化运算解题；(2) (2)利用“点差法”，求出与中点、斜率有关的式子，进而求解，同学们可以试一试不管应用何种方法我们都必须注意判别式的限制变式训练 (2011高考陕西卷) 设椭圆C：1(ab0)过点(0，4)，离心率为. (1)求C的方程； (2)求过点(3，0
3、)且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标解：(1)将(0，4)代入C的方程得1， b4.又由e得， 即1，a5. C的方程为1.(2)过点(3，0)且斜率为的直线方程为y(x3)，设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程y(x3)代入C的方程，得1，即x23x80，x1x23.又， 中点坐标为.三、弦长问题已知椭圆4x25y220的一个焦点为F，过点F且倾斜角为45的直线l交椭圆于A、B两点，求弦长|AB|.【思路点拨】【解】椭圆方程为1，a，b2，c1，直线l的方程为yx1(不失一般性，设l过左焦点)，由消去y，得9x210x150. 直线方程代入曲线方程，是解这类题目
4、常用方法.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2，|AB|x1x2| .【名师点评】当直线与椭圆相交时，两交点间的距离称为弦长(1)求弦长的方法：将直线方程与椭圆方程联立，得到关于x的一元二次方程，然后运用根与系数的关系，再求弦长不必具体求出方程的根，即不必求出直线与椭圆的交点这种方法是求弦长常采用的方法已知椭圆1，过点P(2，1)作一弦，使弦在这点被平分，求此弦所在直线的方程解：法一：由分析可知，所求的直线不可能与x轴垂直，故斜率k存在，设所求直线的方程为y1k(x2)，代入椭圆方程并整理，得(4k21)x28(2k2k)x4(2k1)2160，又设直线与椭圆的交点为A(
5、x1，y1)，B(x2，y2)，则x1、x2是上面的方程的两个根，x1x2.P为弦AB的中点，2. 解得k，所求直线的方程为x2y40.法二：设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由分析可知，x1x2.P为弦AB的中点，x1x24，y1y22.又A、B在椭圆上，x4y16，x4y16.两式相减，得(xx)4(yy)0，即(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0.，即kAB.所求直线方程为y1(x2)，即x2y40.方法技巧(1) 直线与椭圆有相交、相切和相离三种情况,其位置关系的几何特征分别是直线与椭圆有两个交点、有且只有一个交点、无公共点，并且二者互为充要条件(2) 判断直线与椭圆的位置关系通常使用代数法而不使用几何法，即先将直线方程与椭圆的方程联立，消去一个未知数y(或x)，得到关于x(或y)的一个一元二次方程，至于该一元二次方程有无实数解,有几个与方程组的解的个数相对应,故利用一元二次方程根的判别式,根据0、0还是0即可作出判断失误防范1. 由直线和椭圆求解直线方程，要注意斜率不存在时是否成立2. 涉及直线和椭圆的相交，相切问题应满足判别式0.
