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1、第7章 矩阵的特征值和特征向量,很多工程计算中，会遇到特征值和特征向量的计算，如：机械、结构或电磁振动中的固有值问题；物理学中的各种临界值等。这些特征值的计算往往意义重大。,特征值：,的根 为矩阵A的特征值,特征向量：满足,的向量v为矩阵A的对于特征值 的,称为矩阵A的特征多项式,是高次的多项式，它的求根是很困难的。没有数值方法是通过求它的根来求矩阵的特征值。通常对某个特征值，可以用些针对性的方法来求其近似值。若要求所有的特征值，则可以对A做一系列的相似变换，“收敛”到对角阵或上（下）三角阵，从而求得所有特征值的近似。,特征向量,7.1 幂法,矩阵的按模最大特征值往往表现为阈值。如：矩阵的谱半
2、径。幂法就是一种求矩阵按模最大特征值的方法，它是最经典的方法。,幂法要求A有完备的特征向量系，即A有n个线性无关的特征向量。在实践中，常遇到的实对称矩阵和特征值互不相同的矩阵就具有这种性质。设A的特征值和特征向量如下：,特征值：,特征向量：,幂法可以求,，基本思想很简单。,设,线性无关，取初值,，作迭代,设：,则有：,（1）若：,则k足够大时，有,可见,几乎仅差一个常数,所以：,任意分量相除,特征向量乘以任意数，仍是特征向量,（2）若：,则k足够大时，有,所以：,所以：,算法：,1、给出初值，计算序列,2、若序列表现为，相邻两个向量各个分量比趋向于常数,若序列表现为，奇偶序列各个分量比趋向于常
3、数，则,若序列表现为其他，退出不管,求矩阵A的按模最大的特征值,解 取x(0)=(1,0)T,计算x(k)=Ax(k-1),结果如下,例,可取 0.41263,x1(0.017451,0.014190)T.,决定收敛的速度，特别是|2/1|,希望|2/1|越小越好。,不妨设 1 2 n，且|2|n|。,p=(2+n)/2,思路,令 B=A pI，则有|IA|=|I(B+pI)|=|(p)IB|A p=B。而，所以求B的特征根收敛快。,在幂法中，我们构造的序列,可以看出,因此，若序列收敛慢的话，可能造成计算的溢出或归0,改进幂法的规范运算,则，易知：,所以，有：,最大分量为1,即,（1）若：,时
4、，有,时，有,（2）若：,分别收敛到两个向量，且不是互为反号。,借助幂法来求特征值和特征向量。计算：,则：,算法：,1、给出初值，计算序列,2、若序列收敛，则,若序列的奇偶序列分别收敛，且两个数互为反号，则,若序列的奇偶序列分别收敛，且两个数不互为反号，则,反幂法,所以，A和A1的特征值互为倒数,这样，求A1的按模最大特征值，就可以求出A的按模最小特征值,为避免求逆的运算，可以解线性方程组,若知道某一特征根 i 的大致位置 p，即对任意 j i 有|i p|j p|，并且如果(A pI)1存在，则可以用反幂法求(A pI)1的主特征根 1/(i p)，收敛将非常快。,思路,7.1 Jacobi
5、方法对称阵,P为n阶可逆阵，则A与P1AP相似，相似阵有相同的特征值。,若A对称，则存在正交阵Q(QTQ=I)，使得,直接找Q不大可能。我们可以构造一系列特殊形式的正交阵Q1,.,Qn对A作正交变换使得对角元素比重逐次增加，非对角元变小。当非对角元已经小得无足轻重时，可以近似认为对角元就是A的所有特征值。Jacobi方法就是这样一类方法。,1、Givens旋转变换,对称阵,为正交阵,记：,则：,变换的目的是为了减少非对角元的分量，则,记,则,的按模较小根,所以：,2、Jacobi方法,取p,q使,，则,定理：,若A对称，则,解 记 A(0)=A,取p=1,q=2,apq(0)=a12(0)=2
6、,于是有,例 用Jacobi 方法计算对称矩阵的全部特征值.,从而有,所以,再取p=2,q=3,apq(1)=a23(1)=2.020190,类似地可得,从而A的特征值可取为 12.125825,28.388761,34.485401,为了减少搜索非对角线绝对值最大元素时间,对经典的Jacobi方法可作进一步改进.,1.循环Jacobi方法:按(1,2),(1,3),(1,n),(2,3),(2,4),(2,n),(n-1,n)的顺序,对每个(p,q)的非零元素apq作Jacobi变换,使其零化,逐次重复扫描下去,直至(A)为止.,2.过关Jacobi方法:取单调下降收敛于零的正数序列k,先以1为关卡值,依照1中顺序,将绝对值超过1的非对角元素零化,待所有非对角元素绝对值均不超过1时,再换下一个关卡值2,直到关卡值小于给定的精度.,
