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1、,第二节,一、偏导数,二、高阶偏导数,偏 导 数,第九章,目的要求：理解偏导数的基本概念、意义及与一元函数的导数联系与区别，熟练掌握偏导数的计算方法。,一 偏导数,(一)定义及求法(二)几何意义(三)与连续的关系,引入,理想气态方程：,温度T不变,等温过程,P对V的变化率？,容积V不变,等容过程,P对T的变化率？,固定y,z对x的变化率？,固定x,z对y的变化率？,一元函数,二元函数,(一)、偏导数的定义及求法,定义1,设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义，当y固定在y0而x在x0有增量x时,相应地函数有增量:f(x0+x,y0)-f(x0,y0),如果,存在，则称此极限
2、为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对x的偏导数，记作：,类似地，函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对y的偏导数定义为：,记作：,定义2,如果函数z=f(x,y)在区域D内每一点(x,y)处对x的偏导数都存在,那么这个偏导数就是x、y的函数，它就称为函数z=f(x,y)对自变量x的偏导函数，记作：,类似地，可以定义函数z=f(x,y)对自变量y的偏导函数：,记作：,通常把偏导函数简称为偏导数,偏导函数与偏导数的区别与联系:,区别:,函数,数,联系:,例如,三元函数 u=f(x,y,z)在点(x,y,z)处对 x 的,偏导数的概念可以推广到二元以上的函数.,偏导数定义为,(请自己写出
3、),例1.求,解法1,解法2,在点(1,2)处的偏导数.,先求后代,先代后求,例2.设,证:,例3.求,的偏导数.,解:,求证,偏导数记号是一个,例4.已知理想气体的状态方程,求证:,证:,说明:,(R 为常数),不能看作,分子与分母的商!,此例表明,整体记号,二元函数偏导数的几何意义:,是曲线,(二)、偏导数的几何意义,例5,在上节已证 f(x,y)在点(0,0)并不连续!,解:,偏导数存在,连续,(三)、与连续的关系,例6,结论,偏导数存在,连续,解:,f(x,y)在点(0,0)连续,f(x,y)在点(0,0)偏导数不存在,设 z=f(x,y)在区域 D 内具有偏导数,概念,混合偏导数,类
4、似可以定义更高阶的偏导数.,二、高阶偏导数,类似可以定义更高阶的偏导数.,例如，z=f(x,y)关于 x 的三阶偏导数为,z=f(x,y)关于 x 的 n 1 阶偏导数,再关于 y 的一阶,例7.求函数,解:,注意:此处,但这一结论并不总成立.,的二阶偏导数及,定理,本定理对n元函数的高阶混合导数也成立.,注,例如,对三元函数 u=f(x,y,z),说明:,函数在其定义区域内是连续的,故求初等函数的高阶导,数可以选择方便的求导顺序.,因为初等函数的偏导数仍为初等函数,当三阶混合偏导数,在点(x,y,z)连续时,有,而初等,例8.证明函数,满足拉普拉斯,证：,利用对称性,有,方程,思考与练习,解答提示:,P129 题 5,P129 题 5,6,即 xy0 时,P129 题6,(1),(2),作业,P69 1偶；3；4；5；6（1，3）；7,备用题,设,方程,确定 u 是 x,y 的函数,连续,且,求,解:,
