微分中值定理与导数应用.ppt

《微分中值定理与导数应用.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《微分中值定理与导数应用.ppt（85页珍藏版）》请在三一办公上搜索。

1、微分中值定理与导数应用,微分中值定理,则至少存在一点,一、罗尔定理,（iii）f(a)=f(b).,设函数 f(x)满足：,证:,f(x)在a,b上必取得最大值M和最小值m.,则f(x)在a,b上恒为常数，,因此 f(x)0，,定理1（罗尔定理）,（i）在闭区间a,b上连续；,（ii）在开区间(a,b)内可导；,所以对于任一点(a,b)，,微分学的理论基础,导数与应用的桥梁,Rolle,16521719,(1)若M=m，,使,由(i)知:,都有f()=0；,否则 f(x)必恒为常数。,则 M 和 m 之中至少有一个不等于 f(a)，,设在点(a,b)处，,函数f(x)取得最大值f()=M，,都

2、有f(x)f()，,即f(x)f()0.,由条件(ii)，f(x)在点可导，,于是，当x 0时，,从而，,(2)若M m，,不妨设M f(a)，,即最大值M不是端点处的函数值。,则对一切x(a,b)，,同理,当x0时,有,因导数存在,所以,一条连续曲线,除端点外处处有不垂直于x轴的切线,且两端点的纵坐标相等.,若定理条件不满足，则结论不一定成立.,罗尔定理的几何解释:,则在曲线上至少有一点C,在该点处切线水平.,区间内有不可导的点,两端点的函数值不相等,区间内有不连续的点,并指出它们所在的区间。,分别在区间(1,1),(1,2),(2,3)内。,证：,显然,f(x)分别在闭区间1,1,1,2,

3、2,3上连续，,例1 设函数f(x)=(x+1)(x1)(x2)(x3)，,证明方程f(x)=0有三个实根，,且 f(1)=f(1)=f(2)=f(3),.由罗尔定理，,在(1,1),(1,2),(2,3)内分别存在点1,2,3，,使得 f(1)=f(2)=f(3)=0,即方程f(x)=0有三个实根，,在开区间(1,1),(1,2),(2,3)内可导，,二、拉格朗日定理,（分析）要证,即,只需证：,以下作辅助函数，利用罗尔定理给出证明.,定理2(拉格朗日定理),设函数f(x)满足：,（i）在闭区间a,b上连续；,Lagrange,17361813,则至少存在一点(a,b)，使,（ii）在开区间

4、(a,b)内可导，,令,则 F(x)满足罗尔定理中的条件(i)(ii)，,由罗尔定理知，至少存在一点,使得,即,证明,且,拉格朗日中值公式,或,公式可写成下列形式:,若令f(a)=f(b)，,则结论成为f()=0。,拉格朗日定理的几何解释,连续曲线,除端点外处处有不垂直于x轴的切线,且两端点的纵坐标相等.,则在曲线上至少有一点C,在该点处切线平行于弦AB.,注:,或,有限增量公式,可见,罗尔定理是拉格朗日定理的特例。,比较,罗尔定理与拉格朗日定理一样只肯定了 存在性但并没有给出求 的方法.,但通过中值定理定理，不用求出 我们也可得到一些有意义的结论，如推论,推论1 设函数f(x)在区间I上可导

5、，且f(x)0，,则f(x)在I上为常数。,证 在I内任取两点x1和x2，,在(x1,x2)内可导，,由拉格朗日定理知，,不妨设x1 x2.,至少存在(x1,x2)，使得,显然，f(x)在x1,x2上连续,于是f(x)在I 内是一个常数。,推论2 设在区间I上，,例3 证明：,由条件知f()=0，,从而 f(x2)=f(x1).,而x1,x2为I 内任意两点，,且,所以，,例4 试证明下列不等式,(1)设,则f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，,由拉格朗日定理得,由于,故,在(0,x)（或(x,0)）内可导.,证,即,(介于0与x之间).,则 f(t)在0,x（或x,0）上连续，,(2

6、)令f(t)=e t,定理3（柯西定理）,（i）在a,b上连续；,注：柯西定理是拉格朗日定理的推广。,因为g(x)=x时,柯西定理的结论恰是拉格朗日定理的结论.,于是，,则至少存在一点(a,b)，使,（ii）在(a,b)内可导，且g(x)0，,三、柯西定理,Cauchy,17891857,设f(x)及g(x)满足:,函数的增减性与极值,由函数单调性的定义知：,单调增加,即当,当,单调减少,一、函数的增减性判别法,，曲线上升,，曲线下降,证 仅证（i），,定理1 设函数f(x)在闭区间a,b上连续，,（i）如果在(a,b)内f(x)0，,（ii）如果在(a,b)内f(x)0，,则f(x)在a,b

7、上单调增加；,则f(x)在a,b上单调减少。,（ii）的证明类似。,由拉格朗日定理,得,即f(x1)f(x2)，,例1 讨论函数,的单调性。,在a,b上任取两点x1,x2，,由于f()0，,因此f(x)在a,b上单调增加。,于是f(x2)f(x1)0，,不妨设x1 x2。,例2 讨论函数,的单调性。,导数为零的点和不可导的点都有可能,成为函数单调区间的分界点。,由上可知，,注：若f(x)在某区间内的孤立点处为零（或不存在），,而在其余各点均为正（或均为负），则f(x)在该区间内,仍旧是单调增加（或单调减少）的。,例4 确定,的单调区间。,例5 证明 当x 0时，,则f(x)在0,+)上连续，在

8、(0,+)内,因为仅在孤立点x=2n（n为正整数）处,令,证:,f(x)=0，,故f(x)在0,+)上单调增加。,f(x)f(0)=0，,极大值与极小值统称为极值。,设函数f(x)在点x0的某个邻域内有定义,对于该邻域内异于x0的点x,二、函数的极值,称x0为f(x)的极大（小）值点；,或（f(x)f(x0)），,则称f(x0)为f(x)的极大值(或极小值）,如果恒有f(x)f(x0)，,于是x sinx.,即xsinx 0，,从而当x 0时，,定义,函数的极值是一个局部概念，因此，一个定义在a，b上函数的在a，b上可以有许多极值，且极大值有可能小于极小值。,但驻点和导数不存在的点不一定是极值

9、点。,但f(x)在点x=0不取得极值。,通常称为函数f(x)的驻点,因此，极值点只可能是驻点或导数不存在的点。,例如，对函数y=x 3,y=3x 2,x=0是驻点,使导数f(x)等于零的点x0,从图中可以看出，极值点一定是单增区间和单减区间的分界点，,不存在的点。,可以证明：若函数f(x)在x 0 处可导，且在x 0 处取得极值，则这个函数在x 0 处的导数为零。即,因此极值点只能是 和,不存在的点。,(iii)若在x0的两侧，f(x)不变号，,定理2（极值第一判别法）,设f(x)在x0的某邻域内连续，,在该邻域（x0可除外）可导，,x0为f(x)的驻点或使f(x),(i)若当x 0；,则 f

10、(x0)是f(x)的极大值；,(ii)若当x x0 时，f(x)0；,则 f(x0)是f(x)的极小值；,则f(x0)不是极值。,当x x0 时，f(x)0，,当x x0 时，f(x)0，,例6 求,的极值点与极值。,解,用 x=0,x=，分割定义域成几个小区间,定义域（-，+）,列表讨论如下:,极大值点:,极大值:,极小值点:,极小值:,且f(x0)=0，f(x0)0，则,（ii）当f(x0)0时，f(x0)是f(x)的极小值。,例8,的极值.,定理3（极值第二判别法）,设函数f(x)在点x0处具有二阶导数，,（i）当f(x0)0时，f(x0)是f(x)的极大值；,由极值第二判别法,x=1时

11、,f(x)有极小值:f(1)=4.,由于,所以,需用极值第一判别法判定:,无极值.,例9 讨论,解：,令,得驻点,极值（n为自然数）,（1）若 为偶数，则 在 两侧不变号，,所以 不是极值点。,当 时，,（2）若 为奇数，则当 时，,所以 时，函数取得极大值,极值第二判别法可以推广到下面的一般形式：,定理4 设函数 在 处有 阶导数，且,则（1）当 为偶数时：,若，则 是 的极大值；,若，则 是 的极小值。,利用带有皮亚诺余项的泰劳公式可以证明此定理,三、最大值、最小值问题,（2）计算区间端点处的函数值；,例8 求函数,上的最大值与最小值。,在区间,求连续函数f(x)在a,b上的最大值与最小值

12、：,（1）计算函数驻点与不可导点处的函数值；,（3）对以上两类函数值进行比较即得。,令,函数的不可导点为x=0,1.,解,得驻点,函数f(x)在区间端点、驻点以及不可导点处的函数值为：,比较之，得最大值：,最小值：,注1：一般地说，若函数f(x)的最大(小)值是在区间(a,b),内取得，则该最大（小）值必为极大（小）值，,注2：在实际问题中，往往根据问题的性质，就可 断定,此时，如果确定f(x)在这个区间内部只有一个驻点x0（或导数不存在的点），,可导函数f(x)在其区间内部确有最大值（或最小值），,那么，这个点就是函数的最值点,问底面半径如何选取，,S=2r2+2rh,解 设罐头的底面半径为

13、r，,由题设 r2h=V，即,代入上式得，,才能使用料最省（即表面积最小）？,令,得唯一驻点,因此S(r)的最小值必在r=r0处取得。此时,即当罐头的高与底面直径相等时，用料最省。,例10 甲船位于乙船以东的75海里处，,以每小时12海里的速度向西行驶，,乙船以每小时6海里的速度向北行驶，,问经过几小时两船相距最近？,解 在时刻t 时，两船相距,求S(t)的最小值，,令,两船相距最近。,t=5为(0,+)内的唯一驻点。所以，经过5小时，,也就是求S 2(t)的最小值，如图,函数的作图,利用初等描点作图可以绘出函数的大体形状，,一般来说，描点越多，作出的图形越准确，但也存在缺陷。,1)选点带有一

14、定的盲目性,往往漏掉某些关键点.,下面我们借助微分学的知识,来深入研究函数整体形态,一.曲线的凹凸性与拐点,但仅是这些还不能比较准确的描绘出函数的研究图形。,2)选点少了,不能准确的确定函数的弯曲方向,选多了,计算较复杂,从而比较准确作出函数图形.,函数的单调性与极值,对于了解函数的图形,是有很大的帮助,例如 在a，b上虽然都是单调增加，但图形却有显著不同。,是上凹的曲线弧,是下凹的曲线弧,则称该曲线段是凸弧（或向上凸的），如图,凹：,凸：,给出判定曲线凹凸性的判别法。,定义1 设曲线y=f(x)上各点处都有不垂直于x轴的切线，,若这段曲线总位于曲线上每一点切线的上方，,则称该曲线段是凹弧（或

15、向上凹的）；,若这段曲线总位于曲线上每一点切线的下方，,下面借助于二阶导函数的符号，,设函数在a,b上连续，在(a,b)内具有二阶导数。,此时称区间a,b为曲线的凸区间。,解,当x 0时，y 0,所以曲线在(,0上是凸弧；,定理1（凹凸性判别法）,则曲线y=f(x)在a,b上是凹弧，,此时称区间a,b为曲线的凹区间；,则曲线y=f(x)在a,b上是凸弧，,当x 0时，y 0,所以曲线在0,+)上是凹弧。,（ii）如果在(a,b)内f(x)0，,（i）如果在(a,b)内f(x)0，,于是，曲线的凹区间为(,0，凸区间为0,+)。,定义2,注意：拐点是曲线上的点,当x 0,所以曲线在(,0上是凹弧

16、；,当x 0时，y 0,所以曲线在0,+)上是凸弧。,解,连续曲线上凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点。,符号相同，则点(x0,f(x0)不是拐点。,例1中，点（0，0）是曲线y=x3上凹弧与凸弧的分界点，,因此是曲线的拐点，在该点处，y=0；,例2中，（0，0）点是曲线的拐点，在该点处y不存在。,因此，曲线y=f(x)的拐点的横坐标只能是使f(x)=0的,点或f(x)不存在的点。,求连续曲线的拐点的方法如下：,（i）求出所有使函数f(x)的二阶导数f(x)=0的点,和f(x)不存 在的点；,（ii）对于（i）中所求出x0，若f(x)在x0两侧符号相反，,则点(x0,f(x0)是曲线的拐点；若f

17、(x)在x0的两侧,解 函数的定义域为（）。,令y=0，得,当x=0时，y 不存在。列表讨论如下：,拐点为,二、渐近线,为曲线的渐近线。,渐近线有以下三种：,则称直线 y=A为曲线,水平的渐近线。,（ii）垂直渐近线,则称直线x=x0为曲线,（iii）斜渐近线：,斜渐近线,若曲线上一动点M无限远离原点时，,某一固定直线L的距离趋近于零，,（i）水平渐近线：,或,如果,称该渐近线为曲线y=f(x)的斜渐近线。,a 0 时，,设直线Y=ax+b是曲线y=f(x)的渐近线。,y=f(x)的垂直渐近线。,则称该直线L,定义3,动点M到,解 由于,所以x=0,x=2是曲线的两条垂直渐近线。,于是，y=x

18、 1是曲线的斜渐近线,又,(2)确定函数的连续区间及间断点；,三、函数作图,函数作图的一般步骤：,(1)确定函数f(x)的初等性质：定义域、奇偶性、周期性等；,必要时，可根据函数表达式补充一些点。,(3)求出f(x)，讨论曲线的增减性与极值；,(4)求出f(x)，讨论曲线的凹凸性与拐点；,(5)考察曲线的渐近线；,(6)确定曲线的某些特殊点,（比如，曲线与坐标轴的交点等）.,(7)绘出函数图形。,在此区间上函数连续且为偶函数，图形关于y轴对称。,(3)列表讨论（由对称性，仅讨论x0,+）的情形）：,解（1）函数的定义域为（），,（2）,（4）因为,，所以y=0是水平渐近线。,正态分布曲 线或高

19、斯曲线。,（5）作图,由以上讨论可作出曲 线在0，+）内的图形，,再由对称性可得全图.该曲线在概率论中也称为,是拐点,例6 绘 的图形,解：定义域,令,令,垂直渐近线,水平渐近线,例 作函数 的图形,解：定义域,令,当,不存在,渐近线,垂直渐近线,无水平渐近线,斜渐近线,第四节 未定式的极限,如果在同一极限过程中,两个函数,都是无穷小量或都是无穷大量,那么 可能存在也可能不存在.通常称这种类型的极限为未定式的极限.,一.未定式 型的极限,定义,且满足,10,定理 设函数 和 在点 的某一去心邻域内有,在 的某一去心邻域内存在,且,和,则有,可以补充或改变 及 在,处的函数值,使f(x0)=g(

20、x0)=0,的极限 与 及 在,设x 为x0 的邻域内异于x0 的任一点,利用柯西定理,在以x0 为端点构成的闭区间上,处的函数值无关,所以,证明 由于当 时,则f(x)和 g(x)就在点x0处连续,(介于 与 之间),则得,对上式取极限并注意到当 时,得,令,例1,例2,例3,洛比达法则可以连续使用,例5,例4,例6,二 未定式 型的极限,定义,且满足,10,20 和 在 的某一去心邻域内存在,且,30 存在(或为),则有,对于 时的未定式 同样适用,定理 设函数 和 在点 的某一去心邻域内有,例8,例9,例10,当 x 充分大时，有,例11,注意：,1）认真审查计算的极限是否是未定式，若不

21、是未定式则不能用洛比达法则，否则将得出错误的结论。,事实上,2）解题过程中注意及时化简函数式,如约去零因子，提出能确定极限值非零的部分，且注意与其它求极限的方法结合起来。,3）洛比达法则的条件是充分条件，而不是必要条件,即当 不存在时，不能断定 不存在,例,不存在,但,再如 用洛比达法则不存在,事实上,4）反复应用洛比达法则，若出现循环，要停止使用。,例,三.其它未定式的极限,10,20,30,例1,例2,例3,例4,令,例,例,而,5 泰勒定理,一、泰勒（B.Taylor,16851731,英国数学家）定理,微分部分：,，误差较大，精确度不高。,猜想：,定理1（泰勒定理）设函数f(x)在含有

22、点x0的某个开区间(a,b)内具有直到(n+1)阶的导数，则当x(a,b)时，有,其中,这里 是介于x0与x之间的一个实数。,（1）,（2）,称公式（1）为f(x)按(xx0)的幂展开到n阶的泰勒公式，也称为f(x)在点x0展开的n阶泰勒展开式或泰勒公式。,其中Rn(x)称为泰勒公式的余项，公式（2）所表示的余项称为拉格朗日余项。,多项式,称为f(x)在x0点的n次泰勒多项式。,注1：在泰勒公式（1）中，若取n=0，则公式变为拉格朗日公式，即,因此，泰勒定理是拉格朗日定理的推广。,注2：用泰勒多项式近似表示函数f(x)时，产生的误差为|Rn(x)|。如果对于某个固定的n，有|f(n+1)(x)

23、|M（M为正常数），则 有估计式,定理5 设函数在点x 0处有直到n阶的导数，则有,其中,（3）,（4）,公式（3）称为具有皮亚诺（G.Peano,18581932，意大利数学家、逻辑学家）型余项的n阶泰勒公式，也称为f(x)在x0处的n阶局部泰勒公式，（4）式表示的余项称为皮亚诺余项。,二、麦克劳林(C.Maclaurin,16981746,苏格兰数学家)展开式,在泰勒公式（1）及（3）中，若令x0=0，则得,（5）,其中,（6）,介于0与x之间，,或,（7）,公式（5）称为f(x)的n阶麦克劳林展开式或n阶麦克劳林公式。公式（5）中，R n(x)若用（6）式表示，则称（5）为具有拉格朗日型

24、余项的麦克劳林公式；R n(x)若用（7）式表示，则称（5）为具有皮亚诺型余项的麦克劳林公式，或称为局部麦克劳林公式。,由（5）式得近似公式：,相应地，误差估计式变为：,由公式（5），容易得出几个常用的初等函数的麦克劳林公式：,以下推证公式（i），其余公式类似：,令,，则,从而，,代入公式（5）得：,例1 求,在,处的三阶泰勒公式。,解,于是,其中,介于 x与,之间。,例2 求,的n阶麦克劳林展开式。,解 在公式（i）中，以,代x，即得展开式,一、微分中值定理,记：几个常用的展开式,涉及到的题型：,二、函数性态的研究,1.单调性与极值,洛必达法则,单调性判别法；,极值的判定：判别法I、判别法I

25、I；最大值、最小值的求法。,2.凹凸性与拐点,凹凸性判别法；拐点的判定.,3.渐近线,水平渐近线；垂直渐近线；斜渐近线。,4.曲率,涉及到的题型：,证明题：不等式、方程的根等。计算题：单调性、极值；凹凸性、拐点；最值。,函数作图。,例1 证明：,证明：令,又,于是命题得证。,例2 设 f(x)在0,1上连续，在（0，1）内可导，且f(1)=0,试证,至少存在一点,，使,证明：令,，则 F(x)在0，1上连续，在,（0，1）内可导，且F(0)=0,F(1)=0.由罗尔定理，至少存在,一点,使得,，即,例3 若方程,的系数,满足条件,，证明方程必有,小于,的正根。,证明：令,，则 f(x)在,上连续，在,内可导，且,，则由罗尔定理得证。,练习题：,1.设 f(x)在a,b上有三阶导数，且,证明至少存在一点,，使得,2.设,在0，1上满足拉格朗日定理，则定理中的,3.设 f(x)在a,b上连续，在（a,b）内可导，证明至少存在一点,使,。,4.设 f(x)二阶可导，且,，证明,5.证明：,时，,6.求下列函数的单调区间与极值,7.若点（1，2）是,对应图形的拐点，则,a=,b=.,8.试确定常数,，使,的图形关于原点对称，且,时取极小值,9.试求内接于半径为R的球的圆柱体的最大体积。,11.求下列函数的渐近线,