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1、当比较的平均值的数目K3时，不能直接应用t测验或u测验的两两之间的假设测验方法 1、当有k个处理平均数时，将有 个差数，要对这诸多差数逐一进行检验，程序繁琐。2、试验误差估计的精确度降低。3、两两测验的方法会随着K的增加而大大增加犯I型错误的概率。,第八章 单因素方差分析,Chapter 8:One-factor Analysis of Variance(One-Way ANOVA),第八章 单因素方差分析,方差分析：从总体上判断多组数据平均数（K3）之间的差异是否显著 方差分析将全部数据看成是一个整体，分析构成变量的变异原因，进而计算不同变异来源的总体方差的估值。然后进行F测验，判断各样本的
2、总体平均数是否有显著差异。若差异显著，再对平均数进行两两之间的比较。(by RA Fisher),Chapter 8:One-factor Analysis of Variance,例 调查5个不同小麦品系株高是否差异显著,因变量(响应变量):连续型的数值变量株高因素(Factor)：影响因变量变化的客观条件一个因素：“品系”单因素方差分析水平(Level)：因素的不同等级 不同“处理”五个水平：品系I-V重复(Repeat)：在特定因素水平下的独立试验五次重复,单因素方差分析的数据形式,X因素的a个不同水平（处理）,每个处理下n个重复,方差分析原理,线性统计模型：模型中的xij是在第i次处理
3、下的第j次观测值。是总平均数。i是对应于第i次处理的一个参数，称为第i次处理效应(treatment effect)。ij是随机误差，是服从N(0，2)的独立随机变量。,方差分析原理,固定因素：因素的a个水平是人为特意选择的。方差分析所得结论只适用于所选定的a个水平。固定效应模型：处理固定因素所使用的模型。随机因素：因素的a个水平是从水平总体中随机抽取的。从随机因素的a个水平所得到的结论，可推广到该因素的所有水平上。随机效应模型：处理随机因素所使用的模型。,固定效应模型,其中i是处理平均数与总平均数的离差，因这些离差的正负值相抵，因此 如果不存在处理效应，各i都应当等于0，否则至少有一个i0。
4、因此，零假设为：H0：12 a0 备择假设为：HA：i 0（至少有一个i）,固定效应模型,平方和与自由度的分解,固定效应模型,固定效应模型,单因素固定效应模型的方差分析表,处理效应对均方的贡献,固定效应模型,方差分析统计量：,若零假设成立，不存在处理效应，则组内变异和组间变异都只反映随机误差()的大小，此时处理均方()和误差均方()大小相当，F 值则接近1，各组均数间的差异没有统计学意义；反之，如果存在处理效应，则处理变异不仅包含随机误差，还有处理效应引起的变异()，此时F值显著大于1，各组均数间的差异有统计学意义。故依据 F 值的大小可判断各组之间平均数有无显著差别。,固定效应模型,平方和的
5、简易计算,C称为校正项。误差平方和 SSe SSTSSA,减少计算误差利于编程,例 调查5个不同小麦品系株高，结果见下表：,F4,20,0.052.87，F4,20,0.014.43。F F0.01，P0.01。因此，上述5个小麦品系的株高差异极显著。,方差分析表,随机效应模型,其中处理效应i为随机变量，服从=0的独立正态分布，其方差为 在随机效应模型中，对单个i的检验是无意义。若假设不存在处理效应，则i的方差为零，即零假设为：备择假设为：,随机效应模型,单因素随机效应模型的方差分析表,随机效应与固定效应的方差分析的比较程序相同；获得数据的方式不同；假设不同；均方期望不同；适用范围不同。,方差
6、分析应具备的条件,1、可加性(Addictivity)：各处理效应与误差效应是可加的。,处理项与随机误差项的交叉乘积和=0,方差分析应具备的条件,2、正态性(Normality)：:NID(0,2)应该是随机的、彼此独立的,服从正态分布。正态性不满足：但处理的误差趋向于处理平均数的函数关系。例如，二项分布数据，平均数期望为，方差期望为(1-)/n，方差与平均数有函数关系。如果这种函数关系是已知的，则可对观察值进行反正弦转换或对数转换、平方根值转换，从而使误差转化成近似的正态分布。,方差分析应具备的条件,3、方差齐性(Homogeneity)：方差分析中的误差项方差是将各处理的误差合并而获得一个
7、共同的误差方差，因此必须假定资料中有这样一个共同的方差2存在(Bartlett检验法)如果各处理的误差方差不齐，则在假设测验中处理效应得不到正确的反映。,单因素方差分析的SPSS实现,例8.1：小麦株高与品系的关系研究-单因素固定模型的方差分析,SPSS one-way ANOVA output,单因素方差分析的SPSS实现,F4,2042.279，P0.0000.01。因此，上述5个小麦品系的株高差异极显著。,Between Groups:处理间Within Groups:处理内,多重比较,当方差分析拒绝H0，为探究具体是在哪些组对之间存在显著差异，须对各处理平均数之间进行逐对比较，即多重比
8、较（multiple comparison）post-ANOVA analysis(Post Hoc test)。如何进行多重比较？,逐对进行双样本的平均数差的t-检验？,增大了犯I型错误的概率，不可取,多重比较方法：最小显著差数（LSD）检验 Student-Newman-Keuls（SNK）q检验 Duncan 检验 Dunnett t检验 Tukey 检验,多重比较,多重比较,最小显著差数法（Fishers Least significant difference test，LSD）是t检验的变形，在变异和自由度的计算上利用了整个样本信息，而不仅仅是所比较两组的信息。检验的敏感度最高，倾
9、向于得出差异显著的结论，在比较时仍然存在放大1型错误的问题。,多重比较,最小显著差数法（LSD）,当 时，,当差异显著时，,当差异不显著时，,多重比较-Duncan multiple range test,梯形列表法显示结果,多重比较的SPSS实现,例8.1：小麦株高与品系的关系研究-多重比较,多重比较的SPSS实现,SPSS Duncans test output(1),结果的解读：除品系1、2之间外，其它各品系间均存在显著差异。,多重比较的SPSS实现,SPSS Duncans test output(2),结果的解读：除品系1、2及3、5之间外，其它各品系间均存在极显著差异。,科学论文中多重比较实例,字母标记法显示结果,各平均数间，凡有一个相同标记字母的即为差异不显著，没有相同标记字母的即为差异显著。字母大写表示极显著水平(=0.01)，小写表示显著水平(=0.05),试用字母标记法表示如下多重比较的结果：,结论：处理1、4，3、4，2、3之间差异极显著,A,B,C,
