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1、多面体欧拉公式的发现,研究性课题：,制作：钱晓萍,一些定义：,若干个平面多边形围成的几何体叫多面体。,围成多面体的各个多边形叫多面体的面(Face)。,两个面的公共边叫多面体的棱(Edge)。,若干个面的公共顶点叫多面体的顶点(Vertex)。,多面体的面数F4，棱数E 6，顶点数V 4。,4,6,4,回顾知识,问题一：,问题二：,我们知道正多边形有无限多种，前面我们学习过，正多面体只有5种：正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体。这是为什么呢？,小明想用90根相同火柴棒拼出一个形如足球的多面体，他连续拼了N次,仍然没有合理地拼出此多面体.你能帮助他设计出来吗？,多面体的顶点数、
2、面数和棱数之间有什么关系呢？,瑞士数学家欧拉早在1750年就研究过这个问题，并得出自己的结论，下面我们就沿着欧拉的足迹来探索这个关系。,1、观察下面有5个多面体，分别数出它们的顶点数V、面数F和棱数E，并填出下表；,4,6,8,12,6,8,9,8,15,9,9,16,4,6,12,V,F,E,+,_,5,5,8,12,12,24,7,8,12,观察表中数据，这些图形的V、F和E 符合前面所找出的规律吗？,出现这些区别的原因是什么？,比较前面问题1和问题2中的图形，,如果这些多面体的表面都是用橡皮薄膜制作的，并且可以向它们内部充气，那么其中哪些多面体能够连续(不破裂)变形，最后其表面可变为一个
3、球面？,定义：表面经过连续变形能变为一个球面的多面体 叫做简单多面体,问题1：我们所熟悉的棱柱、棱锥、正多面体等一切凸多面体是简单多面体吗？,问题2：五种正多面体是简单多面体吗？,20,12,30,12,20,30,问题3：五种正多面体都满足V+F-2=E吗？,问题4：简单多面体都满足V+F-2=E吗？,欧拉（公元1707-1783年）出生在瑞士的巴塞尔（Basel）城，13岁就进巴塞尔大学读书，他从19岁开始发表论文，直到76岁，共写下了886本书籍和论文，彼得堡科学院为了整理他的著作，足足忙碌了四十七年他是科学史上最多产的数学家。,这是由欧拉在1750年发现的，故称为欧拉公式。欧拉公式的背
4、后是一门新的几何学，这种新的几何学只研究图形各部分位置的相对次序，而不考虑图形尺寸大小，如今这门学科已经发展成数学的一个重要的分支拓朴学。,欧拉著作的惊人多产并不是偶然的，他可以在任何不良的环境中工作，他常常抱着孩子在膝上完成论文，也不顾孩子在旁边喧哗过度的工作使他得了眼病，不幸右眼失明了，这时他才28岁不料没有多久，左眼视力衰退，最后完全失明仍然以惊人的毅力与黑暗搏斗，凭着记忆和心算进行研究，直到逝世。,欧拉的一生，是为数学发展而奋斗的一生，他那杰出的智慧，顽强的毅力，孜孜不倦的奋斗精神和高尚的科学道德，永远是值得我们学习的,以欧拉名字命名的数学公式、定理等在数学书籍中随处可见,欧拉还创设了
5、许多数学符号，例如，i，e，sin和cos，tan，x，f(x)等他还在物理、天文、建筑以至音乐、哲学方面取得了辉煌的成就。1735年，欧拉解决了天文学中计算慧星轨道的问题，这个问题经几个著名数学家几个月的努力才得到解决，而欧拉却用自己发明的方法，三天便完成了,基础知识形成性练习,下列说法中正确的是,（1）只有正多面体的顶点数、面数、棱数满足欧拉定理；,（2）所有凸多面体的顶点数、面数、棱数满足欧拉定理；,（3）所有简单多面体的顶点数、面数、棱数满足欧拉定理；,（4）所有多面体的顶点数、棱数满足欧拉定理。,A（1）（2）B（1）（4）C（2）（3）D（3）（4）,小明想用90根相同火柴棒拼出一个形如足球的多面体，他连续拼了N次,仍然没有合理地拼出此多面体.现在你能帮助他设计出来吗？,解：,设足球中形状为五边形和六边形的面各有x个和y个，,棱数E=90，,面数F=x+y,根据欧拉公式，得：,另一方面，棱数也可由多边形的边数来表示,由以上两方程可解出,答：这个形如足球的多面体中五边形和六边形的 面分别有12个和20个。,一个顶点有三条棱，,一条棱有两个顶点，,得,V=60,=90,练习与测试,一个凸多面体的各面都是四边形，证明它的顶点数V和面数F有F=V-2的关系。,
