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1、第一章 习题课,一、向量的定义,定义:n 个有次序的数a1,a2,an所组成的数组称为n维向量,这n个数称为该向量的n个分量,第 i 个数ai 称为第 i 个分量.分量全为实数的向量称为实向量,分量为复数的向量称为复向量.行向量;列向量.,向量的相等;负向量;零向量.,向量按照矩阵运算法则进行运算.,向量加法和数乘向量运算称为向量的线性运算,满足下列八条运算规则:,二、向量的线性运算,(1)加法交换律:a+b=b+a;(2)加法结合律:(a+b)+g=a+(b+g);(3)对任一向量a,有a+O=a;(4)对任一向量a,存在负向量a,有a+(a)=O;(5)1 a=a;(6)数乘结合律:k(l
2、 a)=(l k)a;(7)数乘对向量加法的分配律:k(a+b)=ka+kb;(8)数量加法对数乘的分配律:(k+l)a=ka+l a;,其中a,b,g为n维向量,1,k,l为数,O为零向量.,除了上述八条运算规则,显然还有以下性质:,(1)0a=O;(2)若 ka=O,则或者k=0,或者a=O;(3)向量方程:a+x=b,有唯一解 x=a-b;,其中a,b 为n维向量,0为数零,k任意数,O为零向量.,三、线性组合,若干个同维数的列向量(或同维数的行向量)所组成的集合叫做向量组.,定义:给定向量组A:1,2,m,对于任何一组实数k1,k2,km,向量k11+k22+kmm称为向量组A:1,2
3、,m一个线性组合,k1,k2,km称为这个线性组合的系数.,给定向量组A:1,2,m和向量b,如果存在一组数1,2,m,使b=11+22+mm则向量b是向量组A的线性组合,这时称向量b能由向量组A线性表示.,定理1:向量b能由向量组A线性表示的充分必要条件是矩阵A=(1,2,m)与B=(1,2,m,b)的秩相等.,定义:设有两向量组A:1,2,m 与 B:1,2,s.若B组中的每一个向量都能由A组线性表示,则称向量组B能由向量组A线性表示;若向量组B与向量组A可以相互线性表示,则称这两个向量组等价.,四、线性相关性,定义:给定向量组A:1,2,m,如果存在不全为零的数 k1,k2,km,使k1
4、1+k22+kmm=O则称向量组A是线性相关的,否则称它是线性无关.,定理3:向量组1,2,m线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵A=(1,2,m)的秩小于向量个数m;向量组线性无关的充分必要条件是R(A)=m.,定理2:向量组 1,2,m(当 m2 时)线性相关的充分必要条件是1,2,m中至少有一个向量可由其余 m1个向量线性表示.,定理4:(1)若向量组A:1,2,m线性相关,则向量组B:1,2,m,m+1也线性相关;反言之,若向量组B线性无关,则向量组A也线性无关.,(2)设,即j 添上一个分量后得向量j.若向量组A:1,2,m线性无关,则向量组B:1,2,m也线性无关;反言之,若向量
5、组B线性相关,则向量组A也线性相关.,(3)m个n维向量组成的向量组当维数n小于向量个数m时一定线性相关,(4)设向量组A:1,2,m线性无关,而向量组B:1,2,m,线性相关,则向量 必能由向量组A线性表示,且表示式是唯一的.,定义:设有向量组A,如果在A中能选出r 个向量 A0:1,2,r,满足(1)向量组A0:1,2,r,线性无关;(2)向量组A中任意r+1个向量(如果存在的话)都线性相关.那末称向量组A0是向量组A的一个最大线性无关向量组(简称最大无关组).最大无关组所含向量个数r 称为向量组的秩.,五、向量组的秩,定理1:矩阵的秩等于它的列向量组的秩,也等于它的行向量组的秩.,定理2
6、:设向量组B能由向量组A线性表示,则向量组B的秩不大于向量组A的秩,即 R(B)R(A).,推论1:等价的向量组的秩相等.,推论2:设Cmn=Ams Bsn,则R(C)R(A),R(C)R(B).,推论3:设向量组B是向量组A的部分组,若向量组B线性无关,且向量组A能由向量组B线性表示,则向量组B是向量组A的一个最大无关组.,六、向量空间,定义:设V为n维向量的集合,如果集合V非空,且集合V对于加法及乘数两种运算封闭,那么就称集合V为向量空间.,集合V对于加法及乘数两种运算封闭是指:若,V,则+V;若 V,R,则 V.,一般地,由向量组a1,a2,am所生成的向量空间,为:,七、子空间,定义:
7、设有向量空间V1及V2,若有V1V2.则称V1是V2的子空间.,八、基与维数,定义:设V是向量空间,如果有r 个向量1,2,rV,满足(1)1,2,r 线性无关;(2)V中任一向量都可由1,2,r 线性表示.则称向量组1,2,r为向量空间V的一个基,称整数r 为向量空间V的维数,并称V为r 维向量空间.,说明1:只含有零向量的向量空间称为0维向量空间,因此它没有基,说明2:若把向量空间V看作向量组,那末V的基就是向量组V的最大无关组,V的维数就是向量组的秩.,说明3:若向量组1,2,r 是向量空间V的一个基,则V可表示为,九、齐次线性方程组,向量方程;解向量.,解向量的性质,(1)若x=1,x
8、=2为Ax=0的解,则 x=1+2也是Ax=0的解.,(2)若x=1为Ax=0的解,k为数,则 x=k1也是Ax=0的解.,由以上两个性质可知,方程组的全体解向量所组成的集合,对于加法和数乘运算是封闭的,因此构成一个向量空间,称此向量空间为齐次线性方程组 Ax=0的解空间.,定义:如果向量组1,2,t 为齐次线性方程组Ax=0的解空间的一组基,则向量组1,2,t 称为齐次线性方程组Ax=0的基础解系.,称向量组1,2,t为齐次线性方程组Ax=0的基础解系,如果,(1)1,2,t 是Ax=0的一组线性无关的解;(2)Ax=0的任一解都可由1,2,t 线性表出.,方程组Ax=0的基础解系是不唯一的
9、.,如果向量组1,2,t 为齐次线性方程组Ax=0的一组基础解系,那么,Ax=0的通解可表示为:x=k11+k22+ktt其中k1,k2,ktt 为任意常数.,求齐次线性方程组的基础解系,1.用初等行变换将系数矩阵A化为最简行阶梯形:,2.将第r+1,r+2,n列的前r个分量反号,得解1,2,n-r的前r个分量:,3.将其余nr个分量依次组成 nr 阶单位矩阵,于是得齐次线性方程组的一个基础解系:,十、非齐次线性方程组,(1)设 x=1 及 x=2 都是方程组 Ax=b 的解,则 x=12为对应齐次方程组Ax=0的解.,(2)设 x=是方程组 Ax=b 的解,x=是方程组 Ax=0 的解,则
10、x=+仍为方程组 Ax=b 的解.,解向量的性质,求非齐次线性方程组的特解,用初等行变换将增广矩阵B化为最简行阶梯形:,当dr+10时,则方程组 Ax=b 无解;否则,得齐次线性方程组Ax=0的基础解系1,2,n-r和非齐次线性方程组Ax=b的一个特解:*=(d1,d2,dr,0,0)T.,一、向量组线性相关性的判定,典型例题,研究这类问题一般有两个方法.,方法1.从定义出发,整理得齐次线性方程组:,令 k11+k22+kmm=0,即,(1),若齐次线性方程组(1)只有零解,则1,2,m线性无关;否则,1,2,m线性相关.,方法2.利用矩阵的秩与向量组的秩之间的关系,给出一组n维向量1,2,m
11、,就得到一个相应的矩阵A=(1,2,m),求R(A),则 若R(A)=m,则 1,2,m线性无关;若R(A)m,则 1,2,m线性相关.,例1:研究下列向量组的线性相关性,解一:令 k11+k22+k33=0,即,整理得齐次线性方程组:,(2),上述齐次线性方程组(2)的系数行列式为:,齐次线性方程组(2)有非零解,故1,2,3线性相关.,解二:构造矩阵,A=(1,2,3)=,则,由 R(A)=2 3 得,向量组1,2,3线性相关.,例2:设向量组1,2,r(r 2)线性相关,证明:存在不全为零的数 t1,t2,tr,使得对任何向量,都有1+t1,2+t2,r+tr,线性相关.,分析:我们从定
12、义出发,考察向量方程:,k1(1+t1)+k2(2+t2)+kr(r+tr)=0,即向量方程:,k11+k22+krr+(k1t1+k2t2+krtr)=0,是否有某组不全为零的数k1,k2,kr,而使得对任何向量,恒有非零解,因此可得如下证明:,证明:因为向量组1,2,r 线性相关,所以,存在不全为零的数k1,k2,kr,使得k11+k22+krr=0.,因为 r 2,所以必有非零解,设(t1,t2,tr)为其一个非零解,则对任意向量,都有,再考察方程组:k1x1+k2x2+krxr=0.,k11+k22+krr+(k1t1+k2t2+krtr)=0,即,k1(1+t1)+k2(2+t2)+
13、kr(r+tr)=0.,线性相关.,由k1,k2,kr不全为零得:,1+t1,2+t2,r+tr,例3:已知向量组A:1,2,s 的秩是r,证明:A中任意个r 线性无关的向量均构成它的一个最大线性无关组.,分析:证明向量组的一个部分组构成最大线性无关组的基本方法就是:根据最大线性无关组的定义来证,它往往还与向量组的秩相联系.,证明:不失一般性,设 是A:1,2,s 中的任意r 个线性无关的向量,于是对于任意的k(k=1,2,s),向量组,k 线性相关,否则向量组A的秩大于r.,二、求向量组的秩,求一个向量组的秩,可以把它转化为矩阵的秩来求,这个矩阵是由这组向量为行(列)向量所排成的.若矩阵A经
14、过初等行(列)变换化为矩阵B,则A和B中任何对应的列(行)向量组都有相同的线性相关性.,如果向量组的向量以列(行)向量的形式给出,把向量作为矩阵的列(行),对矩阵作初等行(列)变换,这样,不仅可以求出向量组的秩,而且可以求出最大线性无关组.,例4:求向量组,的秩.,解:作矩阵A=(1,2,3,4,5),对A作初等行变换化为阶梯形.,故,R(A)=3,从而向量组1,2,3,4,5的秩为3.,又1,2,4是向量组1,2,3,4,5的一个最大线性无关组.,所以1,2,4也是向量组1,2,3,4,5的一个最大线性无关组.,三、向量空间的判定,判断向量的集合是否构成向量空间,需看集合是否对于向量的加法和
15、数乘两种运算封闭.若封闭,则构成向量空间;否则,不构成向量空间.,例5:判断R3中与向量(0,0,1)不平行的全体向量所组成的集合是否构成向量空间.,解:R3中与向量(0,0,1)不平行的全体向量所组成的集合V是否构成向量空间.,两向量,平行当且仅当它们的分量对应成比例.,因为,对不平行于向量(0,0,1)的向量,1=(0,k,0),2=(0,-k,1)V(k 0),1+2=(0,0,1)V.,有,即V对加法运算不封闭,故V不构成向量空间.,四、基础解系的证法,例6:证明与基础解系等价的线性无关的向量组也是基础解系.,分析:要证明某一向量组是方程组Ax=0的基础解系,需要证明三个结论:(1)该
16、组向量都是方程组的解;(2)该组向量线性无关;(3)方程组的任一解均可由该向量组线性表示.,证明:设1,2,t是方程组Ax=0的一个基础解系,1,2,m是与1,2,t等价的线性无关的向量组.由于等价的线性无关向量组所含向量个数相同,所以,这两个向量组所含向量个数相等,即 m=t.,(1)由向量组的等价关系易知,i(i=1,2,t)可以表示成 1,2,t 的线性组合.而方程组 Ax=0 的解的线性组合仍然是原方程组的解,故1,2,t 仍是方程组 Ax=0 的解.,(2)由题设知,1,2,t 是线性无关的.,(3)设为方程组Ax=0的任一解,则可由1,2,t 线性表示,由向量组的等价性,1,2,t
17、 均可由1,2,t 线性表示,故也可由1,2,t 线性表示.,注:当线性方程组有非零解时,基础解系的取法不唯一,且不同的基础解系之间是等价的.,故由定义知,1,2,t 也是方程组Ax=0 的一个基础解系.,五、解向量的证法,例7:设*是非齐次线性方程组Ax=b的一个解,1,2,nr是其导出组(对应齐次线性方程组Ax=0)的一个基础解系,证明:(1)*,1,2,nr 线性无关;(2)*,*+1,*+2,*+nr 是方程组Ax=b的nr+1个线性无关的解;(3)方程组Ax=b的任一解x都可以表示为这nr+1个解的线性组合,而且组合系数之和为1.,证明(1):令,k0*+k11+k22+knr nr
18、=0(1),其中必有k0=0.,否则有,由于1,2,nr 是其对应齐次线性方程组Ax=0的基础解系,故等式右边的线性组合必为 Ax=0 的解,而等式左边*是非齐次线性方程组Ax=b 的解.矛盾.所以有 k0=0.,将 k0=0 代如(1)式得,k11+k22+knr nr=0,由于1,2,nr 线性无关,因此只能有k0=k1=k2=knr=0,所以,*,1,2,nr 线性无关.,(2)由线性方程组解的性质知,*,*+1,*+2,*+nr 都是Ax=b的解,以下证它们线性无关.,k0*+k1(*+1)+knr(*+nr)=0,令,得,(k0+k1+knr)*+k11+knrnr=0,类似于(1)
19、的证明方式,可得,故,*,*+1,*+2,*+nr 是方程组Ax=b的 nr+1个线性无关的解;,*,*+1,*+2,*+nr 是线性无关的.,(3)设x为方程组Ax=b的任一解,则 x可表为,x=*+c11+cnrnr,=*+c1(*+1*)+cnr(*+nr*),=(1c1 cnr)*+c1(*+1)+cnr(*+nr),令 c0=1c1 cnr,则c0+c1+cnr=1,故,方程组Ax=b的任一解x都可以表示为这nr+1个解*,*+1,*+2,*+nr的线性组合,而且组合系数之和为1.,注意(1):本例是对非齐次线性方程组Ax=b的解的结构作进一步的分析和讨论,即非齐次线性方程组一定存在
20、着nr+1个线性无关的解,题中(2)的证明表明了它的存在性.,注意(3):对非齐次线性方程组Ax=b,有时也把如题中所给的nr+1个解称为Ax=b的基础解系,所不同的是它的线性组合只有当组合系数之和为1时,才是方程组Ax=b的解.,注意(2):对齐次线性方程组,当R(A)=r n 时,有无穷多组解,其中任一解可由其基础解系线性表示.,10.设向量组A:a1,a2,am的秩为p,向量组B:b1,b2,bn的秩为q,向量组C:a1,a2,an,b1,b2,bn的秩为r,证明,证明:显然向量组A和B都可由向量组C线性表示.,因此有,R(A)R(C),R(B)R(C),即 Maxp,q r.,设向量组
21、A,B的最大无关组分别为A0,B0,且A0与B0中的所有向量构成向量组D.,由于R(A)=p,R(B)=q,所以向量组A0,B0中的向量个数分别为p,q,故向量组D中的向量数仅为 p+q 个.,又由于向量组A0和B0都可由向量组D线性表示,从而,向量组A和B都可由向量组D线性表示,所以,R(D)p+q.,Maxp,q r p+q.,C可由向量组D线性表示,因此,故向量组,p+q.,r=,R(C)R(D),Maxp,q r p+q.,因此得证:,11.证明:R(A+B)R(A)+R(B).,证明:设A=(a1,a2,an),B=(b1,b2,bn),则A+B=(a1+b1,a2+b2,an+bn
22、)=(c1,c2,cn),显然,向量组c1,c2,cn即a1+b1,a2+b2,an+bn可以由向量组 a1,a2,an,b1,b2,bn线性表示.,所以,R(c1,c2,cn)R(a1,a2,an,b1,b2,bn),R(a1,a2,an,b1,b2,bn),又由习题10知,R(a1,a2,an)+R(b1,b2,bn),因此,R(c1,c2,cn)R(a1,a2,an)+R(b1,b2,bn),即,R(A+B)R(A)+R(B),21.设A,B都是n阶方阵,且AB=O,证明:,R(A)+R(B)n.,证明:设R(A)=r.,是以A为系数矩阵的齐次线性方程组Ax=0的解向量.,由AB=O知,
23、B的每一个列向量都,(1)当 r=n 时,齐次线性方程组Ax=0只有零解,故B=O,此时有,R(A)+R(B)=n+0=n,结论成立.,(2)当 r n 时,该齐次线性方程组Ax=0的基础解系中含有nr个向量,从而,B的列向量组的秩 nr,即R(B)nr,此时有,R(A)+R(B)r+n r=n.,综上所述,结论成立.,所以,由习题21结论可知:,R(A)+R(EA)n.,再由习题11结论得:,R(A)+R(AE)=R(A)+R(EA),R(A+(EA),=R(E)=n.,因此,有,R(A)+R(AE)=n.,22.设n阶矩A阵满足A2=A,E为n阶单位矩阵,证明,证明:由条件A2=A得,A(
24、EA)=O,R(A)+R(AE)=n.,(提示:利用题11及题21的结论),例:设A*为n 阶方阵A的伴随矩阵,证明:(1)当R(A)=n 时,R(A*)=n;(2)当R(A)=n 1 时,R(A*)=1;(3)当R(A)n 1 时,R(A*)=0.,证明:已知AA*=|A|E.,(1):当R(A)=n 时,则|A|0,所以A和A*均为可逆方阵,从而R(A*)=n.,(2):当R(A)=n 1时,则|A|=0,所以AA*=O.,则由习题21得,R(A)+R(A*)n,因此,R(A*)1.,又由R(A)=n 1知,A中至少有一个n 1阶子式不为零,即A*中至少有一个非零元素,所以R(A*)1,从
25、而R(A*)=1.,(3):当R(A)n 1 时,A中所有一个n 1阶子式都,为零,故A*=O,所以R(A*)=0.,填空题,1.设1=(2,1,0,5),2=(4,2,3,0),3=(1,0,1,k),4=(1,0,2,1),则 k 时,1,2,3,4 线性无关.,2.设1=(2,1,3,0),2=(1,2,0,2),3=(0,5,3,4),4=(1,2,t,0),则 t=时,1,2,3,4 线性相关.,3.已知向量组1=(1,2,3,4),2=(2,3,4,5),3=(3,4,5,6),4=(4,5,6,7),则该向量组的秩=.,4.n维单位向量组e1,e2,en均可由向量组1,2,s 线性表出,则向量个数 s n.,任意实数,2,5.已知A=,则R(A)=.,6.方程组 Ax=0 以1=(1,0,2),2=(0,1,1)为其基础解系,则该方程的系数矩阵为.,7.设=(1,2,3)T,=(1,2,3),A=,则R(A)=.,8.向量组1=(1,2,3,4),2=(2,3,4,5),3=(3,4,5,6),4=(4,5,6,7)的最大无关组是.,5,(-2 1 1),1,1,2,任意两个,
