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1、楚水实验学校高二数学备课组,空间向量（期末复习）,一、空间向量及其线性运算,空间向量的加法、数乘运算满足下列运算律：(1)加法交换律：a+b=b+a；(2)加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)；(3)数乘分配律：(a+b)=a+b。,空间向量基础知识,空间向量：是指具有大小和方向的量叫做向量空间向量也用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量,二、共线向量与共面向量,定理1 空间向量a、b平行的充分必要条件是存在实数，使a=b。(b0),定理2 如果向量a、b不共线，则向量p与a、b共面的充分必要条件是存在实数对x,y，使p=xa+yb.,推论1 a,b,c共面存在
2、不全为零的实数x，y，z，使xa+yb+zc=0。,推论2 若a,b,c不共面，且有实数x，y，z，使 xa+yb+zc=0，则x=y=z=0。,定理3 如果向量a,b,c不共面，那么对于空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p=xa+yb+zc,(共面向量定理）,(共线向量定理）,(空间向量基本定理）,三、空间向量的数量积运算,定义 实数|a|b|cos叫做向量a,b的数量积，记做ab，即 ab=|a|b|cos,空间向量的性质：,（1）ae=|a|cos(e为单位向量)；,（3）当a、b同向时，ab=|a|b|，当a、b反向时,ab=-|a|b|，特别地aa=|a|2；,（
3、4）向量的数量积满足下列运算律：(ab)=a(b)ab=ba；a(b+c)=ab+ac,（5）|ab|a|b|,四、空间直角坐标系与空间向量的坐标运算,1、空间直角坐标系 从空间某一定点O引三条两两垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系O-xyz.点O为坐标原点，x轴，y轴，z轴叫坐标轴，每两个坐标轴确定的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面，yOz平面，zOx平面。,右手坐标系,在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴、z轴方向相同的单位向量i、j、k,则对于空间任一向量a，总存在唯一的有序数组（x，y，z）使a=xi+yj+zk,则有序数组（x,y,z)叫做向量a在空间坐标系O-
4、xyz中的坐标 记为a=（x，y，z）.,2、向量的坐标表示,3、向量的运算和性质的坐标表示表示,（1）设,则,（3）设,则,（2）两点间距离公式,（4）模长公式,（5）夹角公式,（6）平行的条件：对应坐标成比例,垂直的条件：x1x2+y1y2+z1z2=0,五、直线的方向向量与平面的法向量及其应用,空间直线的方向向量：,平面的法向量：,六、空间角及距离公式,线线线面面面,求夹角：,位置关系判断：,4.已知A（0，2，3），B（-2，1，6），C（1，-1，5），若 的坐标为.,2.已知 与 平行，则a+b=_3.与向量a=(1,2,3),b=(3,1,2)都垂直的向量为（）A(1,7,5)B
5、(1,-7,5)C(-1,-7,5)D(1,-7,-6),课堂基础训练,1.已知点A（3，-5，7），点B（1，-4，2），则 的坐标是_，AB中点坐标是_=_,-7,C,8.设|m|1，|n|2，2mn与m3n垂直，a4mn，b7m2n，则 _,7.若 的夹角为.,6、已知=（2，-1，3），=（-4，2，x），若 与 夹角是钝角，则x取值范围是_,5.已知向量，a与b的夹角为_,（2）若 求OA与BC夹角的余弦值,例题1如图，在空间四边形OABC中，E、F分别是OC与AB的中点，（1）求证：,向量法,证:(2)连接AC,因ABCD是菱形,所以,BDAC.,所以BD平面ACC1A,所以,BD
6、A1C.,由(1),BDCC1,设 CD=CB=1,CC1=x,则 cos-xcos+1-x2=0,所以 x=1,评注:用向量法研究空间线面关系,在平面的法向量不能直接给定的情况下,可转化为平面内的向量与直线的方向向量的关系去讨论.,坐标法,例1在棱长为2的正方体AC1中，P、Q 分别是BC，CD上的点，且PQ=,（1）求证：确定点P，Q的位置，使得B1QD1P；,（2）当B1QD1P时，求二面角C1-PQ-A的大小.,a=1,例1在棱长为2的正方体AC1中，P、Q 分别是BC，CD上的点，且PQ=,（1）求证：确定点P，Q的位置，使得B1QD1P；,（2）当B1QD1P时，求二面角C1-PQ
7、-A的大小的余弦.,解(1)当P，Q分别是BC，CD的中点时，B1QD1P,在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，BC2，AA16，求(1)异面直线BD1和B1C所成角的余弦值；（2）BD1与平面AB1C的夹角,练习：,练习：1、如图，正四棱锥P-ABCD中，PA=AB，,点M，N分别在PA，BD上，且,（1）求证；MNAD；,（2）求证；MN平面PBC；,=,=,（3）求MN与PC所成的角,2.如图，在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD底面ABCD（）证明AB平面VAD；（）求面VAD与面VDB所成的二面角的大小,3、已知菱形ABCD，其边长为2，BAD=60O，今以其对角线BD为棱将菱形折成直二面角，得空间四边形ABCD（如图），求：(1)AB与平面ADC的夹角；(2)二面角B-AD-C的大小,
