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1、第九章,第七节,一、方向导数,二、梯度,方向导数与梯度,问题的实质：应沿温度变冷最快的方向爬行,问题的提出,实例:,一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是,(1,1),(5,1),(1,3),(5,3).,在坐标原点处有一个火焰,它使金属板受热.,假定板上任意一点(x,y)处的温度与,该点到原点的距离成反比,在(3,2)处有一只青蛙，,问这只青蛙应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点?,t,一、方向导数,t,说明:,说明:当偏导数存在时,则,x,y,o,t,注意:,例如:,不存在.,但,证:,定理:,则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在,且有,例1.,求函数,的方向的方向导数.,解:方向
2、l:,方向l 的方向余弦为:,例2.求函数,在点P(3,4)沿与x 轴夹角为,方向的方向导数.,解:方向 l 的方向角为:,对于三元函数,沿方向 的方向导数为,推广:,例3.,解:,例4.设,是曲面,在点 P(1,1,1)处,指向外侧的法向量,解:,方向余弦:,方向,的方向导数.,在点P 处沿,求函数,(gradient),二、梯度,问题:,方向导数的最大值：,1.梯度的定义,设函数 z=f(x,y)在平面区域D内具有一阶连续偏导数,称向量,例5.,解:,2.梯度与方向导数的关系,方向导数取得最小值(负数),且,沿与梯度垂直方向函数不变化.,沿梯度方向函数增加最快.,沿梯度反方向函数减少最快.
3、,方向导数取得最大值(正数),且,例6.,的方向导数;,的方向导数;,解:,(1)函数沿梯度方向增加最快.,沿梯度方向的方向导数为,沿梯度的反方向的方向导数为,此方向为,推广:,例7.,解:,在这两个方向的变化率各为,在几何上 表示一个曲面,曲面被平面 所截得,梯度为等值线上的法向量,等值线,3.梯度的几何意义,所得曲线在 xoy 面上投影,如图:,同样,对应函数,有等值面:,当各偏导数不同时为零时,其上,点P处的单位法向量为,内容小结,1.方向导数,三元函数,在点,沿方向 l(方向角,的方向导数为,二元函数,在点,的方向导数为,沿方向 l(方向角为,2.梯度,三元函数,在点,处的梯度为,二元函数,在点,处的梯度为,练习题:,2.函数,在点,处的梯度,指向 B(3,2,2)方向的方向导数是.,在点A(1,0,1)处沿点A,1.函数,思考与练习,3.设函数,(1)求函数在点 M(1,1,1)处沿曲线,在该点切线方向的方向导数;,(2)求函数在 M(1,1,1)处的梯度与(1)中切线方向,的夹角.,曲线,3.(1),在点,解答提示:,M(1,1,1)处切线的方向向量,4.,解:,作业P108:1,4,5,8,10.,
