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1、1,材料计算机数值模拟讲义 有限差分法,2,主要内容,1、差分原理及逼近误差2、差分方程，截断误差和相容性3、收敛性与稳定性4、Lax等价定理,3,第一节 差分原理及逼近误差/差分原理（1/8）,1差分原理 设有x的解析函数y=f(x)，从微分学知道函数y对x的导数为,（1-1）,是函数对自变量的导数，又称微商；,、,分别称为函数及自变量的差分，,为函数对自变量的差商。,4,第一节 差分原理及逼近误差/差分原理（2/8）,向前差分,（1-2）,向后差分,（1-3）,中心差分,（1-4）,0,5,第一节 差分原理及逼近误差/差分原理（3/8）,上面谈的是一阶导数，对应的称为一阶差分。对一阶差分再
2、作一阶差分，所得到的称为二阶差分，记为。,以向前差分为例，有,（1-5）,6,第一节 差分原理及逼近误差/差分原理（4/8）,依此类推，任何阶差分都可由其低一阶的差分再作一阶差分得到。例如n 阶前差分为,（1-6）,7,第一节 差分原理及逼近误差/差分原理（5/8）,函数的差分与自变量的差分之比，即为函数对自变量的差商。一阶向前差商为,一阶向后差商为,（1-7）,（1-8）,8,第一节 差分原理及逼近误差/差分原理（6/8）,一阶中心差商为,或,（1-9）,（1-10）,9,第一节 差分原理及逼近误差/差分原理（7/8）,二阶差商多取中心式，即,当然，在某些情况下也可取向前或向后的二阶差商。,
3、（1-11）,10,第一节 差分原理及逼近误差/差分原理（8/8）,以上是一元函数的差分与差商。多元函数f(x,y,)的差分与差商也可以类推。如一阶向前差商为,（1-12）,（1-13）,11,第一节 差分原理及逼近误差/逼近误差（1/9）,差商与导数之间的误差表明差商逼近导数的程度，称为逼近误差。由函数的Taylor展开，可以得到逼近误差相对于自变量差分（增量）的量级，称为用差商代替导数的精度，简称为差商的精度。,（1-14）,（1-15）,2逼近误差,12,第一节 差分原理及逼近误差/逼近误差（2/9）,一阶向后差商也具有一阶精度。,（1-16）,13,第一节 差分原理及逼近误差/逼近误差
4、（3/9）,将,与,的Taylor展开式相减可得,可见一阶中心差商具有二阶精度。,（1-17）,14,第一节 差分原理及逼近误差/逼近误差（4/9）,将,与,的Taylor展开式相加可得,这说明二阶中心差商的精度也为二阶,（1-18）,15,第一节 差分原理及逼近误差/逼近误差（5/9）,设有函数f(x)，自变量x的增量为,，若取,对应的函数值为,，则f(x)在xi处的n阶差分可表达为,式中cj为给定系数，J1和J2是两个正整数。,（1-19）,（1-20）,当J1=0时，称为向前差分；当J2=0时，称为向后差分；当J1=J2且 时，称为中心差分。,16,第一节 差分原理及逼近误差/逼近误差（
5、6/9）,函数的n阶差分与自变量的n阶差分之比为n阶差商，可用Taylor展开分析其逼近误差,。显然，,的差商及其对应的差分是不恰当的。当且aj为表2-1至表2-6中所,列的数值时，可得m0。,（1-21）,17,第一节 差分原理及逼近误差/逼近误差（7/9）,表2,表1,其中表1和表2的m=1，即此二表对应差商的精度是一阶的；,18,第一节 差分原理及逼近误差/逼近误差（8/9）,表3,表4,表5,表3至表5的m=2，即这些表对应差商的精度是二阶的；,19,第一节 差分原理及逼近误差/逼近误差（9/9）,表6的m=4，即此表对应差商的精度是四阶的。,表6,20,第一节 差分原理及逼近误差/非
6、均匀步长（1/3）,在有些情况下要求自变量的增量本身是变化的，如图2-1中的,，是不相等的，相应的差分和差商就是不等距的。,图1-1 非均匀步长差分,3非均匀步长,一阶向后差商,一阶中心差商,（1-22）,（1-23）,21,第一节 差分原理及逼近误差/非均匀步长（2/3）,图1-2 均匀和非均匀网格实例1,22,第一节 差分原理及逼近误差/非均匀步长（3/3）,图1-3 均匀和非均匀网格实例2,23,第二节 差分方程、截断误差和相容性/差分方程（1/3）,差分相应于微分，差商相应于导数。差分和差商是用有限形式表示的，而微分和导数则是以极限形式表示的。如果将微分方程中的导数用相应的差商近似代替
7、，就可得到有限形式的差分方程。现以对流方程为例，列出对应的差分方程。,（2-1）,24,图2-1 差分网格,第二节 差分方程、截断误差和相容性/差分方程（2/3）,25,若时间导数用一阶向前差商近似代替，即,空间导数用一阶中心差商近似代替，即,则在,点的对流方程就可近似地写作,（2-2）,（2-3）,（2-4）,第二节 差分方程、截断误差和相容性/差分方程（3/3）,26,第二节 差分方程、截断误差和相容性/截断误差（1/6）,按照前面关于逼近误差的分析知道，用时间向前差商代替时间导数时的误差为,用空间中心差商代替空间导数时的误差为,，因而对流方程与对应的差分方程之间也存在一个误差，它是,这也
8、可由Taylor展开得到。因为,（2-5）,（2-6）,27,第二节 差分方程、截断误差和相容性/截断误差（2/6）,一个与时间相关的物理问题，应用微分方程表示时，还必须给定初始条件，从而形成一个完整的初值问题。对流方程的初值问题为,这里,为某已知函数。同样，差分方程也必须有初始条件：,初始条件是一种定解条件。如果是初边值问题，定解条件中还应有适当的边界条件。差分方程和其定解条件一起，称为相应微分方程定解问题的差分格式。,（2-7）,（2-8）,28,第二节 差分方程、截断误差和相容性/截断误差（3/6）,FTCS格式,（2-9）,FTFS格式,（2-10）,（2-11）,FTBS格式,29,
9、第二节 差分方程、截断误差和相容性/截断误差（5/6）,(a)FTCS(b)FTFS(c)FTBS图2-2 差分格式,30,第二节 差分方程、截断误差和相容性/截断误差（6/6）,FTCS格式的截断误差为,FTFS和FTBS格式的截断误差为,（2-12）,（2-13）,3种格式对,都有一阶精度。,31,第二节 差分方程、截断误差和相容性/相容性（1/3）,一般说来，若微分方程为,其中D是微分算子，f是已知函数，而对应的差分方程为,其中,是差分算子，则截断误差为,这里,为定义域上某一足够光滑的函数，当然也可以取微分方程的解。,（2-14）,（2-15）,（2-16）,如果当,、,时，差分方程的截
10、断误差的某种范数,也趋近于零，即,则表明从截断误差的角度来看，此差分方程是能用来逼近微分方程的，通常称这样的差分方程和相应的微分方程相容（一致）。如果当,、,时，截断误差的范数不趋于零，则称为不相容（不一致），这样的差分方程不能用来逼近微分方程。,（2-17）,32,第二节 差分方程、截断误差和相容性/相容性（2/3）,若微分问题的定解条件为,其中B是微分算子，g是已知函数，而对应的差分问题的定解条件为,其中,是差分算子，则截断误差为,（2-18）,（2-19）,（2-20）,33,第二节 差分方程、截断误差和相容性/相容性（3/3）,只有方程相容，定解条件也相容，即,和,整个问题才相容。,（
11、2-21）,无条件相容 条件相容,以上3种格式都属于一阶精度、二层、相容、显式格式。,34,第三节 收敛性与稳定性/收敛性（1/6）,，也是微分问题定解区域上的一固定点，设差分格式在此点,的解为,相应的微分问题的解为,，二者之差为,称为离散化误差。如果当,时，离散化误差的某种范数,趋近于零，即,则说明此差分格式是收敛的，即此差分格式的解收敛于相应微分问题的解，否则不收敛。与相容性类似，收敛又分为有条件收敛和无条件收敛。,（3-1）,、,（3-2）,35,第三节 收敛性与稳定性/收敛性（3/6）,相容性不一定能保证收敛性，那么对于一定的差分格式，其解能否收敛到相应微分问题的解？答案是差分格式的解
12、收敛于微分问题的解是可能的。至于某给定格式是否收敛，则要按具体问题予以证明。下面以一个差分格式为例，讨论其收敛性：微分问题,的FTBS格式为,在某结点（xi,tn）微分问题的解为,，差分格式的解为,，则离散化误差为,（3-6）,（3-5）,（3-4）,36,第三节 收敛性与稳定性/收敛性（4/6）,按照截断误差的分析知道,以FTBS格式中的第一个方程减去上式得,或写成,，则,式中,表示在第n层所有结点上,的最大值。,（3-7）,（3-8）,（3-9）,（3-10）,37,第三节 收敛性与稳定性/收敛性（5/6）,由上式知，对一切i有,故有,于是,综合得,（3-11）,（3-13）,（3-12）
13、,（3-14）,38,第三节 收敛性与稳定性/收敛性（6/6）,由于初始条件给定函数,的初值，初始离散化误差,。并且,是一有限量，因而,可见本问题FTBS格式的离散化误差与截断误差具有相同的量级。最后得到,这样就证明了，当,时，本问题的RTBS格式收敛。这种离散化误差的最大绝对值趋于零的收敛情况称为一致收敛。,。,（3-15）,（3-16）,此例介绍了一种证明差分格式收敛的方法，同时表明了相容性与收敛性的关系：相容性是收敛性的必要条件，但不一定是充分条件，还可能要求其他条件，如本例就是要求,。,39,第三节 收敛性与稳定性/稳定性（1/8）,首先介绍一下差分格式的依赖区间、决定区域和影响区域。
14、还是以初值问题,（3-17）,(a)FTCS(b)FTFS(c)FTBS 图3-1差分格式的依赖区间,40,第三节 收敛性与稳定性/稳定性（2/8）,FTCS格式(b)FTFS格式(c)FTBS格式图3-2 差分格式的影响区域,41,第三节 收敛性与稳定性/稳定性（3/8）,其解为零，即,若用FTBS格式计算，且计算中不产生任何误差，则结果也是零，即,当采用不同差分格式时，其依赖区间、决定区域和影响区域可以是不一样的。依赖区间、决定区域和影响区域是由差分格式本身的构造所决定的，并与步长比,有关。,（3-18）,（3-19）,42,（3-20）,假设在第k层上的第j点，由于计算误差得到,不妨设k
15、=0,j=0,，即相当于FTBS格式写成,43,第三节 收敛性与稳定性/稳定性（4/8）,（1）,n,44,第三节 收敛性与稳定性/稳定性（5/8）,（2）,n,45,第三节 收敛性与稳定性/稳定性（6/8）,（3）,n,46,第三节 收敛性与稳定性/稳定性（8/8）,表示为连续函数Z(x，t)，则稳定性的一种定义为,（3-21）,（3-22）,（3-23）,（3-24）,47,第四节 Lax等价定理（1/4）,相容性是收敛性的必要条件；还发现，稳定性与收敛性有一定的联系。Lax等价定理就是阐述相容性、收敛性和稳定性三者之间关系的。,Lax等价定理：对一个适定的线性微分问题及一个与其相容的差分
16、格式，如果该格式稳定则必收敛，不稳定必不收敛。换言之，若线性微分问题适定，差分格式相容，则稳定性是收敛性的必要和充分条件。这也可表示为,48,第四节 Lax等价定理（2/4）,和Z分别为微分解和差分解。两式相减得,改写成,（4-1）,（4-2）,（4-3）,（4-4）,49,第四节 Lax等价定理（3/4）,若定解条件为,及,其中,是截断误差。若差分格式是稳定的，按稳定性的定义，应该有,将（4-4）式、（4-6）式代入得,当差分格式相容时，可得,从而保证了收敛性。,（4-5）,（4-6）,（4-7）,（4-8）,（4-9）,50,第四节 Lax等价定理（4/4）,根据此定理，在线性适定和格式相容的条件下，只要证明了格式是稳定的，则一定收敛；若不稳定，则不收敛。由于收敛性的证明往往比稳定性更难，故人们就可以把注意力集中在稳定性的研究上。,51,(1)请推导出y=f(x)的二阶向前差分，向后差分以及中心差分。(2)请推导出对流方程FTCS格式，并指出其截断误差的精度。(3)什么是差分问题的收敛性和稳定性？二者有何关系？,作业,
