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1、1,第四节,一、泰勒(Taylor)级数,初等函数的幂级数展开,二、函数展开成幂级数,2,两类问题:,在收敛域内,和函数,3,一、泰勒(Taylor)级数,其中,(在 x 与 x0 之间),称为拉格朗日余项.,则在,若函数,的某邻域内具有 n+1 阶导数,此式称为 f(x)的 n 阶泰勒公式,该邻域内有:,4,为f(x)的泰勒级数.,则称,当x0=0 时,泰勒级数又称为麦克劳林级数.,1)对此级数,它的收敛域是什么？,2)在收敛域上,和函数是否为 f(x)?,待解决的问题:,若函数,的某邻域内具有任意阶导数,5,定理1.,各阶导数,则 f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充要,条件是,f(x)
2、的泰勒公式中的余项满足:,设函数 f(x)在点 x0 的某一邻域,内具有,定理2：,若 f(x)能展成 x 的幂级数,则这种展开式是,唯一的,且与它的麦克劳林级数相同.,6,二、函数展开成幂级数,1.直接展开法,由泰勒级数理论可知,求函数及其各阶导数在 x0=0 处的值;,写出麦克劳林级数,并求出其收敛半径 R;,判别在收敛区间(R,R)内,是否为,骤如下:,展开方法,直接展开法,利用泰勒公式,间接展开法,利用已知其级数展开式,0.,的函数展开,7,例1.将函数,展开成 x 的幂级数.,解:,其收敛半径为,对任何有限数 x,其余项满足,故,(在0与x 之间),故得级数,8,类似可推出:,例2.
3、将,展开成 x 的幂级数.,9,称为二项展开式.,说明：,(1)在 x1 处的收敛性与 m 有关.,(2)当 m 为正整数时,级数为 x 的 m 次多项式,上式 就是代数学中的二项式定理.,例3.将函数,展开成 x 的幂级数,其中m,为任意常数.,10,对应,的二项展开式分别为,11,2.间接展开法,利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质,例4.将函数,展开成 x 的幂级数.,解:因为,把 x 换成,得,将所给函数展开成 幂级数.,12,例5.将函数,展开成 x 的幂级数.,解:,从 0 到 x 积分,得,定义且连续,区间为,利用此题可得,上式右端的幂级数在 x 1 收敛,所以展开式对 x 1 也是成立的,于是收敛,13,例6：,14,例7.将,展成 x1 的幂级数.,解:,15,内容小结,1.函数的幂级数展开法,(1)直接展开法,利用泰勒公式;,(2)间接展开法,利用幂级数的性质及已知展开,式的函数.,16,2.常用函数的幂级数展开式,17,当 m=1 时,
