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1、2.1合情推理与演绎推理,合情推理,歌德巴赫猜想的提出过程：3710，31720，131730，,歌德巴赫猜想:“任何一个不小于6的偶数都等于两个奇奇数之和”,即:偶数奇质数奇质数,改写为:1037，20317，301317,63+3，100029+971，83+5，1002=139+863,105+5,125+7，147+7，165+11,18=7+11,，,这种由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概栝出一般结论的推理,称为归纳推理.(简称;归纳)。简言之，归纳推理就是由部分到整体，由个别到一般,归纳推理的几个特点;,1.归纳是依据特殊
2、现象推断一般现象,因而,由归纳所得的结论超越了前提所包容的范围.,2.归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属未知的现象,因而结论具有猜测性.,归纳是立足于观察、经验、实验和对有限资料分析的基础上.提出带有规律性的结论.,需证明,例1:已知数列an的第1项a1=1且(n=1,2,3),试归纳出这个数列的通项公式.,对有限的资料进行观察、分析、归纳 整理；提出带有规律性的结论，即猜想；检验猜想。,归纳推理的一般步骤：,例2:数一数图中的凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E,然后用归纳法推理得出它们之间的关系.,4,6,4,5,5,6,5,9,8,4,6,4,5,5,6,5,9,8,6,6,8,
3、6,12,8,12,6,10,4,6,4,5,5,6,5,9,8,6,6,8,6,12,8,12,6,10,7,7,9,16,9,10,15,10,15,F+V-E=2,猜想,欧拉公式,类比推理,“快回火星吧，地球是很危险滴”,类比推理,类比推理,从一个传说说起：春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子.,类比推理,茅草是齿形的；,茅草能割破手.,我需要一种能割断木头的工具；,它也可以是齿形的.,鲁班的思路是这样的：,这个推理过程是归纳推理吗？,问题：试根据等式的性质猜想不等式的性质。,等式的性质：(1)a=b
4、a+c=b+c;(2)a=b ac=bc;(3)a=ba2=b2;等等。,猜想不等式的性质：,(1)aba+cb+c;,(2)ab acbc;,(3)aba2b2;等等。,问：这样猜想出的结论是否一定正确？,类比推理,由两类对象具有某些类似特征，和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）,类比推理的定义:,简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理,类比推理的一般步骤：,找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；检验猜想。即,观察、比较,联想、类推,猜想新结论,类比推理,圆的概念和性质,球的概念
5、和性质,与圆心距离相等的两弦相等,与圆心距离不相等的两弦不相等,距圆心较近的弦较长,以点(x0,y0)为圆心,r为半径的圆的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=r2,圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦,球心与不过球心的截面(圆面)的圆点的连线垂直于截面,与球心距离相等的两截面面积相等,与球心距离不相等的两截面面积不相等,距球心较近的面积较大,以点(x0,y0,z0)为球心,r为半径的球的方程为(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=r2,利用圆的性质类比得出求的性质,球的体积,球的表面积,圆的周长,圆的面积,例3:(2001年上海)已知两个圆x2+y2=1:与x2+(y-3)2=1
6、,则由式减去式可得上述两圆的对称轴方程.将上述命题在曲线仍然为圆的情况下加以推广,即要求得到一个更一般的命题,而已知命题应成为所推广命题的一个特例,推广的命题为-.,(x-a)2+(y-b)2=r2与(x-c)2+(y-d)2=r2（ac或,设圆的方程为,bd),则由式减去式可得上述两圆的对称轴,方程.,类比推理 常常要先寻找合适的类比对象,构成几何体的元素数目：四面体 三角形,例4 类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想,3个面两两垂直的四面体,PDFPDEEDF90 4个面的面积S1，S2，S3和S 3个“直角面”S1，S2，S3和1个“斜面”S,从具体问题出发,观察
7、，分析，比较，联想,归纳，类比,提出猜想,可见，归纳推理和类比推理都是根据已有的事实经过观察，分析，比较，联想，再进行归纳，类比然后提出猜想的推理，我们把它统称为合情推理。合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向。,例5:如图有三根针和套在一根针上的若干金属片.按下列规则,把金属片从一根针上全部移到另一根针上.1.每次只能移动1个金属片;2.较大的金属片不能放在较小的金属片上面.试推测;把n个金属片从1号针移到3号针,最少需要移动多少次?,解;设an表示移动n块金属片时的移动次数.,当n=1时,a1=1,当n=2时,a2=,3,1,2,3,当n=1时,a1=1,当n=2时,a2=,3,解;设an表示移动n块金属片时的移动次数.,当n=3时,a3=,7,当n=4时,a4=,15,猜想 an=,2n-1,1,2,3,
