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1、向量在平面几何中解题的应用,一、向量有关知识复习,（1）向量共线的充要条件:,与 共线,（2）向量垂直的充要条件：,（3）两向量相等充要条件：,且方向相同。,二、应用向量知识证明平面几何有关定理,例一、证明直径所对的圆周角是直角,分析：要证ACB=90，只须证向量，即。,解：设 则，由此可得：,即，ACB=90,思考：能否用向量坐标形式证明？,二、应用向量知识证明平面几何有关定理,例二、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和,已知：平行四边形ABCD。求证：,解：设，则,分析：因为平行四边形对边平行且相等，故设 其它线段对应向量用它们表示。,三、应用向量知识证明三线共点、三点共线,例一、已
2、知：如图AD、BE、CF是ABC三条高求证：AD、BE、CF交于一点,H,只须证,由此可设,如何证？,利用ADBC，BECA，对应向量垂直。,解：设AD与BE交于H，,即高CF与CH重合，CF过点H，AD、BE、CF交于一点。,三、应用向量知识证明三线共点、三点共线,例一、已知：如图AD、BE、CF是ABC三条高求证：AD、BE、CF交于一点,分析：如图建立坐标系，,设A(0,a)B(b,0)C(c,0),只要求出点H、F的坐标，就可求出、的坐标进而确定两向量共线，即三点共线。,再设H(0,m)F(x,y),由A、B、F共线；CFAB对应向量共线及垂直解得：,可得：,可得：,即 而CF、CH有
3、公共点C，所以C、H、F共线，即 AD、BE、CF交于一点,三、应用向量知识证明三线共点、三点共线,例二、如图已知ABC两边AB、AC的中点分别为M、N，在BN延长线上取点P，使NP=BN，在CM延长线上取点Q，使MQ=CM。求证：P、A、Q三点共线,解：设,则,由此可得,即 故有，且它们有公共点A，所以P、A、Q三点共线,四、应用向量知识证明等式、求值,例一、如图ABCD是正方形M是BC的中点，将正方形折起，使点A与M重合，设折痕为EF，若正方形面积为64，求AEM的面积,四、应用向量知识证明等式、求值,例一、如图ABCD是正方形M是BC的中点，将正方形折起，使点A与M重合，设折痕为EF，若
4、正方形面积为64，求AEM的面积,解：如图建立坐标系，设E(e,0)，由 正方形面积为64，可得边长为8 由题意可得M(8,4)，N是AM的 中点，故N(4,2),=(4,2)-(e,0)=(4-e,1),解得：e=5 即AE=5,四、应用向量知识证明等式、求值,例二、PQ过OAB的重心G，且OP=mOA,OQ=nOB 求证：,分析:由题意OP=mOA,OQ=nOB,联想线段的定比分点，利 用向量坐标知识进行求解。,由PO=mOA,QO=nOB可知：,O分 的比为，O分 的比为,由此可设 由向量定比分点公式，可求P、Q的坐标，而G为重心，其坐标也可求出，进而由向量，得到 m n 的关系。,-m
5、-n,?,四、应用向量知识证明等式、求值,例二、PQ过OAB的重心G，且OP=mOA,OQ=nOB 求证：,证：如图建立坐标系，设,所以重心G的坐标为,求得,由向量 可得：,化简得：,例3 如图，ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的中点，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？,猜想：AR=RT=TC,解：设 则,由于 与 共线，故设,又因为 共线，所以设,因为 所以,线，,故AT=RT=TC,你能总结一下利用向量法解决平面几何问题的基本思路吗？,（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；（3）把运算结果“翻译”成几何元素。,用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：,简述：形到向量 向量的运算 向量和数到形,五、巩固练习：,1：证明对角线互相垂直平分的四边形是菱形,3：已知：A、B、C三点坐标分别为(2，0)、,(4，2)、(0，4)，直线 l 过A、B两点，求点C到 l 的距离.,分析一：如图，,谢谢指导！,
