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1、第八章无穷级数,常数项级数的概念和性质,函数项级数,常数项级数敛散性判别法,函数展开为幂级数,函数展开为傅里叶级数,第一节 常数项级数的概念和性质,一.无穷级数的概念,二.级数收敛的必要条件,三.无穷级数的基本性质,一.无穷级数的概念,1.无穷级数的定义,设有数列 un:u1,u2,un,为一个无穷级数,简称为级数.,称 un 为级数的一般项或通项.,则称表达式,下列各式均为常数项级数,下列各式均为函数项级数,2.级数的敛散性定义,称为级数的部分和.,S 称为级数的和：,若,不存在(包括为),发散.,则称级数,等比级数的部分和为：,此时等比级数收敛,其和为：,解,a,n为奇数,0,n为偶数,当
2、公比|r|1 时,等比级数收敛；,当公比|r|1 时,等比级数发散.,综上所述,讨论级数,的敛散性.,解,而,故,即该级数收敛,其和为,二.级数收敛的必要条件,定理,证,设,由于,故该级数发散.,解,证明调和级数是发散的:,调和级数的部分和有：,证,由数学归纳法,得,k=0,1,2,而,三.无穷级数的基本性质,1.性质 1,有相同的敛散性,且,证,的部分和为,的部分和为,故,且有,2.性质 2,证,的部分和为：,故,因为等比级数,所以级数,问 题,是发散的,问 题,不一定,但对收敛级数来说,它的和将改变.,在一个级数的前面加上或者去掉,有限项后,所得到的新的级数与原级,数的敛散性相同.,3.性
3、质 3,证,级数仍然收敛,且其和不变.,对收敛的级数加括号后所得到的新,在级数运算中,不能随意加上或去掉括 号,因为这样做可能改变级数的敛散性.,4.性质 4,问 题,不一定,问 题,不一定,问 题,原级数也发散,绝对收敛与条件收敛,一、交错级数及其敛散性,交错级数是各项正负相间的一种级数，它的一般形式为,或,其中，un0(n=1,2,),定理(莱布尼兹判别法)若交错级数,满足条件,(1),(2)unun+1(n=1,2,),则交错级数收敛，且其和S的值小于u1.,(级数收敛的必要条件),级数的绝对收敛和条件收敛,定义：若级数,若级数,例如,绝对收敛,条件收敛,(2)绝对收敛级数的性质,性质1.任意交换绝对敛级数中各项的位置，其敛散性不变，其和也不变.,
