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1、2.3.2 平面与平面垂直的判定定理,2.在立体几何中，“异面直线所成的角”是怎样定义的？,直线a、b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a/a，b/b，我们把相交直线a 和 b所成的锐角（或直角）叫做异面直线所成的角.,3.在立体几何中,直线和平面所成的角是怎样定义的？,平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.,范围：(0o,90o,范围：0o,90o,空间两个平面有平行、相交两种位置关系.,在异面直线所成的角、直线与平面所成的角的学习过程中，我们将三维空间的角转化为二维空间的角，即平面角来刻画.接下来，我们同样来研究平面与平面的角度问题.,两个相交
2、平面的相对位置是由这两个平面所成的“角”来确定的,(1)半平面的定义,一、二面角的概念,平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面,半平面,半平面,(2)二面角的定义,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面,棱,面,面,平卧式：,直立式：,(3)二面角的画法和记法：,面1棱面2,点1棱点2,二面角 l,二面角AB,二面角CAB D,直立式,3、举出二面角的实例，并画出二面角。,平卧式,二面角画法,由上可知：各二面角的“张角”不同，那么如何度量二面角的大小呢？,A,O,l,B,(4)二面角的平面角,A,B,O,以二面角
3、的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.,如图，则AOB成为二面角 的平面角.它的大小与点O的选取无关.,二面角的平面角必须满足：,角的边都要垂直于二面角的棱,角的顶点在棱上,角的两边分别在两个面内,8,质疑二:在二面角的平面角的定义中O点是在棱上任取的，那么AOB的大小与点O在棱上的位置有关系吗？,=,等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等。）,A,B,A,B,二面角的平面角大小与点O在棱上的位置无关，只与二面角的张角大小有关。,结论：二面角是用它的平面角来度量的，一个二面角的平面角多大，就说
4、这个二面角是多少度的二面角。,.,A,B,0。，180。,(4)二面角的平面角,二面角的范围为：,注1：当二面角的两个面合成一个平面时，规定二面角大小为0。，当完全展开是规定二面角的大小为180；平面角是直角的二面角叫做直二面角，此时称两半平面所在的两个平面互相垂直.,定义法垂线法作棱的垂面法,一个平面垂直于二面角-l-的棱 l，且与两半平面的交线分别是射线 OA、OB，O 为垂足，则AOB 为二面角-l-的平面角,(5)二面角的平面角的作法：,A,B,补充,练习：指出下列各图中的二面角的平面角：,二面角B-BC-A,O,E,O,二面角A-BC-D,14,正方体AC中,（定义法）,（垂线法）,
5、寻找二面角的平面角,在正方体ABCD-ABCD中，找出下列二面角的平面角：（1）二面角D-AB-D和A-AB-D；（2）二面角C-BD-C和C-BD-A.,寻找二面角的平面角,在正方体ABCD-ABCD中，找出下列二面角的平面角：（1）二面角D-AB-D和A-AB-D；（2）二面角C-BD-C和C-BD-A.,寻找二面角的 平面角,寻找二面角的平面角,在正方体ABCD-ABCD中，找出下列二面角的平面角：（1）二面角D-AB-D和A-AB-D；（2）二面角C-BD-C和C-BD-A.,寻找二面角的平面角,在正方体ABCD-ABCD中，找出下列二面角的平面角：（1）二面角D-AB-D和A-AB-
6、D；（2）二面角C-BD-C和C-BD-A.,例1 在正方体AC1中，E为BC中点，,F,E,G,H,（1）,（2）,1、求二面角AB1CB的正弦值;,2、求二面角EB1D1C1的正切值。,A.,O,解：,则AD l.,sinADO=,ADO=60.,即二面角 l 的大小为60.,在RtADO中，,AOAD,练1：已知二面角 l，A为面内一点，A到 的距离为，到l的距离为 4.求二面角 l 的大小.,D,过 A作 AO于O，过 O作 OD l 于D，连AD，,就是二面角 l 的平面角.,back,练 在二面角-l-的一个平面内有一条直线AB，它与棱 l 所成的角为45，与平面所成的角为30，则
7、这个二面角的大小是_.,45或135,C,D,H,G,600,300,3：如图，山坡倾斜度是60度，山坡上一条路CD和坡底线AB成30度角.沿这条路向上走100米，升高了多少?,A,B,练习,一、计算二面角的关键是作出二面角的平面角，其作法主要有：(1)利用二面角平面角的定义，即在棱上任取一点，然后分别在两个面内作棱的垂线，则两垂线所成的角为二面角的平面角(2)利用棱的垂面，即棱的垂面与两个半平面的交线所成的角是二面角的平面角二、求二面角的思路是“一作、二证、三算”,如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？,二、平面与平面垂直的判定,文字语言：如果一个平面经过另一个平面 的一条垂线，那么这两个平面
8、互相垂直,面面垂直的判定定理,符号语言：,A,B,图形语言：,该定理作用：“线面垂直面面垂直”,应用该定理，关键是找出两个平面中的其中任一个的垂线.,课堂练习：,1.如果平面内有一条直线垂直于平面内的一条直线，则.（）,3.如果平面内的一条直线垂直于平面内的两条相交直线,则.（）,一、判断：,4.若m，m，则.(),2.如果平面内有一条直线垂直于平面内的两条直线，则.（）,1.过平面的一条垂线可作_个平面 与平面垂直.,2.过一点可作_个平面与已知平面垂直.,二、填空题：,3.过平面的一条斜线，可作_个平 面与平面垂直.,4.过平面的一条平行线可作_个平 面与垂直.,一,无数,无数,一,证明：
9、,C,D,A,B,在平面内过B点作直线BECD，则ABE就是二面角-CD-的平面角，,设=CD，AB在上，则BCD.,a,back,证明：由AB是圆O的直径，可得ACBC,平面PAC平面PBC,例1:如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面于A，C是圆O上不同于A、B的任意一点.求证：平面PAC平面PBC,练习,例2、已知直线PA垂直正方形ABCD所在的平面，A为垂足。,求证：平面PAC平面PBD。,证明：,2.如图所示：在RtABC中，ABC=900,P为ABC所在平面外一点，PA平面ABC，你能发现哪些平面互相垂直，为什么？,归纳小结：,(1)判定面面垂直的两种方法：,定义法,根据面面垂直的判定定理,(2)面面垂直的判定定理不仅是判定两个平面互相垂直的依据，而且是找出垂直于一个平面的另一个平面的依据；,(3)从面面垂直的判定定理我们还可以看出面面垂直的问题可以转化为线面垂直的问题来解决.,
