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1、平面与平面垂直的判定（第一课时）二面角,复习引入,1、在平面几何中“角”是怎样定义的？,从平面内一点出发的两条射线所组成的图形叫做角.,O,A,B,2、二面角：从一条直线引出的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.,棱,面,面,半平面,半平面,半平面：平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，每一部分都叫做半平面.,半平面及二面角的定义,1、二面角的画法,二面角的画法与记法,直立式,平卧式,2、二面角的记法：面棱面 或 点棱点,以直线 为棱，以 为半平面的二面角记为：,以直线AB 为棱，以ABC和ABD为半平面的二面角记为：,二面角的画法与记法,或
2、,二面角,二面角,二面角,角,从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。,定义,构成,边点边（顶点）,表示法,AOB,二面角,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。,面直线面（棱）,二面角l,或二面角AB,图形,角与二面角的比较,请推开这扇门,请把门开大点，指的是哪里比较大？,我们怎么去度量两个相交平面的相对位置关系呢？,1、二面角的平面角：,=,?,等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等。,二面角的平面角的定义、范围及作法,注（1）二面角的平面角与点的位置无关，只与二个面 的位置有关。（2）二面角是用它的平面角来度量的，一个二面角 的平面
3、角多大，就说这个二面角是多少度的二 面角。（3）平面角是直角的二面角叫做直二面角。（4）二面角的取值范围一般规定为0,180o。当二面角的两个面合成一个平面时，规定为180o 当二面角的两个面重合时，规定为0o.,1、二面角的平面角：,二面角的平面角的定义、范围及作法,2、二面角的平面角的作法：,(1)定义法：,(2)应用三垂线定理或其逆定理：,二面角的平面角的定义、范围及作法,过A作AOl，交l于O，在面内作OB l 则AOB为所求的角,过A作AB交于B，再过A作AOl，交l于O，连结OB，则AOB为所求的角,B,(3)作垂面：作与棱垂直的平面与两半平面的交线得到,O,注意：二面角的平面角必
4、须满足：（1）角的顶点在棱上。（2）角的两边分别在两个面内。（3）角的边都要垂直于二面角的棱。,2、二面角的平面角的作法：,二面角的平面角的定义、范围及作法,A.,O,解：,则由三垂线定理得 OD l.,ADO=60.,二面角 l 的大小为60.,在RtADO中，,sinADO=,AOAD,D,过 A作 AO 于O，过A作AD l 于D，连OD,分析：首先应找到或作出二面角的平面角,然后证明这个角就是所求的平面角,最后求出这个角的大小。,例1.已知二面角-l-，A为面内一点，A到 的距离为2，到 l 的距离为 4.求二面角-l-的大小,二面角的应用举例,AO为A到的距离，AD为A到 l 的距离
5、,则OD为AO在 上的射影,C,D,解：,在PB上取不同于P 的一点O，,在内过O作OCAB交PM于C，,在内过O作ODAB交PN于D，,连结CD，可得：,设PO=a，BPM=BPN=45,CO=a，DO=a，PC a，PD a,又MPN=60,CD=PC a,COD=90,因此，二面角的度数为90,例2.如图,已知P是二面角 棱上一点，过 P 分别在、内引射线PM、PN，且MPN=600，BPM=BPN=450，求此二面角的度数。,COD是二面角 的平面角,“证”,二面角的应用举例,“作”,“计算”,课堂练习,分析:由直二面角的定义可知,为直角,就是这个直二面角的平面角.,即可求得:,所以,
6、所以,1、二面角的定义：,2、二面角的画法和记法：,3、二面角的平面角：,课堂小结,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱.这两个半平面叫做二面角的面.,画法：直立式和平卧式记法：二面角 AB 二面角 C AB D,(1)二面角的平面角的大小与其顶点在棱上的位置无关(2)二面角的大小用它的平面角的大小来度量,(1)找到或作出二面角的平面角,(2)证明找到或作出的角就是所求的角,(3)计算出此角的大小,一“作”二“证”三“计算”,5.二面角的有关计算:,步骤:,作业：课本P73 习题2.3 A组 第4题,4、二面角的平面角的作法：,(1)根据定义作出来(2)应用三垂线定理或其逆定理作出来(3)利用作垂面作出来,课堂小结,二面角的应用举例2,例2、如图，山坡倾斜度是60度，山坡上一条路CD和坡底线AB成30度角.沿这条路向上走100米,升高了多少?,A,D,分析:此例是一个实际应用题,可先抽象出数学模型,如图所示.本题要求“升高了多少米？”即是求点D到水平面 的距离DH.已知二面角-AB-是60度,只要过D点在平面内作,G是垂足,再连结HG,则根据三垂线定理,可得,则就是该二面角的平面角,即.再根据及直角三角形DGH和DCG的边角关系,就可以求出DH.,
