平面与平面垂直的判定(上课用).ppt

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1、2.3.2 平面与平面垂直的判定定理,1.在立体几何中，“异面直线所成的角”是怎样定义的？,直线a、b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a/a，b/b，我们把相交直线a 和 b所成的锐角（或直角）叫做异面直线所成的角.,2.在立体几何中,直线和平面所成的角是怎样定义的？,平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.,范围：(0o,90o,范围：0o,90o,复习引入,空间两个平面有平行、相交两种位置关系.对于两个平面平行，我们已作了全面的研究，对于两个平面相交，我们应从理论上有进一步的认识.,在异面直线所成的角、直线与平面所成的角的学习过程中，我们将三维

2、空间的角转化为二维空间的角，即平面角来刻画.接下来，我们同样来研究平面与平面的角度问题.,两个相交平面的相对位置是由这两个平面所成的“角”来确定的,在生产实践中，有许多问题也涉及到两个平面所成的角如：修筑水坝时，为了使水坝坚固耐久，必须使水坝面和水平面成适当的角度；发射人造地球卫星时，也要根据需要，使卫星的轨道平面和地球的赤道平面成一定的角度.,我们常说“把门开大些”，是指哪个角开大一些，我们应该怎么刻画二面角的大小？,(1)半平面的定义,1.二面角的概念,平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面,半平面,半平面,(2)二面角的定义,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫

3、做二面角.这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面,棱,面,面,平卧式：,直立式：,(3)二面角的画法和记法：,1.二面角的概念,面1棱面2,点1棱点2,二面角 l,二面角AB,二面角CAB D,A,O,l,B,(4)二面角的平面角,A,B,O,1.二面角的概念,以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.,如图，则AOB成为二面角 的平面角.它的大小与点O的选取无关.,二面角的平面角必须满足：,角的边都要垂直于二面角的棱,角的顶点在棱上,角的两边分别在两个面内,9,质疑:在二面角的平面角的定义中O点是在棱上任取的，那么AOB

4、的大小与点O在棱上的位置有关系吗？,=,等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等。）,A,B,A,B,二面角的平面角大小与点O在棱上的位置无关，只与二面角的张角大小有关。,结论：二面角是用它的平面角来度量的，一个二面角的平面角多大，就说这个二面角是多少度的二面角。,.,二面角的范围：0o,180o,二面角的两个面重合：0o；,二面角的两个面合成一个平面：180o；,平面角是直角的二面角叫直二面角,A,B,0。，180。,(4)二面角的平面角,1.二面角的概念,二面角的范围为：,注1：当二面角的两个面合成一个平面时，规定二面角的大小为180；平面角是直角

5、的二面角叫做直二面角，此时称两半平面所在的两个平面互相垂直.,定义法垂线法作棱的垂面法,一个平面垂直于二面角-l-的棱 l，且与两半平面的交线分别是射线 OA、OB，O 为垂足，则AOB 为二面角-l-的平面角,(5)二面角的平面角的作法：,1.二面角的概念,A,B,补充,角,从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。,定义,构成,边点边（顶点）,表示法,AOB,图形,角与二面角的比较,例 正方体ABCDA1B1C1D1中，二面角B1-AA1-C1的大小为_，二面角B-AA1-D的大小为_，二面角C1-BD-C的正切值是_.,45,90,练习,寻找二面角的平面角,在正方体ABCD-ABCD中，找

6、出下列二面角的平面角：（1）二面角D-AB-D和A-AB-D；（2）二面角C-BD-C和C-BD-A.,寻找二面角的平面角,在正方体ABCD-ABCD中，找出下列二面角的平面角：（1）二面角D-AB-D和A-AB-D；（2）二面角C-BD-C和C-BD-A.,寻找二面角的 平面角,寻找二面角的平面角,在正方体ABCD-ABCD中，找出下列二面角的平面角：（1）二面角D-AB-D和A-AB-D；（2）二面角C-BD-C和C-BD-A.,寻找二面角的平面角,在正方体ABCD-ABCD中，找出下列二面角的平面角：（1）二面角D-AB-D和A-AB-D；（2）二面角C-BD-C和C-BD-A.,练 如

7、图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=2，BC=BB1=1，E为D1C1的中点，求二面角EBDC的大小,思路分析：,找基面,平面BCD,作基面的垂线,过E作EFCD于F,F,作平面角,作FGBD于G，连结EG,G,解：过E作EFCD于F，,于是，EGF为二面角EBDC的平面角,BC=1，CD=2，,而EF=1，在EFG中,ABCDA1B1C1D1是长方体，EF平面BCD，且F为CD中点，,过F作FGBD于G，连结EG，则EGBD（三垂线定理）,M,练习,求证:,例 如图，将等腰直角三角形纸片沿斜线BC上的高AD折成直二面角.,C,D,H,G,600,300,例 如图，山坡倾斜度是60度

8、，山坡上一条路CD和坡底线AB成30度角.沿这条路向上走100米，升高了多少?,A,B,练习,小结:二 面 角,一、二面角的定义：,二、二面角的表示方法：,三、二面角的平面角：,四、二面角的平面角的作法：,五、二面角的计算：,二 面 角 AB 二 面 角 CAB D二 面 角 l,1、根据定义作出来2、利用直线和平面垂 直作出来,1、找到或作出二面角的平面角2、证明 1中的角就是所求的 角3、计算所求的角,一“作”二“证”三“计算”,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱。这两个半平面叫做二面角的面。,1、二面角的平面角 必须满足三个条件2、二面角的平面角 的

9、大小与 其顶点 在棱上的位置无关3、二面角的大小用 它的平面角的大 小来度量,如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？,思考,2.平面与平面垂直的判定,(1)定义法：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.记作,(2)面面垂直的判定定理：若一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直,该定理作用：“线面垂直面面垂直”,注2：,应用该定理，关键是找出两个平面中的其中任一个的垂线.,文字语言：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直,两个平面垂直的判定定理,符号语言：,A,B,图形语言：,该定理作用：“线面垂直面面垂直”,应用该定理，关键是找出

10、两个平面中的其中任一个的垂线.,文字语言：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直,两个平面垂直的判定定理,证明：,在平面内过B点作直线BECD，则ABE就是二面角-CD-的平面角，,设=CD，AB在上，则BCD.,back,练 在正方体ABCDA1B1C1D1中,(1)求证：平面A1C平面B1D,A,C,D,A1,C1,D1,E,F,B1,(2)E、F分别是AB、BC的中点，求证：平面A1C1FE平面B1D,(3)G是BB1的中点，求证：平面A1C1G平面B1D,总结:直线A1C1 平面B1D，则过直线A1C1 的平面都垂直于平面B1D,练习,例3:如图，AB是O的直径，

11、PA垂直于O所在的平面，C是圆周上不同于A,B的任意一点，求证：,C,证明：设O所在的平面为，由已知条件，PA，BC在内，所以PA BC,因为点C是圆周上不同于A，B的任意一点，AB是O的直径,所以，BCA是直角，即BC AC,又因为PA与AC是PAC所在平面内的两条相交直线，,所以，BC 平面PAC。,又因为BC在平面PBC内，,所以，平面PAC 平面PBC。,分析：找出在一个面内与另一个面垂直的直线.,BC平面PAC,证明：由AB是圆O的直径，可得ACBC,平面PAC平面PBC,例 3 如图，AB是O的直径，PA垂直于O所在的平面，C是圆周上不同于A,B的任意一点，求证：平面PAC平面PB

12、C,练习,2.如果平面内有一条直线垂直于平面内的两条直线，则.（）,课堂练习：,1.如果平面内有一条直线垂直于平面内的一条直线，则.（）,3.如果平面内的一条直线垂直于平面内的两条相交直线,则.（）,一、判断：,4.若m，m，则.(),1.过平面的一条垂线可作_个平面 与平面垂直.,2.过一点可作_个平面与已知平面垂直.,二、填空题：,3.过平面的一条斜线，可作_个平 面与平面垂直.,4.过平面的一条平行线可作_个平 面与垂直.,一,无数,无数,一,探究：,2.如图，正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，

13、使G1，G2，G3三点重合，重合后记为G-SEF，则四面体SEFG中必有().(A)SGEFG所在平面(B)SDEFG所在平面(C)GFSEF所在平面(D)GDSEF所在平面,S,G1,G2,G3,E,F,D,S,G1,G2,G3,E,F,D,SGEFG所在平面.故选A.,P,A,B,C,外,垂,中,练习：P79 B组2(2),E,F,分析,E,F,或者考虑二面角定义法,G,E,G,E,练习,二、平面与平面垂直,(1)定义：两平面所成二面角为直二面角,(2)判定定理：,(3)性质定理：,一、直线与平面垂直,(1)定义：,(2)判定定理：,(3)线线垂直的常用证明方法：,a.平面内的两直线,b.

14、空间内的两直线,(4)两条平行线垂直于同一个平面，垂直于同一一个面的两直线平行.,三、角度问题,直线a、b是异面直线，经过空间任意一点o，作直线a、b，并使a/a，b/b，我们把直线a和b所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角.,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。,解决空间角的问题涉及的数学思想主要是化归与转化，即把空间的角转化为平面的角，进而转化为三角形的内角，然后通过解三角形求得.,2.方法：,3.步骤：,b.求直线与平面所成的角：,a.求异面直线所成的角：,c.

15、求二面角的大小：,作（找）,证,点,算,1.数学思想：,定义法或者垂线法,即找面的垂线，找出垂足,找平行线方法：中位线，平行四边形，线段成比例，线面平行的性质定理等,归纳小结：,(1)判定面面垂直的两种方法：,定义法,根据面面垂直的判定定理,(2)面面垂直的判定定理不仅是判定两个平面互相垂直的依据，而且是找出垂直于一个平面的另一个平面的依据；,(3)从面面垂直的判定定理我们还可以看出面面垂直的问题可以转化为线面垂直的问题来解决.,O,A,B,O,P,A,B,back,练习：二面角 的平面角为,PA 于A点，PB 于B点，PA=a，PB=b，求点P到棱 的距离.,back,练 如图，在三棱锥P-

16、ABC中，ACBC=2，PA=PB=AB，ACB90o，PCAC.(1)求证：PC AB；(2)求二面角BAPC的大小.,练2 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，BC=BB1=1，E为C1D1的中点，求二面角 E-BD-C的大小.,A,A1,B,B1,C,C1,D,D1,E,M,F,back,在正方体AC1中，E，F分别是中点，求截面A1ECF和底面ABCD所成的锐二面角的大小.,E,F,back,练1 如图，M是正方体ABCDA1B1C1D1的棱AB的中点，求二面角A1MCA的正切值,N,H,思路分析：,找基面,找基面的垂线,AA1,作平面角,作AHCM交CM的延长线于H，连结

17、A1H,平面ABCD,解：作AHCM交CM的延长线于H，连 结A1HA1A平面AC，AH是A1H 在平面AC内的射影，A1HCM，,A1HA为二面角A1CMA的平面角,设正方体的棱长为1M是AB的中点，且AMCD，则在直角AMN中，AM=0.5，AN=1，MN=,back,如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中，ABC=90，SA面ABCD，SA=AB=BC=2，AD=1.(1)求四棱锥S-ABCD的体积；(2)求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值.,(2)提示：因所求二面角无“棱”，故先延长BA、CD以确定棱SE，然后证明BSC为平面角.,back,A.,O,解：,则AD l.,s

18、inADO=,ADO=60.,即二面角 l 的大小为60.,在RtADO中，,AOAD,练 已知二面角 l，A为面内一点，A到 的距离为，到l的距离为 4.求二面角 l 的大小.,D,过 A作 AO于O，过 O作 OD l 于D，连AD，,就是二面角 l 的平面角.,back,练 在二面角-l-的一个平面内有一条直线AB，它与棱 l 所成的角为45，与平面所成的角为30，则这个二面角的大小是_.,45或135,证明：,C,D,A,B,在平面内过B点作直线BECD，则ABE就是二面角-CD-的平面角，,设=CD，则BCD.,a,back,练习,1.过平面的一条垂线可作_个平面与平面垂直.,2.过

19、一点可作_个平面与已知平面垂直.,3.过平面的一条斜线，可作_个平面与平面垂直.,4.过平面的一条平行线可作_个平面与垂直.,一,无数,无数,一,back,练 正方体ABCDA1B1C1D1中，求证：,back,E,F,back,思路分析：,找基面,找基面的垂线,作平面角,平面ABC,取AB的中点M，连结PM,M,由己知AB2=AC2+BC2，ACB是直角,N,取AC的中点N，连结MN、PN,MNBC，ACBC，MNAC，由三垂线定理知PNAC,MNP就是二面角PACB的平面角,PA=PB=PC，PAMPCMPMAM，PMCM，PM平面ABC,连结CM，AM=BM=CM，,已知ABC,AB=1

20、0,BC=6,P是平面ABC 外一点,且PA=PB=PC=AC=8,求二面角PACB的平面角的正切值.,back,练 求正四面体的侧面与底面所成的二面角的大小？,练 如图，过点S作三条不共面的直线，使BSC=900，ASB=ASC=600，截取SA=SB=SC.求证:平面ABC平面BSC,S,C,B,A,D,利用定义，通过计算证之,请计算AC与平面BSC所成的角的大小,back,如图所示，ABC为正三角形，EC平面ABC，BDCE，且CE=CA=2BD，M为EA的中点.(1)求证:DE=DA(2)求证:平面BDM平面ECA(3)求证:平面DEA平面ECA,A,B,C,E,D,M,N,F,请作出平面EAD和平面BAC所成的二面角的平面角,back,