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1、,二面角,(一) 二面角1.半平面的定义,一个平面内的一条直线将这个平面分成两部分,其中每一部分都叫半平面.,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面.,一、二面角的定义,二面角,2、二面角的表示方法,二面角AB ,二面角 l ,二面角CAB D,二面角CAB E,1、定义,二面角,二、二面角的平面角,1、定义,二面角的平面角必须满足：,二面角的平面角的范围: 0,180 ,二面角的大小用它的平面角的大小来度量,以二面角的棱上任意一点为端点, 在两个面内分别作垂直于棱的两条射线, 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角,注意:,(与
2、顶点位置无关),APB= A1P1B1,2、作二面角的平面角的常用方法,、点P在棱上,、点P在一个半平面上,、点P在二面角内,A,B,A,B,A,B,O,定义法,三垂线定理法,垂面法,二面角,C,D,解：,在PB上取不同于P 的一点O，,在内过O作OCAB交PM 于C，,在 内作ODAB交PN于D，,连结CD，可得：,设PO = a ，BPM =BPN = 45,CO=a，DO=a， PC a ， PD a,又MPN=60,CD=PC a,COD=90,因此，二面角的度数为90,例1.如图,已知P是二面角 棱上一点，过 P 分别在、内引射线PM、PN，且MPN=600， BPM =BPN =4
3、50，求此二面角的度数。,COD是二面角 的平面角,一“作”二“证”三“计算”,3、讲解例题：,1.定义法：,则ADE就是此二面角的平面角。,二面角的求法,1.定义法：,则BDE就是此二面角的平面角。,已知正三角形ABC，PA面ABC，且PA=AB=a，求二面角A-PC-B的大小。,P,A,B,C,二面角的求法,已知正三角形ABC，PA面ABC，且PA=AB=a，求二面角A-PC-B的大小。,P,A,B,C,2.三垂线定理法：,则BDE就是此二面角的平面角。,二面角的求法,PA面ABC，,面PAC面ABC，,BE面PAC，,ABC为正， BE=,在RtPAC中，E为AC中点，则DE=,tg B
4、DE=, BDE=arctg,已知正三角形ABC，PA面ABC，且PA=AB=a，求二面角A-PC-B的大小。,P,A,B,C,2.三垂线定理法：,则ADO就是此二面角的平面角。,F,二面角的求法,已知正三角形ABC，PA面ABC，且PA=AB=a，求二面角A-PC-B的大小。,3.射影面积法：,则 POC就是PAC在面PBC上的射影。,P,A,B,C,二面角的求法,已知正三角形ABC，PA面ABC，且PA=AB=a，求二面角A-PC-B的大小。,P,A,B,C,3射影面积法：,则PDC就是PBC在面PAC内的射影。,二面角的求法,几点说明：,定义法是选择一个平面内的一点（一般为这个面的一个顶
5、点）向棱作垂线，再由垂足在另一个面内作棱的垂线。此法得出的平面角在任意三角形中，所以不好计算，不是我们首选的方法。,三垂线法是从一个平面内选一点（一般为这个面的一个顶点）向另一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线，连结这个点和棱上垂足。此法得出的平面角在直角三角形中，计算简便，所以我们常用此法。,垂面法需在二面角之间找一点向两面作垂线，因为这一点不好选择，所以此法一般不用。,以上三种方法作平面角都需写出作法、证明、指出平面角。,间接法是在不易作出平面角时用。在解答题中要先证明射影面积公式，然后指出平面的垂线，射影关系，再用公式,这种方法虽然避免了找平面角，但计算较繁，所以不常用。,二面角的求法,C,
6、O,解：,O,二面角,例3如图P 为二面角 内一点，PA,PB, 且PA=5，PB=8，AB =7，求这二面角的度数。,如图，正方体 中，其棱长为 ，求二面角 的正切值。,例：,如图，正方体 中，棱长为 ，求面 和面 所成二面角的大小。,变题1：,如图，正方体 中，其棱长为 ，E为 的中点，求平面 与面 所成二面角的正切值。,变题2：,投影,如图，正方体 中，其棱长为 ，E为 的中点，求平面 与面 所成二面角的正切值。,变题2：,如图，正方体 中，其棱长为 ，E为 的中点，求平面 与面 所成二面角的正切值。,变题2：,如图，正方体 中，其棱长为 ，E为 的中点，求平面 与面 所成二面角的正切值
7、。,变题2：,如图，正方体 中，其棱长为 ，E为 的中点，求平面 与面 所成二面角的正切值。,变题2：,如图，正方体 中，其棱长为 ，E为 的中点，求平面 与面 所成二面角的正切值。,变题2：,如图，正方体 中，其棱长为 ，E为 的中点，求平面 与面 所成二面角的正切值。,变题2：,如图，正方体 中，其棱长为 ，E为 的中点，求平面 与面 所成二面角的正切值。,变题2：,如图，正方体 中，其棱长为 ，E为 的中点，求平面 与面 所成二面角的正切值。,变题2：,如图，正方体 中，其棱长为 ，E为 的中点，求平面 与面 所成二面角的正切值。,变题2：,如图，正方体 中，其棱长为 ，E为 的中点，求
8、平面 与面 所成二面角的正切值。,变题2：,如图，正方体 中，其棱长为 ，E为 的中点，求平面 与面 所成二面角的正切值。,变题2：,如图，正方体 中，其棱长为 ，E为 的中点，求平面 与面 所成二面角的正切值。,变题2：,如图，正方体 中，其棱长为 ，E为 的中点，求平面 与面 所成二面角的正切值。,变题2：,如图，正方体 中，其棱长为 ，E为 的中点，求平面 与面 所成二面角的正切值。,变题2：,如图，正方体 中，其棱长为 ，E为 的中点，求平面 与面 所成二面角的正切值。,变题2：,如图，正方体 中，其棱长为 ，E为 的中点，求平面 与面 所成二面角的正切值。,变题2：,如图，正方体 中
9、，其棱长为 ，E为 的中点，求平面 与面 所成二面角的正切值。,变题2：,如图，正方体 中，其棱长为 ，E为 的中点，求平面 与面 所成二面角的正切值。,变题2：,投影,如图，正方体 中，其棱长为 ，E为 的中点，求平面 与面 所成二面角的正切值。,变题2：,三垂线,P,C,练习1：,如图，在平面角为 的二面角 内有一点P，P到 的距离分别为PC=2cm PD=3cm则垂足的连线CD= ，P到棱 的距离为,F,D,三、课堂练习：,1、已知正方形ABCD中，E为AB中点，沿DE、EC把正方形折成 四面体，此时A、B重合为点P，求面PCD与面ECD所成的二 面角的大小。,二面角的求法,1、如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上任一点，则二面角P-BC-A的平面角为:A.ABP B.ACP C.都不是,练 习,60,课后小结,1、先作出二面角的平面角，再求值,棱上一点,面上一点,空间一点,2、公式法,（ 二面角的大小）,直接法,简接法,如图，正方体 中，其边长为 ，E为 的中点、F为 的中点，求平面EFB与面ABCD所成二面角的正切值。,变题3：,课后思题,1：已知RtABC在平面内，斜边AB在30的二面角-AB- 的棱上,若AC=5，BC=12,求点C 到平面 的距离CO。,D,ODC,BOB,
