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1、第4章 多自由度体系的振动分析,本章讨论多自由度体系振动分析的基本方法及多自由度体系的主要动力特征;为抗震计算的应用做准备。4-1 多自由度体系自由振动多自由度体系振动的一般方程在上章已经得到。下面我们讨论无阻尼情况下自由振动的问题，方程为：,体系的频率、振型等重要动力特性。,多自由度体系的振动频率分析（刚度法）单自由度体系无阻尼自由振动的解为：,设多自由度体系第i个运动自由度方向的位移为：,按自由度序号排列成的位移向量可以写成：,将此式代入多自由度体系自由运动方程,整理可得：,如果方程存在非零解，则系数行列式必为零，即：,此为频率方程或特征方程。,其中：,为位移的幅值向量。,此为振型方程。,
2、下面推导两个自由度体系的自振频率：,动力学问题,将特征方程展开，可得到一个n次代数方程，求解可得各阶频率：,特征方程为：,将行列式展开得：,求解一元二次方程得：,由上式可得到两个自振频率。注意：,具体求解过程可参见例4-1。,矩阵求特征值问题,因此：,多自由度体系的振型分析（刚度法）求得各阶自振频率后代回振型方程，有：,对于n个自由度体系，,有n个未知数,上式为其齐次线性方程组。,因为其系数行列式为零，因此独立的方程只有n-1个，只能求出n个未知数的相对值，而不能惟一确定振幅。但可以用来惟一描述振动体系的形状振型。,对于两个自由度体系：,振型的标准化：通常取第一个元素为1。,计算机程序中通常对
3、质量归一化，即满足：,振型的计算过程可见例题4-2。,展开得：,利用上面的任一个方程将频率代入可得两个振型：,振型是各自由度按某一频率振动时的位移比。,补充例题1：三层刚架。质量、侧移刚度如图所示。略去横梁变形。试求该刚架的自振频率和主振型。,解：,（1）求频率,（2）求振型,多自由度体系的振动频率分析（柔度法）同理，将位移向量代入柔度形式的运动方程整理可得振型方程：,其中特征值：,特征方程：,将特征方程展开，得到一个n次代数方程，求解,从而得到各阶频率。,多自由度体系的振型分析（柔度法）,将特征值带回原方程，利用与刚度法同样的方法可求得标准化振型。,补充例题2：求图示体系的自振频率和主振型。
4、,解：,（1）求频率,代入,（2）求振型,振型定义,当结构按某一自振频率作自由振动时，其变形形状保持不变，此变形形状称为结构的主振型，简称为振型(mode of vibration)。,1,2,多自由度体系自由振动的通解,取各振型的线性组合：,4-2 多自由度体系振型的正交性,正交的概念如果两个向量正交，则,如果存在一个矩阵B，使得：,则称两个向量加权正交。,振型向量的正交性n自由度体系有n个振型向量，这些振型向量中，对应于不同自振频率的振型向量之间存在着对质量矩阵和刚度矩阵的正交性，即：,这一性质，在多自由度体系动力分析中非常重要。,证明：将体系的第i个振型代入振型方程，整理得：,上式两边同
5、时左乘第j振型的转置得：,同理可得：,由于矩阵的转置等于矩阵倒序后转置的乘积，刚度矩阵和质量矩阵又为对称矩阵，可得：,同上式的推导可得：,因此经比较可得：,所以：,不同的两个振型：,必有：,正交性也可以从Betti（功的互等）定理证明：,如图所示的简支梁：,如果忽略其轴向变形，为三个自由度体系。,因此，它有三个自振频率和三个与之相应的振型。见图：,将振型代入振型方程可得：,可见右端的惯性力和左端的弹性力是平衡的。,可以将自由振动的运动看作是惯性力作用下产生的挠度。,对前两个振型应用Betti定理：,即：,正交性的利用检验所求得的振型是否正确：直接应用正交性的定义，具体算例见例4-3。自振频率的
6、计算：已知振型，计算对应的自振频率。,多自由度体系自由振动的通解：,将通解代入运动方程：,可得：,各质点的位移是各振型的加权累加。,引入振型广义刚度和广义质量的概念：,上式两边同时左乘第j振型的转置，可得：,具体计算见例4-4。,则上式化为：,因此：,下面讨论如何应用正交性,根据正交性，求和号内除第j项以外都为零。可得：,与单自由度形式相同.,振型的计算：已知n-1个振型，求未知振型。利用已知振型与未知振型的正交性，列方程组求解。位移的分解：任意位移向量均分解为各振型的线性组合，也称为广义坐标变换，即：,多自由度体系运动方程的简化：,上式两边同时左乘,根据正交性得：,可得：,所以：,具体算例见
7、例4-5。,将多自由度体系运动方程做广义坐标变换可得：,这样：n个自由度体系相互耦合的方程组,上式两边同时左乘第j振型的转置，根据正交性可得：,上式可进一步化为：,自由振动初值问题的确定：首先写出位移和速度通解的表达式，两边左乘,然后利用振型的正交性，得出独立的2n个表达式根据n个自由度初始位移和速度确定通解中的系数。具体表达式见书。,n个独立的单自由度体系。,广义坐标变换,求出各单自由度的解,振型分解法,广义（正则）坐标的几何意义,a)体系的实际位移可以看作是由固有振型乘以对应的组合系数v1、v2之后叠加而成。,b)组合系数v1、v2称为“正则坐标”。上述作法相当于将实际位移按振型分解，固称
8、“振型分解法”；反之，“振型叠加法”。,c)对n个自自由度体系，有：,4-3 多自由度体系的受迫振动,首先对多自由度体系简谐荷载及一般荷载作用下的受迫振动稳态响应进行讨论然后再讨论有阻尼体系受迫振动的振型分解法。多自由度无阻尼体系的受迫振动分析1、简谐荷载作用下的响应分析,振动方程为：,与单自由度体系一样可先设上面方程稳态解为：,代回原方程可得：,共振分析,当：,即：,时,位移幅值为无穷大，将出现共振现象。可见，多自由度体系有n个共振点。,将上面响应幅值代回即得到体系的稳态响应。,因此：,根据矩阵求逆的方法,两个自由度体系的一般解为:,B0为行列式展开算得的数值，具体见例4-6,补充例题3：三
9、层刚架。质量、侧移刚度及动荷载如图所示，p(t)=100sint kN。每分钟振动200次。略去横梁变形。试求该刚架各层振幅值及各层柱的剪力幅值。,解：求外荷载激励频率：,所以，右图为两自由度体系,则位移幅值为：,下面分析只有一个自由度受简谐激励的情况为了减小梁的振动，在质点下悬挂一质量块,只在梁上受简谐荷载作用,一般解为：,吸振原理：上面的体系选择自由度2的刚度和质量为：,则自由度1的振幅为零，即可消除1方向的振动。目前振动控制中的TMD和TLD就是利用这一原理。,2、任意荷载作用下的响应分析在任意荷载作用下体系的受迫振动是一个非齐次微分方程组，直接计算相当复杂。广义坐标变换,振型分解法的求
10、解步骤：1）求体系的自振频率和对应的振型2）计算广义质量和广义荷载3）求解正则坐标（杜哈梅积分）4）计算体系的位移响应向量（代回坐标变换方程）具体解法见例题4-7。,根据杜哈梅积分：,单自由度体系,广义荷载。,注意：多自由度体系的动力响应一般由前几阶较低振型确定，这就是振型分解法的最大优点，可以减少工作量。振型数的多少由具体结构确定。由于不同振型的频率不同，位移幅值不同时出现，因此求幅值时不能简单叠加。3、无阻尼结构的动内力计算动荷载作用下的内力由动荷载和惯性力共同产生。先通过位移求出惯性力，再计算惯性力作用下的内力。当结构承受简谐荷载而产生无阻尼振动时，由振动产生的惯性力随时间的变化与外荷载
11、同步。（见书）因此在计算结构最大内力时，可将外荷载幅值与惯性力幅值产生的内力直接相加。,多自由度有阻尼体系的受迫振动分析多自由度体系有阻尼时的运动方程的一般形式为：,将位移按振型分解或称为广义坐标变换：,代回原方程得：,左乘第j振型的转置得：,利用振型的正交性得：,如果阻尼矩阵也满足正交条件，上式可解耦。,按粘滞阻尼理论，阻尼矩阵是不能解耦的。为了能利用振型分解法求解，假设阻尼矩阵也满足振型的正交性：,则原方程化为n个独立的方程：,此式与有阻尼单自由度问题完全相同。,上式两边同除以广义质量，并引入振型广义阻尼比的概念可得：,上面的方程可用杜哈梅积分求解，得出广义坐标，然后再代回坐标变换的公式得
12、出体系的位移向量。,比例阻尼阻尼矩阵必须满足正交性条件，才能利用广义坐标变换将原来互为耦联的方程解耦为n个独立的单自由度方程。因此要解决如何确定阻尼矩阵的问题。常用的方法是假设阻尼矩阵是质量和刚度矩阵的线性组合，称为比例阻尼，表达式为：,第一部分称为质量阻尼,表示粘度阻尼分量;第二部分称为结构或刚度阻尼,是大多数材料的固有特性.,比例阻尼又称为Rayleigh 阻尼.采用这个假定的目的是使质量矩阵解耦.,上式两边同除以广义质量得：,因此：,实际问题中，可根据两个已知较低振型的频率和测得的阻尼比确定a、b，从而得到更高振型的阻尼比。,工程实际问题一般应用通用程序计算。还可采用逐步积分法计算结构时
13、程响应。,此时,广义阻尼为：,4-4 结构振动控制的应用,在结构上施加控制系统，由结构和控制系统共同抵御外界动荷载和作用，达到减轻结构动力响应的目的。被动控制：控制过程中没有外界能量的输入。控制装置简单有效但有一定的局限性。,主动控制：控制过程中通过外界能量的输入减小结构的响应。适应性强，控制效果稳定，但实现有一定困难。,控制力是按一定的控制律输入到结构中的。,混合控制：,把被动控制和主动控制混合应用。有应用前景。,隔震技术的工程应用(我国已应用近400栋建筑),耗能减震技术的工程应用,半主动控制,主动控制,南京电视塔风振AMD主动控制,大跨度柔性桥梁智能控制,洞庭湖大桥和黄河宾州大桥,小 结
14、,重点多自由度体系无阻尼自由振动归结为矩阵特征值问题。体系的自振频率取决于结构的刚度（柔度）、质量矩阵，可用频率方程求解。将频率代回振型方程可求得对应该频率的振型向量，它反映了结构体系振动的形状。不同频率的振型对质量和刚度矩阵都是正交的。可以通过比例阻尼假定使阻尼矩阵也满足振型的正交性。利用吸振器原理可以通过附加阻尼器控制主结构的振动。利用广义坐标变换将多自由度问题转化为单自由度问题。讨论课后思考题，作业7-10题。,1、习题3-6(a),解法1：等效刚度法,将弹簧支座的刚度和无变形支座的刚度按串联弹簧考虑，求出串联后的等效刚度。,解法2：柔度法（单位力下的变形）,解法3：求自身重力下的变形,
15、问题：两个弹簧支座弹性系数不同？,习题课,选择方法：柔度法一次超静定结构先求支反力；再做出弯矩图,柔度系数可参照图，用图乘法得到：,2、习题3-6(b),首先分析自由度数；在图中标明,3、习题3-6(c),首先分析自由度数；在图中标明,选择方法：因横梁刚度不是无穷大用柔度法比较方便。做出弯矩图,由图乘可知：,4、习题3-7,首先注意单位：质量应化为吨；转速应化为rad/s其次有阻尼情况下求最大动内力时：质点上的力包括三部分：外力、惯性力、阻尼力其中：惯性力与外力存在相位差，不能简单相加。阻尼力很小可以忽略；,5、习题3-8,首先由已知条件可以直接计算得出阻尼比；刚度系数；有阻尼周期再根据以下公式计算其他各项：,
