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1、,第九章 多元函数微分法及其应用,第一节 多元函数的基本概念,第二节 偏导数,第三节 全微分,第四节 多元复合函数的求导法则,第五节 隐函数的求导方法,第六节 多元函数微分学的几何应用,第七节 方向导数和梯度,第八节 多元函数的极值及其求法,二.全微分形式不变性,一.链式法则,一.链式法则,1.【中间变量均为一元函数】,1.一元,2.多元,3.混合,中间变量可多于两个，,以上公式中的导数 称为全导数.,4.特殊,多元复合函数,说明：,其它写法,抽象函数,一.链式法则,2.【中间变量均为多元函数】,1.一元,2.多元,3.混合,4.特殊,多元复合函数,其它写法,抽象函数,一.链式法则,3.【中间
2、变量既有一元又有多元函数的情形】,1.一元,2.多元,3.混合,4.特殊,其它写法：,抽象函数,一.链式法则,其中,4.【中间变量也是自变量情形】,【定理4】,1.一元,2.多元,3.混合,4.特殊,其它写法：,不变,抽象函数,一.链式法则,【解】,自画链式图,1.一元,2.多元,3.混合,4.特殊,具体函数的复合函数求导问题,例1、2、3,练习1,1.一元,2.多元,3.混合,4.多个混合,自画链式图,【解】,外层不是真的抽象函数，是为了区别对谁求导才给出的。,一.链式法则,【解】,自画链式图,1.一元,2.多元,3.混合,4.多个混合,一.链式法则,【练习1】,【解】,1.一元,2.多元,
3、3.混合,4.多个混合,自画链式图,【解】,令,【分析】外层是抽象函数，没有给出中间变量，故对中间变量求导用简写法,也可设中间变量，最好不设。,强调说明：抽象函数的复合函数求导问题,不设中间变量可简写为,【解】,强调说明：抽象函数的复合函数求导问题,代入已求出的结果,四则运算求导，,简写的结果,先画链式图,代入已求出的结果,四则运算求导，,【练习2】,【解】,先画链式图,【练习3】,【练习4】,2.不变性的简单应用,二.全微分形式不变性,1.不变性的实质,.【全微分形式不变性的实质】无论 是自变量 的函数或中间变量 的函数，它的全微分形式是一样的.,二.全微分形式不变性,1.不变性的实质,2.不变性的简单应用,【例如】,(2)利用全微分形式不变性求偏导数,(1)利用全微分形式不变性，比较容易地得出全微分的四则运算公式，,.【全微分形式不变性的简单应用】,例6,二.全微分形式不变性,1.不变性的实质,2.不变性的简单应用,解2:利用全微分形式不变性,因,解1:例1已用复合函数求导链式法则求解,1、链式法则（分三种情况）,3、全微分形式不变性,（特别要注意课中所讲的特殊情况）,（理解其实质）,小结,2、复合函数偏导数存在的充分条件,（外层函数偏导连续、内层函数偏导存在）,
