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1、1,第六章 定积分,6.1定积分的概念与性质6.2微积分基本定理6.3定积分计算方法6.4定积分的应用6.5广义积分初步,2,6.1定积分的概念与性质,一、曲边梯形的面积二、定积分的定义三、定积分的几何意义四、定积分的基本性质在本节中我们将从一些实际问题的计算里提炼出一类关于“和式极限”计算的数学问题,从而引申出定积分的概念,并探讨它的性质、几何意义。,3,引例：曲边梯形的面积,曲边梯形的概念:由连续曲线 y=f(x)与直线x=a,x=b以及x轴围成的平面图形叫曲边梯形。如何计算曲边梯形的面积？(不规则图形的面积),初等数学中对规则图形(直线边)面积的计算：(来源于矩形面积的定义)矩形S=ab
2、三角形S=ab/2梯形S=(a+b)h/2,4,无限细分、无限求和,处理该类问题的基本思路：无限细分(化曲为直)、无限求和！,5,曲边梯形的面积计算分割,设函数在区间a,b上连续,y=f(x)0分割：,任意插入n-1个分点：,个小区间,其长度,如上图，过各分点作 x 轴的垂线，,将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形其面积为,把,分成,6,曲边梯形的面积计算近似、求和,取近似：,在每个小区间上任,取一点,以,为高，,以,为底，,作 n 个小矩形，其面积分,别为,则,求和：,7,思考：,为什么可以用小矩形的面积近似计算小曲边梯形面积，而不直接用一个矩形的面积近似计算整个曲边梯形面积？近似计算的前提：是
3、x i要充分的小！,8,曲边梯形的面积计算极限,取极限：,可见：,时,曲边梯形的面积,即,9,引例：变速直线运动的位移,设某物体作变速直线运动,已知速度v=v(t)是时间间隔T1,T2上的连续函数,且 v(t)0,求物体在这段时间内所经过的位移s？,10,变速直线运动位移的计算,分割:时间段T1,T2上任取分点ti(i=1,2,n-1);,把T1,T2分成n小段ti-1,ti(i=1,2,n),每小段时间长度ti=ti-ti-1;相应地,位移也分成n段si,取近似:siv(i)ti(i=1,2,n),求和:,取极限:所求位移为,(其中,),11,解决此类求和问题的数学模式,四个基本步骤：(1)
4、分割;(2)取近似;(3)求和;(4)取极限,曲边梯形的面积,变速直线运动的路程,还有其它许多实际问题(如“变力做功”等)的解决都将归结于这种特殊类型的和式极限。人们把这类极限称为定积分,进行专门研究。,12,定积分的定义,定义：设f(x)在a,b上有定义,在a,b内任意插入n-1个点:a=x0 x1x2xn-1xn=b，它们把区间a,b分成了n个小区间:xi-1,xi(i=1,2,n),其长度依次为xi=xi-xi-1(i=1,2,n);在各小区间上任取一点i(xi-1 i xi),作乘积 f(i)xi；并作和式,如果不论对区间a,b如何分法,也不论在小区间xi-1,xi上分点i的取法,只要
5、当0,和式Sn总有极限S存在,即,则称极限S为 f(x)在a,b上的定积分。,13,定积分的记号,我们将函数f(x)在a,b上的定积分记为：,被积函数,积分变量,积分限(下限）,-积分符号,其中,-被积函数,-被积表达式,-积分变量,-积分区间,-积分下限,-积分上限,注:f(x)在a,b上定积分存在,亦称f(x)在a,b上可积。,14,关于定积分定义的说明,定积分是一种特殊的和式(黎曼和)的极限,其结果是一个数值。(比较：不定积分结果一组函数)该和式极限存在(即函数f(x)可积),是指不论对区间a,b如何分割,也不论在每个小区间上分点i怎样取法,该极限都要唯一地存在。定积分只与被积函数、积分
6、上、下限有关，而与积分变量的记号无关，即,无界函数不可积;若f(x)在a,b上有界,且只有有限个间断点,则f(x)在a,b上必可积。规定：,15,例题与讲解,例：利用定义计算定积分,解：在0,1上y=x2连续,故可积(任意分割都收敛)。,16,定积分的几何意义,定积分几何意义曲边梯形面积(笼统说法),具体有：若在区间a,b上 f(x)0,则,若在区间a,b上 f(x)0,则,一般地，f(x)在区间a,b上可积,则定积分等于由曲线y=f(x),与直线x=a,x=b,y=0所围成曲边梯形面积的代数和(x轴下方图形面积用负数表示)。如：,17,定积分的性质,性质：,分析：被积函数是什么？该定积分的几
7、何意义？,18,定积分的性质(13),性质1(和、差的运算性质),性质2(数乘的运算性质),性质3(区间可加性)若a,b,c为任意常数,则,前提条件：f(x)、g(x)可积,19,定积分的性质(4),性质4(比较性质)在区间a,b上,若f(x)g(x),则,例：比较定积分,与,的大小.,解：因为在,上，,所以,故由定积分比较性质有,20,定积分的性质(56),性质5设f(x)在a,b上连续,f(x)0,且f(x)不恒为零,则有,性质6(估值定理)若对任意xa,b,恒有A f(x)B,则有,解：,21,定积分的性质(7),性质7(简单积分中值定理)f(x)在a,b上连续,则至少存在一点 a,b,使得,证,由闭区间上连续函数的介值定理知,必有a,b,使,即,概念：f(x)在区间a,b上的平均值,22,积分中值公式的几何解释,在区间a,b上至少存在一点,使得以区间a,b为底边,以曲线y=f(x)为曲边的曲边梯形面积等于高为f()的同底矩形面积。,例：设f(x)可导,且,解,由积分中值定理知有,使,23,练习,1:利用定积分定义计算y=x3，直线x=0,直线x=1及x轴所围成的图形的面积S,
