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1、2023/10/31,同济版高等数学课件,第五节,一、近似计算,二、微分方程的幂级数解法,函数幂级数展开式的应用,第十二章,三、欧拉公式,2023/10/31,同济版高等数学课件,一、近似计算,例1.计算,的近似值,精确到,解:,2023/10/31,同济版高等数学课件,例2.计算,的近似值,使准确到,解:已知,故,令,得,于是有,用此式求 ln2 计算量大,2023/10/31,同济版高等数学课件,在上述展开式中取前四项,2023/10/31,同济版高等数学课件,说明:在展开式,中,令,得,具此递推公式可求出任意正整数的对数.如,(n为自然数),2023/10/31,同济版高等数学课件,例3
2、.利用,求,误差.,解:先把角度化为弧度,(弧度),的近似值,并估计,2023/10/31,同济版高等数学课件,(取,例4.计算积分,的近似值,精确到,解:,2023/10/31,同济版高等数学课件,则 n 应满足,则所求积分近似值为,欲使截断误差,2023/10/31,同济版高等数学课件,例5.计算积分,的近似值,精确到,解:由于,故所给积分不是广义积分.,若定义被积函数在 x=0 处的值为 1,则它在积分区间,上连续,且有幂级数展开式:,2023/10/31,同济版高等数学课件,二、微分方程的幂级数解法,代入原方程,比较同次幂系数可定常数,由此确定的级数即为定解问题在收敛区间内的解.,设所
3、求解为,幂级数解法本质上就是待定系数法,1.一阶微分方程的情形,2023/10/31,同济版高等数学课件,例6.,解:根据初始条件,设所求特解为,代入原方程,得,比较同次幂系数,得,故所求解的幂级数前几项为,2023/10/31,同济版高等数学课件,2.二阶齐次线性微分方程问题,定理:,则在R x R 内方程 必有幂级数解:,设 P(x),Q(x)在(R,R)内可展成 x 的幂级数,(证明略),此定理在数学物理方程及特殊函数中非常有用,很多,重要的特殊函数都是根据它从微分方程中得到的.,2023/10/31,同济版高等数学课件,例7.,的一个特解.,解:,设特解为,代入原方程整理得,比较系数得
4、:,可任意取值,因是求特解,故取,从而得,当n 4 时,2023/10/31,同济版高等数学课件,因此,注意到:,此题的上述特解即为,2023/10/31,同济版高等数学课件,三、欧拉(Euler)公式,则称 收敛,且其和为,绝对收敛,收敛.,若,收敛,若,对复数项级数,绝对收敛,则称 绝对收敛.,由于,故知,欧拉,2023/10/31,同济版高等数学课件,定义:复变量,的指数函数为,易证它在整个复平面上绝对收敛.,当 y=0 时,它与实指数函数,当 x=0 时,的幂级数展式一致.,2023/10/31,同济版高等数学课件,（欧拉公式）,（也称欧拉公式）,利用欧拉公式可得复数的指数形式,则,欧
5、拉,2023/10/31,同济版高等数学课件,据此可得,(德莫弗公式),利用幂级数的乘法,不难验证,特别有,第六节,作业 P291 1(1),(3);2(2)；3(1),(3);4(2),第七节,2023/10/31,同济版高等数学课件,备用题 1.,(1)验证函数,满足微分方程,(2)利用(1)的结果求幂级数,的和.(2002考研),解:(1),2023/10/31,同济版高等数学课件,所以,(2)由(1)的结果可知所给级数的和函数满足,其特征方程:,特征根:,齐次方程通解为,设非齐次方程特解为,代入原方程得,故非齐次方程通解为,2023/10/31,同济版高等数学课件,代入初始条件可得,故
6、所求级数的和,2023/10/31,同济版高等数学课件,2.,解:,求解勒让德(Legendre)方程,展成幂级数,故方程满足定理条件.,设方程的解为,代入:,因方程特点,不用将 P,Q 进行展开,定理,2023/10/31,同济版高等数学课件,整理后得:,比较系数,得,例如:,2023/10/31,同济版高等数学课件,于是得勒让德方程的通解:,上式中两个级数都在(1,1)内收敛,可以任意取,它们是方程的,两个线性无关特解.,欧拉(1707 1783),瑞士数学家.,他写了大量数学经典,著作,如无穷小分析引论,微,还,写了大量力学,几何学,变分法教材.,他在工作期间几乎每年都完成 800 页创造性的论文.,他的最大贡献是扩展了微积分的领域,要分支(如无穷级数,微分方程)与微分几何的产生和,发展奠定了基础.,分学原理,积分学原理等,为分析学的重,在数学的许多分支中都有以他的名,字命名的重要常数,公式和定理.,
