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1、2.2 矩阵的运算,、定义,一、矩阵的加法,设有两个 矩阵 那末矩阵 与 的和记作，规定为,说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.,例如,2、矩阵加法的运算规律,记-A=(-aij),成为矩阵A的负矩阵,1、定义,二、数与矩阵相乘,2、数乘矩阵的运算规律,矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算.,（设 为 矩阵，为数）,1、引例,产品,一厂二厂,三、矩阵与矩阵相乘,单位 单位 价格 利润,总收入 总利润,一厂二厂,可见 c11=a11b11+a12b21+a13b31 cij=ai1b1j+ai2b2j+ai3b3j,2、定义,并把此乘积记作C=AB,设 是一个 矩阵，是
2、一个 矩阵，那末规定矩阵 与矩阵 的乘积是一个 矩阵，其中,例,设,例2,故,解,注意1只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘.,例如,不存在.,注意2：AB的行数=A的行数；AB的列数=B的列数,练习：,1、,2、,3、,=(,）,4、线性方程组,记,则有AX=b,注意3矩阵不满足交换律，,例3 设,则,如前练习题1、2,即一般地ABBA,但也有例外，比如设,则有,此时称矩阵A、B可交换。,注意4矩阵不满足消去律，即：,（1）若AB=AC，A0不能推出B=C,（2）若AB=0不能推出A=0或B=0,例4 设,、矩阵乘法的运算规律,（其中 为数）;,若A是 阶矩阵，则
3、为A的 次幂，即 并且,注意:一般地(AB)kAkBk,定义 把矩阵 的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做 的转置矩阵，记作.,例,、转置矩阵,四、矩阵的其它运算,转置矩阵的运算性质,证(4)：首先据矩阵乘法定义可见左右两边是同型阵；,其次证明两边矩阵的对应元素相等。,因为(AB)T位于第i行第j列的元素,=AB位于第j行第 i列的元素,=A位于第j 行的元素与B位于第i列对应元素的乘积之和,=BT位于第i行的元素与AT位于第j列对应元素的乘积之和,=BTAT位于第i行第j列的元素,例5 已知,解法1,解法2,2、方阵的行列式,定义 由 阶方阵 的元素所构成的行列式，叫做方阵 的行列式，记作
4、或,运算性质,记C=AB，构造一个2n阶行列式,=(-1)n|C|(-1)n=|AB|,3、对称阵与伴随矩阵,定义,设 为 阶方阵，如果满足，即那末 称为对称阵.,对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相 等.,说明,例6 设列矩阵 满足,证明,例7 证明任一 阶矩阵 都可表示成对称阵与反对称阵之和.,证明,所以C为对称矩阵.,所以B为反对称矩阵.,命题得证.,定义,行列式 的各个元素的代数余子式 所构成的如下矩阵,性质,称为矩阵 的伴随矩阵.,证明,故,同理可得,五、小结,矩阵运算,加法,数与矩阵相乘,矩阵与矩阵相乘,转置矩阵,对称阵与伴随矩阵,方阵的行列式,共轭矩阵,（2）只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘,且矩阵相乘不满足交换律、消去律.,（1）只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.,注意,（3）矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不同.,思考题,成立的充要条件是什么?,思考题解答,答,故 成立的充要条件为,
