《5.2.2同角三角函数的基本关系6种常见考法归类.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《5.2.2同角三角函数的基本关系6种常见考法归类.docx（18页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、5.2.2同角三角函数的基本关系6种常见考法归类1、同角三角函数的基本关系一关系式文字表述平方关系sin2cos2=l同一个角a的正弦、余弦的壬方利等于1商数关系sinatanacosa(+E,ez)同一个角Q的正弦、余弦的商等于角的正切注意以下三点：(1)“同角有两层含义：一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，即与角的表达形式无关，如sin23cos23tt=l成立，但是sin2acos2/?=1就不一定成立.(2)sin2是(Sina)2的简写，读作“sina的平方“，不能将sin2写成sina2,前者是a的正弦的平方，后者是足的正弦，两者是不同的，要
2、弄清它们的区别，并能正确书写.(3)注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的，sin2cos2=1对一切R恒成立，而tan仅对+4伙Z)成立.2、已知一个三角函数值求其它三角函数值的方法(1)若已知Sina=加，可以先应用公式COSa=jl-sida,求得CoSa的值，再由公式Iana=黑/求得Uma的值.(2)若已知COSQ=机，可以先应用公式Sina=J1-cos?。,求得SinQ的值，再由公式tan=墨5求得tana的值.(3)若已知tana=n,可以应用公式tana=snw=z11三sina=ncosa及sin2cos2a=1,求得cosa=-i=,CoSa5+廿.m
3、一sma=j=j=亏的值.(4)注意要根据角终边所在的象限，判断三角函数的符号.3、利用同角三角函数基本关系化简、证明的常用方法(1)化切为弦，减少函数名称.(2)对含根号的，应先把被开方式化为完全平方，再去掉根号.(3)对含有高次的三角函数式，可借助于因式分解，或构造平方关系，以降基化简.4、正、余弦齐次式的计算TL-.cosa6sin2ibsinacosaccos2l.,f7.,vlC（1）已知tan=切,可以求:-:或.，-b:TZ厂的值，将分子分母同除以CoSa或cos2,c,sn+Jcosatsn+esincosa+/cosa化成关于tanQ的式子，从而达到求值的目的.对于sin%+
4、bsincosq+ccos2q的求值，可看成分母是1,利用I=Sin2q+cos2q进行代替后分子分母同时除以cos2q,得到关于tan的式子，从而可以求值.（3）齐次式的化切求值问题，体现了数学运算的核心素养.5、sinGcos与sinOCOS之间的关系（l）（sinJ+cosO）?=12sinOcos0；（sin。-cos9）2=12sinOcos,利用该公式，已知其中一个，能求另外二个，即“知一求二”.求sin夕+cos或sinJ-CoS的值，要注意判断它们的符号.6、三角函数恒等式证明证明三角恒等式的过程，实质上是化异为同的过程，证明恒等式常用以下方法:证明一边等于另一边，一般是由繁到
5、简.证明左、右两边等于同一个式子（左、右归一）.比较法：即证左边一右边=0或亲近=1（右边0）.证明与已知等式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立.考点四由条件等式求正、余弦 考点五sinicos型求值问题 考点六三角函数恒等式的证明考点一已知一个三角函数值求其他三角函数值考点二利用同角三角函数的基本关系化简、求值考点三正、余弦齐次式的计算考点一已知一个三角函数值求其他三角函数值1. （2023上四川高三统考学业考试）已知CoSa=；,则Sina的值为（）A,也B.如C.也D.且3333【答案】C【分析】根据同角三角函数基本关系求解.【详解】因为CoSa=g,所以Sina=1-cos2a-J
6、l-g=，故选：C32. （2023上上海松江高三校考期中）已知8se=g,且sinOO,则tan。的值为（）【答案】A【分析】根据同角三角函数的平方关系和商数关系即可得到答案.【详解】由题意得Sine=-Jl-COS*=-,贝IJ tan =Sine _ W _ 4COSe 33故选：A.3. （2023湖北高二统考学业考试）已知Sina=-且0,COSe0,（Sine1sin=I，S若tan6=-二，则有cos。2,解得z-,Siire+ cos*2;一2C2八.25所以sin。+cos-故答案为：一逝.55（2。23.全国高一随堂练习）已知SinT,。在第四象限,求由，tana的值;Q(
7、2)已知COSa=-五，。在第二象限，求Sin,tana的值;4(3)已知tana=-,求Sina,COSa的值；2(4)已知CoSX=求SinX,tanx的值.【答案】见解析【分析】利用同角三角函数的基本关系代值计算即可.【详解】U考，。在第四象限，,T.Sina.cosq,=1-sina=,tana=-1；2CoSacos。=*,a在第二象限，1.15Sina.smz=l-cos6Z=Jana=17COSQr84(2) tana=0,3当a为第一象限角时，sinx=71-cos2a=,tana=,32当Q为第四象限角时，SinX=-五时，tanx=胆=-且.3Cosx2考点二利用同角三角函
8、数的基本关系化简求值6. (2023上江苏高一专题练习)化简:SinaSina():I+snaI-SinaVl+2sinl0coslOcos100+71-cos210r.，cos2C.(3)Slrratana+2SInaCOSa.tana【答案】(D-Zian?。(2)1.SInaCOSa【分析】（1）利用同角三角函数基本关系进行化简；（2）利用完全平方公式和同角三角函数基本关系进行求解;（3）利用同角三角函数的基本关系进行化简.Sina(I - Sina)-Sina(I+sin a) 【详解】 - (lsJ)(l-sin.)-2sin2 aI-Sin2。-2 sin2 acos2 a=-2
9、tan2a.(2)原式=J(COS10+SinIo)oslO+SinlOlCoSI0+sin10cos10+sin10cos10+sin10cos10+sin10/r、.，Sina，COSaC.(3)原式=sina+sa+2SlnacosaCoSaSina7. (2023全国高一随堂练习)化简与求值(1)(1+tan2aJcos2a；f2cos2-1(jl-2sin26【答案】(1)1(2)1【分析】(I)根据tan=把里及cos2+sir=l求解.CoSa(2)根据CoS2+sin?a=1求解.【详解】(1)(1+tan2a)cos2a=1+-*n-cos2a=cos2asin2a=1.，I
10、cosa)S2cos?6-1=2cos?6-(cos2夕+sii?)=cos?6-siY6二1-l-2sin2(cos2+sin2)-2sin2cos2-sin28. (2023全国高一随堂练习)化简：COS，口，+sin&j.V1+sinay1+cos【答案】答案见详解【分析】先根据式了仃意义求。的范围，然后利用平方关系化简目标式，再根据。进行分类去绝对值，利用辅助角公式化简.JT【详解】由题知，l+sin0,l+CoSa0,得w+2A且工+2E,AeZ,2loc=f2At,kZ时，Sina=I,cosa=O,原式=1；2当=2AMZ时，COSa=1,Sina=0,原式=1；当。的终边不在坐
11、标轴上时，有I-Sina0,1-COSa0,所以，原式=X住密住寻当。为第一象限角时，l-sinaI-COSa_(.oR(兀原式=cosa+sn=2-(Sm+cosa)=2-2sina+-cosasinaI4当a为第二象限角时，原式=一(I-Sina)+1-COSa=Vsin(a-；)；当a为笫三象眼角时，原式=-(1-Sina)-(I-CoSa)=近sin(a+；)一2；当Q为第四象限角时,原式=I-Sina-(I-COSa)=-Vsina综上，当2Ea+2E,ZZ时，原式=2-Jsin(a+:当。为第二象限角时,当。为笫三象眼角时，原式= &sin（a + ：J-2；当a为第四象限角时，原
12、式=9. （2023上.宁夏银川.高三银川一中校考阶段练习）若J逅+叵M近=一_LV 1 + cos a yl-cos asin a则a不可能是（A.5TT1015C 20D.11【答案】B【分析】利用同角三角函数的平方关系及三角函数在各象限的符号即可求解.口,H/1-cosaJl+cosa1(1-cosa)2/(l+cosa)2I-COSaI+cosa2详解显然后嬴6F+匕+而不=而22因此11I=-：，从而Sina0,bInalSina对于A,因为-窘为第四象限角，所以Sina0,B不可能;15对于C,因为皆为第三象限角，所以Sina0,C可能；对于D,因为等为第四象限角，所以Sina0,
13、D可能.故选：B10. （2023全国高一课堂例题）化简：/八2CSUC.(I)SInatan+2SInaCoSa；tana+(180a270。).V1-cosaV1+cosa【案】（1）二SlnaCOSa【分析】（I）根据同角三角函数的基本关系式进行化简，从而求得正确答案.（2）根据同角三角函数的基本关系式、三角函数的符号等知识进行化简，从而求得正确答案.【详解】（1）原式=sin?a包+cos?a尊丝+2SinaCoSasin2a+cos2a)SinaCoSaSinaCoSa(2)因为180。4270。，所以SinaSinxcnsx+3cos4二2si-hucosxScosksinx+co
14、sx2tan2x-tanx+3222-2+39tan2 x + 19 故答案为：22 + l -5ZZ=一14. （2。23上上海奉贤高三上海市奉贤中学校考阶段练习）若-2,那么黑端【答案】1【分析】弦化切即可.、讣l+sn6cos6Slrre+cos-e+sinOcos。Iarre+l+tan6,【详解】一;L=A;=；=1sin-6-CoS6sin。一CoStan-故答案为：115. （2023全国高三专题练习）如果tan = 2,3i / 2sin + cosa那么4sin- sin2a-cos2a =sin4a-cos4a-【答案】I/0.6【分析】空一：由齐次式将弦化切求值；空二、三
15、：由正余弦的平方关系，将已知式中弦化切求值.1if解】rhtfin/y_7想2sin+CoSa_2tan+l_2x2+1_【洋斛】IMtana-2,TJ4sina-3cos4tan-342-31,sin2a-cos2=sin-cosa=tan-1=T=SiIra+cosUHra+14+15sin4a-cos4a=(sin2a-cos2a)(sin2a+cos2a)=-.33故答案为：1,j16. (2023上广东广州高三广州市第十六中学校考阶段练习)已知tanJ=2,则sin?。+SineCoSe=()【答案】D【分析】将si6+sin。COSJ变形为加?+Sin。s。,结合同角的三角函数关系
16、化简为叱丝虫堂，即sin26+cos26tan2(9+1可求得答案.【详解】由题意知tan。=2,则SinO+SineCOSe=SE?+sin26+cos26_tan2e+tan_4+2_6tan26+l-Tm-5,故选：D17. (2023上嘿龙江哈尔滨高三哈尔滨七十三中校考期中)已知学,tana+一=-；4Iana3(D求tana的值;(2)求Sina+8Sa的值;Sma-COSa求2sii)2a-SinaCoSa-3cos?a的值.【答案】(I)T(2)-1(3)-y【分析】(I)根据角的范围确定TVtanaV0,即可由一元二次方程求解,(2) (3)根据弦切齐次式即可求解.【详解】由于
17、与。兀所以Ttana+l32+ll故选：C.sin。+COS 0 Sine-CoSe的值.19. (2023下辽宁大连高一大连八中校考阶段练习)已知角。终边上P(X,2x-3),(x0),且tan6=r,【答案】2或0【分析】首先根据正切函数的定义，求X，再将关于sin，,COSe的齐次分式转化为正切表示，最后代入求值.【详解】由于tan。=生口故土口 = 一工，解得工=-3或r = l. X当x = -3时，tan。= 3,sin + cos _ tan 6+1Sin。一 COSe tan -1当 x = 1时，tan = -l,sin cos/9 _ tan +Sine-8s6 tan -
18、1考点四由条件等式求正、余弦20. (2023下上海青浦高一上海市青浦高级中学校考期中)若上任巳=!，则tan=COSa2【答案】I4【分析】由己知结合sin2+cos2O ,即 Sina =一,.sin2a+cos2a=sin2I-2sincr=5sin2a-sina+-=1525COSa_445故选：C.24. (2023下浙江高二校联考阶段练习)若2si7;cos/=4,则COSe(I-2sie)=()SIne+2CoSe2sin。+CoSe4433A.B.C.D.25252525【答案】C【分析】由题设仃3sin6=4cos6,结合平方关系可得sire=,再求出目标式的侑.【详解】由题
19、设3sine=4cos0,Xsin26+cos219=sin26=l,16所以Sin2。=工,则CoSe(I-2SinM=二XCOSe.二=_.sinO+cos。25sin+cos25725故选：C25. （2023下湖北黄冈高一校考阶段练习）已知包当1=2,那么（CoSo+3）（sin6+l）的值为（）cos。+1A.6B.4C.2D.0【答案】B【分析】根据同角三角函数的平方关系求出cos0=l,则sin。=。，代入即可求解.【详解】Sin,+4=2,则5-cos2，=2cos，+2，cosJ+1解得cos。=1或COSe=-3（舍去），故sin6=0,(cos+3)(sin+l)=4l=
20、4.故选：B.【点睛】本题考查了同角三角函数的平方关系，需熟记公式，属于基础题.考点五sinOcos型求值问题26. （2023下新疆塔城高一塔城地区第一高级中学校考阶段练习）己知。（0,；上且Sina+coSa二1则tana的值为（）A12CI25C5A.B.C.D.551212【答案】C171?07联立求出【分析】由Sina+cosa=一两边平方得到2sinacosa=,进而得到Sina-CoSa=1316913512sina=-,cosa=-,得到答案.17289【详解】由Sina+cosa=一,两边平方得5由+以)5%+25苗。8$。=,13169120因为sin2cr+cos2a=1
21、所以2sinacosa=,169乂(SIna-cosa)=sina+cosa-2snacosct=I=,169169又因为a,所以Sinacosa,Sina-8sa0可得J为第四象限角，又,0）,则e卜0）,则选项A判断错误；tan=普=-,则选项C判断错误；cos1251217Sinecos6=,则选项D判断止确.131313故选：BD28.【多选】（2023上山东德州高一校考阶段练习）己知e（r,2）,sin。-cos。=，则下列结论正确的是（）C.tan=D.Sine+cos。=45【答案】ABD【分析】对A,由平方法求得SinOcosO的符号，结合角的范围即可判断；对BCD,结合平方关
22、系及角的范围即可求解判断.【详解】对A,（sin。一cos。）二1一2SineCoSe=-!-=2SineeoSe=兰.*/（,2）,则Sine0,COSeVO,对 BCD, V9卜手),sinO+cos。=-Jl+2sinecos6=-1,联立Sine-CoSe=，可解得CoS6=，,12J55533Sine=-，UmO=-，BD对，C错.54故选：ABD.729. （2023辽宁鞍山鞍山一中校考二模）已知是第四象限角，且满足Sina+cos=耳，则tana【答案】120【分析】根据得到Sina利用三角函数的基本关系式，求得2siy通进而求得17Sina-COsa=-、，联立方程组，求得Si
23、na,cosa的值，即可求解.【详解】由。是第四象限角，可得Sina0,则Sina-CoSa0,7249因为Sina+cosa=值，可得(Sina+cosa)=1+2SinaCoSa=,“He120口J得2snacosa=-j,又由(Sina-cosaf=l-2SinacoSa=急因为Sina-COSa0,可得Sina-COSa=一3，联立方程组，可得Sina=-於。Sa=存所以，皿。=蓼=-卷故答案为：30. （2023上江苏高一专题练习）己知sin。+COSe=L（0v6v）,求sin。COS。和Sine-COSJ的值.2【答案】SineCos=-g,Sine-COSe=82【分析】根据给
24、定条件，利用同角公式，结合三角函数的符号法则求解即得.【详解】由sin。+CoSe=,，得(Sine+cosO)?=1，即1+2SineCoSe=L24431一2SinoCos。=解得sin，CoSe=0,而090,cos82a=1+2(舍去)，C1SineCoSe1111rrtan。+=+=-l-2.tanCoSesin6SineCOSeal-2故答案为：-2.32. 【多选】(2023上山东济南高一济南三中校考期末)已知(0,),且Sina+cos=g,则()a_12A.-a0,COSaV0,得到AB正确；先求出COSa-Sina的平方，结合角的范围求出COSa-Sina的值.【详解】AB选项，Sina+cos=(两边平方得，sin2a+cos2a+2sincosa=1一12即1+2SinaCOSa=,所以SinaCoSa=,BlE确，2525因为(0,),所以Sina0,故COSaV0，所以gv0,COSa=(sinx+l-cosx-CoSX-1+SinX)1+sinx+cosx_2(SinX_COsX)1+sinx+cosx二右边.
