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1、专题1-9数列性质的综合运用17类题型近2年考情考题示例考点分析关联考点2023年新2卷，第8题基本量的计算等差数列片段和相关计算2023新高考1卷，第7题等差数列前项和性质的判断等差数列前项和解析式特征2023年全国乙卷理数，15题等比数列基本量计算构造方程组求等比数列首项和公比2023年全国甲卷理数，5题等比数列前项和的基本量计算构造方程求基本量2023新高考1卷，第20题已知等差数列的和求公差等差中项与前项和的计算Kei题型.解读知识点梳理模块一等差数列【题型1】等差中项与前n项和【题型2】等差数列片段和【题型3】等差数列及其前n项和的基本量计算【题型4】通过等差数前n项和的比值相关运算
2、【题型5】等差数列奇偶项和相关运算题型6等差数列前n项和的单调性与最值【题型7】等差数列性质判断与综合运用题型8等比数列及其前n项和的基本量计算模块二等比数列【题型9】等比数列中基本量的计算【题型10等比数列的基本性质【题型11等比数列片段和【题型12等比中项的运用【题型13等比数列性质判断与综合运用【题型14等差数列与等比数列混合计算求值模块三其它综合问题【题型15】周期数列【题型16】数列中的最值问题【题型17数列新定义问题此鼠满分熨57知识点梳理一、基本量计算方法4，d,称为等差数列的三个基本量，4和S都可以用这三个基本量来表示，五个量4,d,，%S中，可知三求二，即等差数列的通项公式及
3、前，项和公式中“知三求二”的问题，一般是通过通项公式和前项和公式联立方程(组)来求解.这种方法是解决数列运笄的基本方法.在运算中要注意等差数列性质的应用.二、等差数列重要性质若数列4是等差数列，公差是4则等差数列a,J有如下性质：当d0时,名是递增数列；当次0时，。是递减数列;当d=0时，4是常数列.(2)%=%+(1?-z7三iV,nni).(3型口=出,tleN且nni).m-n(4)若m+，=p+m,n,p,gN),则备+&=%+%.特别地，若m+=2成山，n,PeN),则%+4=2%.三、求等差数列前项和S“最值的方法0,pzrO,寻找正、负项的分界点，可利用等差数列的性质或利用或“来
4、寻找.r11okB0运用二次函数的图象求最值.四、等差数列奇偶项问题若等差数列的项数为2，则&=U+%+),SLSnd,I=殳2S*4若等差数列的项数为2+l,01t+i=(2z7+1)+1,S*-S号=一。e，=S*+1五、等差数列前n项和的性质若数列4是公差为d的等差数列，为其前项和，则数列I才也是等差数列，且公差为,若工，%量分别为等差数列4的前m项、前2m项、前3m项的和，则黑S1-Smf第-S。也成等差数列，公差为Md(3)设两个等差数列4,的前力项和分别为,Tnt则生=E口.7L-)六、等比数列的性质(1)若加+=p+g(?,n,p,夕M),则4/4=。研；若加+=2k(?，左N*
5、),则次=而a”.(2)若数列%是等比数列，则%,欣,H仍为等比数列.七、等比数列的前n项和性质1 .在等比数列“”的五个量.，q,a”,加工中，力与夕是最基本的元素，当条件与结论间的联系不明显时，均可以用内与夕表示。”与S”，从而列方程组求解.在解方程组时经常用到两式相除达到整体消元的目的.这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用.2 .等比数列前项和的常用性质：(1)若共有2项,则SiSi5=g.(2)“片断和”性质：等比数列小中，公比为4,前M项和为SMSmW0),则Sm,S2m-SmfS3m-S2m,-,S%lS(l构成公比为的等比数列.BeI核心题型模块一等差数列【题型1等差中项与前
6、n项和1 .在等差数列qr中，/+%+2q=4,则此数列的前13项的和等于()A.13B.26C.8D.162【解答】解：在等差数列”中若加+=k+/,则/+q,=4+q,因为+牝+2%=4,所以+%+2i0=2(a4+i0)=2(%+alj)=4,所以+3=2.所以SL生等213.2 .已知公差不为0的等差数列q满足a；+：=。；+。：，则又=0.【答案】0【解答】解：根据题意，设等差数列q的公差为d,又由a；+d=a；+。；，则有a；a；+a；a：=0,变形可得(a8-%)(%+a5)+(tz7-a6)(a7+a6)=0,即3c(as+a5)+c(a7+a6)=4c(a7+a6)=0,因为
7、d0,则的+%=0,由等差数列的性质得4(%+al2)=0,即/+a2=0,所以S12=03 .两个等差数列/,的前项和分别为SI和7；,已知a=乂望，求学的值.Tn+3b5Sn7+2【解答】两个等差数列,“的前项和分别为S“和北，满足IL=-y,9(4+%)as_2_59_7x9+2_659(+)9+3-12,24 .已知等差数列4和也的前项和分别为S.,Tnt若L=F,则W=()IJrM+4D4+D+DgD.1337【答案】C【详解】由等差数列的性质可得:ay+a9 2a2ao Sn= + 3。3 bfl, Tn 忆/7 + 23+411 + 2133ll + 4 -37,1331 ,%+
8、%=2%=2!l=也+3337Ill2023新高考1卷一基本量计算：利用等差中项简化计算5 .设等差数列q的公差为，且dl.令bn=T,记邑,7；分别为数列凡,4的前项和.(1)若3%=3%+a3,S3+T3=21,求”的通项公式；(2)若他为等差数列,且S99-4=99,求d.【答案】(1)。“二3，(2)d=2【分析】(1)根据等差数列的通项公式建立方程求解即可:(2)由也,为等差数列得出6=d或q=2,再由等差数列的性质可得，-%=1,分类讨论即可得解.【详解】(1)32=34+%,3d=q+2,解得=d,.*.S3=3%=3(4+d)=6d,rLL126129又4=A+a+4=7+77
9、+77=77.aZcl5aa9.S3+q=6d+7=2i,即22-7d+3=0,解得=3或4=；(舍去),/.an=ai+(n-)d=3n,(2)色为等差数列，12212.2A=4+4,即=+.%q%6(-)=-=-,Fpa2-3ald+2d2=0,解得q=d或q=2t,%。3a2a3a1：d,an0,又S99-q=99,由等差数列性质知，996一99%=99,即须一砥=1,50=1,即确一心-2550=0,解得牝o=51或外。=-50(舍去)a505150 ,当4=2/时，牝o=q+49d=5k=51,解得d=l,与dl矛盾，无解；当q=d时，%o=q+49d=5Od=51,解得磊.综上，d
10、【题型2】等差数列片段和2023新高考2卷T86 .记S“为等比数列q,的前项和，若SlSS6=21S2,则=().A. 120B. 85C. -85D. -120【答案】C【分析】方法一：基本量计算根据等比数列的前n项和公式求出公比，再根据Ssjt的关系即可解出；方法二：根据等比数列的前n项和的性质求解.【详解】方法一：设等比数列g的公比为夕，首项为4,若q=-l,则S4=0h-5,与题意不符，所以夕工一1；若夕=1,则$6=6q=3X2q=3S20,与题意不符，所以夕工1；由0=-5,5=2电可得，14)7,*)=214（三）,-q-q-q由可得，1+夕2+/=21,解得：/=4,所以5=
11、g(l-g)=3(1二)(+/)=-5x(1+16)=-85.方法二：利用片段和性质计算设等比数列,的公比为夕，因为Sl=-5,S6=21S2,所以qwT,否则S4=O,从而，52,S4S2,56-54,Ss-Sfj成等比数列，所以有，(一5-52)2=$2(2电+5),解得：52=-1或52=：,当S?=-1时，S2,S4-S2,S6-S4,Ss-S6,即为一】,-4,-16,58+21,易知，S8+21=-64,即Si=-85；当S?=时，54=al+a2+a3+a4=(1+2)(1+2)=(1+2)。，与S4=T矛盾，舍去.7 .(2023广东深圳二模)设等差数列4的前项和为S”，若与=
12、20,520=10,则S3。=()A.0B.-10C.-30D.-40【答案】C【解析】由等差数列%的前项和的性质可得：So,EO-SsS30-Wo也成等差数列，2(SM-SS)=S10+(S30-S20),.2(1O-2O)=2O+Sjo-1O,解得S30=-30.2024届江苏连云港&、南通质量调研(一)8 .设等差数列凡的前项和为S1,已知&=5,%=T5,+2+-+a2*=-45,其中正整数2,则该数列的首项4为()A.-5B.0C.3D.5【答案】D【分析】结合等差数列的性质求解即可.【详解】ak+i+jt+2+2jt=-45,又&=4+0+%=5,两式相减得：kd+kd+kd=Fd
13、=-50,%M=%+Rd=-50=-45,解得：q=5.2020年全国H卷(理)一等差数列片段和9 .北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)()A.3699块B.3474块C.3402块D.3339块【答案】C【详解】设第环天石心块数为。“，第一层共有环，则为是以9为首项，9为公差的等差数列，=9+(-1)9=9w,设S”为凡的前项和，则第一层、
14、第二层、第三层的块数分跄为SqS-qS?”,因为下层比中层多729块，所以SLS2”=S2S”+729,n3w(9+27)2w(9+18w)2w(9+18w)(9+9)印=F7292222即92=729,解得=9.所以S相叶型二3402.【题型3】等差数列及其前n项和的基本量计算10 .已知等差数列为的前项和为S。，S4=40,Sw=210,SI=I30,则等于()A.12B.14C.16D.18【答案】14【解答】解：由题意可得Sr-Sl=210-130=80,.4(q+q)=S4+S“-Sl=40+80=120,.S=15?=210,解得=14211 .在等差数列qj中，公差d0,a1+6
15、=14,a2a5=40,则数列凡的前9项之和等于.【答案】90【解答】解：由公差d0,a16=14,a2a5-40,一.2%+54=14,(a+d)(ax+4)=40,联立解得：=2,d=2,89故S9=94+-xd=9.【题型4】通过等差数前n项和的比值相关运算12 .己知等差数列q和等差数列的前项和分别为邑和7；,且耒二号署，则使得妥为整数的正整数的个数为（）A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】B【分析】根据等差数列前项和公式以及等差数列的性质可得S2,1=（2-1）凡，进而可求解.【详解】由于=（+%；）（2-1）=2七1）=（2_c 24=5+ra,l_5(21)+63_5+29Q
16、T2-1+3w+1要使？为整数，则+1为24的因数，由于+12,故+1可以为2,3,4,6,8,12,24,故满足条件的正整数的个数为7个13 .两等差数列/和此前项和分别为S,，4,且a=如工，则字学=.Tn+3+z4288【答案】55.Sn7w+2【解答】解：两等差数列和4前项和分别为S”，Tny且HL=f,（+q）xl.生+%=8.2-4XSH）=4xl0+2-288一4+q+4-10（4+4）857；58+355214 .己知两个等差数列（和的前项和分别为S”和7；,且5L=中詈，则使得去为整数的正整数的值为.【答案】2、4、14【分析】利用等差数列前项和公式求得TiL的表达式，结合/
17、L为整数求得正整数的值.(21)(-+*)【详解】由题意可得A=,一/Tln-(2)(4+m)(2,l1)bn2削见一S2-3(21)+393+1815bflT2n,l(21)+3n+1*由于?L为整数，则+1为15的正约数，则+1的可能取值有3、5、15,因此，正整数的可能取值有2、4、14.【题型5等差数列奇偶项和相关运算15 .在项数为2+1的等差数列中，所有奇数项的和为165,所有偶数项的和为150,则等于10.【答案】10【解答】解：Y等差数列中，所有奇数项的和为165,所有偶数项的和为150设奇数项和Sl(+I)=65,;数列前2+1项和S2=(%+%)(2+l)=165+150=
18、315,(q+%)(+i)Sl2+1165=7；VoTlx=二7=TTT,解得：w=10.S2(4+生.)(2+1)2+l315216.己知等差数列,共有2+1项，所有奇数项之和为132,所有偶数项之和为120,则等于.【答案】10【解答】解：.S奇数=q+/+%1+=132,tfc=a2+a4+.+a2n=120,S奇数-S储敢=%”-1-=%+=12,n+=S奇数+S偶数=252=-如Il=(2+I,“+1=12(2+1)=252,解得=10.31.已知等差数列为共有10项，其奇数项之和为10,偶数项之和为30,则其公差是一4.【解答】解：依题意，q+(4+2d)+(%+4d)+(4+6d
19、)+(4+8d)=5(4+4d)=10,同理，5(q+5d)=30,两式相减得：d=4,故答案为：4.【题型6】等差数列前n项和的单调性与最值17 .在等差数列也中，其前项和是S,，若S9O,S100590,Sjo0，6，所以公差d0,SS所以当6.49时L0,又因为当La5时，S”单调递增，见单调递减,SSS所以当L“，5时，单调递增，所以一最大18 .已知等差数列%的前项和为Szt,并且SoO,SO,所以牝+40,同理得SU=Il%0,所以4,可得0.当=5时，S.取得最大值为国，要使，S对N+恒成立，只需要(Szi)nm耳，WN-即可，所以SsS*,N+,即左=5.所以正整数左的值为5.
20、19 .若等差数列6的前项和为S,且满足s4043o,s*O,a2o220,又Sm4=竺丝与%空10,即+%o440,则生022+。2。230则a2O23。，且I2022|“2202la20220。2023“2024，所以对任意正整数，都有h,KJ,则加=2022.20 .(多选)已知等差数列4的前项和为S”，公差d0,则下列数列一定递增的是()A-忤fianC.1ID.%+3d【答案】AD【分析】根据等差数列的通项公式及前项和公式，利用数列单调性的概念，结合作差法即可判断.【详解】对于A,Szt=q+(D,-=al+d,2w22、一2=q+gd-1q+二Jd=卜0,则数列是递增数列，A正确：
21、n+n22)2J对于B,(+1)%.=(+1)(+d)-“q+(-l)d=+2nd,.qR,.4+2,以不一定是正实数，即数列Wq,不一定是递增数列，B错误：对于C“7凡二+“dq+(l)d=d-qn+nn+n(w+l),qeR,D不一定是正实数,即数列(半不一定是递增数列，C错误；对于D,an+l+3(/7+l)c-(an+3nd)=an+i-an+3d=4d0t故数列%+3d是递增数列，D正确21.设4为等差数列，SfJ为数列q的前项和，已知%+%=1，515=75,7；为数列的前项和SN).(1)求S”；(2)求7；,及7；的最小值.【解答】解：(1).q,为等差数列，首项为q,公差设为
22、d,则依题意有(al+d)+(q+4)=I,c1514jF5a.+d=7512解得。=J心fd=-2+ST)=J52n2 -5n222Snn-5-2=.设?则如一k(w + l)-5 n-5n2.数列依是公差为;的等差数列，首项为4=:=-2,7；为数列的前项和，,2+迎ZlU=Z.224x?9x9又丁夕=二图象开口向上，对称轴为二一，且N*,4242-O4.=4或=5时,*“=-=-5.【题型7】等差数列性质判断与综合运用2023新高考1卷T7数列性质的判断22.记S”为数列%的前项和，设甲：%为等差数列；乙：字为等差数列，则()A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充
23、分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】C【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前项和与第项的关系推理判断作答.，【详解】方法1,甲：%为等差数列，设其首项为卬，公差为d,11G(一D)S”-1,ddSttASnd则Sn=nax+-d,=%4d=-w+1-,=-,2n222w+1n2因此二为等差数列，则甲是乙的充分条件；n反之，乙：2为等差数列，即口_&=5川；。7：1=“丁一：。为常数，设为“，n+1nw(w+l)w(+1)U7S即则SzI=叫+-八(+1),有SZJT=(-1)/-(-D,2,n(n+)两式相减得：an=nan+
24、i-(n-)an-Itn,即知+-。”=2/,对=1也成立，因此q为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件，C正确.方法2,甲：q,为等差数列，设数列q,的首项外,公差为d,即Sl,=w+硬/人则9L=4+9zDd=2+q_2,因此&为等差数列，即甲是乙的充分条件；n222n反之，乙：为等差数列，即T=,=+(1)0,n+1nn即1=+n(n-l)D,Sl=(I)E+(-1)(-2)，当2时，上两式相减得：Sn-Srl=Sl+2(n-)Df当=1时，上式成立，于是%=%+2(-I)Z),又lt+=q+2nD-al+2(n-1)D=2D为常数，因此可为等差数列，则甲是乙的必要条件，所
25、以甲是乙的充要条件.23.(雅礼中学月考)(多选)设S0是公差为d(J0)的无穷等差数列/的前项和，则下列命题正确的是()A.若d0C.若数列SJ是递减数列，则对任意的：N,均有S“0,则数列Sfj是递增数列【答案】BD【分析】取特殊数列判断A;由等差数列前项和的函数特性判断B;取特殊数列结合数列的单调性判断C;讨论数列SJ是递减数列的情况，从而证明D.【详解】对于A:取数列(为首项为4,公差为-2的等差数列，S=40,B正确：对于C:取数列%为首项为1,公差为-2的等差数列，Sn=-n2+2n,S3-S.=-(+1)?+2(+1)-(-1+2)=-2+10,即S,中0,故C错误；对于D:若数
26、列SJ是递减数列，则勺=S0-SM0.故若对任意N,均有S“0,有数列S,是递增数列，故D正确A.C.24.(多选)已知等差数列4的前项和为邑，公差d0,则下列数列一定递增的是()B.D.an+3nd【答案】AD【分析】根据等差数列的通项公式及前项和公式，利用数列单调性的概念，结合作差法即可判断.【详解】对于A,S,t=+”。；Dd,=al+!22辿一A=q+d-(q+Fd=为0,则数列是递增数列，A正确：+12V2J2nJ对于B,(+1)牝+-勺=5+l)(+d)-”+(-l)d=q+2zd,qR,q+2d不一定是正实数，即数列4不一定是递增数列，B错误:TLV%an_anda,+(n-l)
27、t/_d-ax又寸于C,7:-7r,/?+1n+1n4+JTqcR,J7一不一定是正实数，即数列不一定是递增数列，C错误:对于D,an+l+3(n+)d-(an+3nd)=an+-an+3d=4d0t故数列%+3m是递增数列，D正确25.(多选)已知数列(的前项和是S”，则下列说法正确的是()A.若Slt=at,则应是等差数列B.若q=2,%=2%+3,则qr+3是等比数列C.若%是等差数列，则S”，SxS,S3”-S2“成等差数列D.若q是等比数列，则S”，S2-5w,S3-S?成等比数列【答案】ABC【分析】求出通项公式判断AB;利用数列前项和的意义、结合等差数列推理判断C;举例说明判断D
28、作答.【详解】对于A,S“=a”，2时，an=Sn-Sn=an-an-l,解得知_1=O,因此eN,cn=O,能是等差数列，A正确；对于B,q=2,an+1=2an+3,则%+3=2(q,+3),而6+3=5,%+3是等比数列，B正确；对于C,设等差数列4的公差为d,首项是q,S.=%+4+勺，S?”一Szt=a.+。/？+-+%”=(q+)+(2+)+.+(/+)=S”+/d,S,n-S2“=a2n+i+。2”+2+%=(%+1+d)+(%+2+d)+伍2”+M=-,)+Yd,因此2区”一口=邑+(53”523则S”，S2”S”,SwS*成等差数列，C正确；对于D,若等比数列4的公比夕=-1
29、,则S2=0,Sq-Sz=O,$6-二O不成等比数列，D错误.【题型8】等比数列及其前n项和的基本量计算26.已知S“是等比数列/的前项和，%=1，2S3=7a2,贝1JS5=.【答案】V4【分析】由条件结合等比数列通项公式求首项和公比q,再利用求和公式求S3.【详解】设等比数列qf的公比为9,由%=1,2S3=Ia1,可得qg2=,2%+2=5%夕，解方程得，q=5g=2或=4,1=；,当T=2时,不小空号21,所以邑=宁.27 .已知等比数列的前项和为S”，且川+2=35”,3=12,则实数2的值为【答案】一4【解析】首先利用。向与S,的关系式，得到/+=4%,求得公比，首项和第二项，再通
30、过赋值=2求2的值.far+=3Sjl.【详解】当22时，；+_两式相减得。向。”=3S“Sj=34,an+=3Stl即。用=4/，并且数列an是等比数列，所以g=4,、3.%=12,.,a,=3,a,=,43当=2时，3+2=3S2=3(t71+a2),解得人=一丁模块二等比数列【题型9】等比数列中基本量的计算2023乙卷(理)T15基本量计算：解2元方程组28 .已知%为等比数列,a2a4a5=a3af,a9aw-Sf则的=,【答案】-2【分析】根据等比数列公式对a2a4a5=%化简得。闯=1,联立=-8求出=-2,最后得%fid=-2.【详解】设4的公比为g(go),则=/g。应，显然。
31、尸0,则a4=q2f即axq3=q2,则。闯=1,因为a9al0=-8,则/%二一8,则5=(q5)=-8=(-2)3,K1q5=2,则%=可夕=4=22023年全国甲卷(理)一基本量计算：解一元三次方程29,设等比数列q的各项均为正数，前项和S.,若q=1,55=553-4,则S4=()1565A.B.C.15D.4088【答案】C（分析根据题意列出关于夕的方程,计算出4,即可求出St.【详解】由题知l+q+g2+3+q4=5（1+夕+d）-4,即夕3+q4=4g+4,即/+g2_4夕4=0,即（g2）（g+l）（g+2）=0.由题知夕0,所以夕二2.所以邑=1+2+4+8=15.2022全
32、国乙卷(理)一基本量计算30.已知等比数列%的前3项和为168,%-%=42,则=()A. 14B. 12C. 6D. 3【答案】D【分析】设等比数列%的公比为g,g,易得夕工1,根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通项即可得解.【详解】解：设等比数列q1的公比为9国0,若夕=1,则生-牝=0,与题意矛盾,所以1,aA-q3%168,解得.a2-as= alq -aiq = 42 所以 = * = 3 .% =961 q=3【题型10等比数列的基本性质31 .设4,以分别为等比数列,“的前项和.若今二沁(。，b为常数)，则詈=()纥3+bD4128127-32CTlA-B.C.D.8180
33、2726【答案】C【分析】设4,=(2+。)也5“=(3+b)m,项和转换%=4-4,4=B1-员求解即可【详解】由题意，f=3f设An=(2n+a)m,Bll=(3n+b)m处a7=A1-A6=(27+)-(26+a)m=64/7/b4=B4-B3=(34+Z)-(33+8)?=54？a1_64w_32b454m2732 .已知S“是等比数列凡的前项和，且S,r=2向+,则0+，%+须知=()223-8n2,3-8C220-lC225-8A.B.C.D.3333【答案】A【分析】由。“与S”的关系求出数列zl的通项公式，推导出数列/“+J为等比数列，确定其首项和公比，结合等比数列求和公式可求
34、得所求代数式的值.【详解】因为S=2+,所以q=S=4+,a1=S2-Si=(23+a)-(22+a)=4,a3=S3-S2=(24+)-(23+)=8,又可是等比数列，所以媳二。，即42=8(4+),解得。=-2,所以SI=27一2.当2时，。“=5”一九=(2用一2)-(2-2)=2,又4=2满足=2,所以，S丝I=-=%故数列44是公比为4,首项为%=2x4=8的等比数列，所以W2+42%+60即8(l-410) 223 -81-4 - 333.在等比数列中，s2=2,5=16,则a1一七+%f(l)rt+ltz=.答案(-2)”3【分析】利用等比数列通项公式列方程组求出首项和公比，然后
35、根据定义可判断”=(-l)w+,an为等比数列，然后由等比数列求和公式可得.07=a,q=2fal=1,a=aq4=,解得=2,所以%二2”，记”=(T严4=(T严2、briy,*29因为-f1=/nLMT=-2,所以他是1为首项，-2为公比的等比数列，(-02所以。电+%+(T)%,=-l故答案为:1-(-2)34.（2020江苏统考高考真题）设为是公差为d的等差数列，加是公比为4的等比数列.已知数列斯+6的前项和S.=2_+2_i（wn+）,则d+q的值是.【答案】4【分析】结合等差数列和等比数列前项和公式的特点，分别求得q,a的公差和公比，由此求得d+q.等差数列4的前项和公式为2=卬+
36、当=Dd=等比数列4的前项和公式为Q=一，）=也-q1-4依题意Sn=PfI+Q,l,即2-+2-1=+（q-g）/=12dH=2a,=-1a=0通过对比系数可知2=故d+q=4Ca=2q=2v11一9【题型11】等比数列片段和2020年全国I卷（文）TlO35 .设%是等比数列，且。+出+。3=1，a2+aj+a4=A.12B.24C.30【答案】D【分析】根据已知条件求得夕的值，再由4+%+4=【详解】设等比数列凡的公比为夕，则q+%+/=a2+a3+a4=%q+%q2+aiq3=alq+q+q2=q=2f因此，a+a7+%=qi+qq6+qg7=15（l+2）=36 .已知等比数列%的前
37、项和为S.若卜；，4A.13B.16C.9【答案】A【分析】根据等比数列的性质，可得S4，S8-S4，S|2-5d2(d即+卜-力W+红，7q1_-+-q-q2,则4+%+%=()D.32W5(q+4+%)可求得结果.q(l+q+q2)=l,=32.则亲=()d4D.128仍成等比数列，得到三包=3,即可求解.【详解】设等差数列4的公差为d,等比数列也的公比为夕，根据题意gl.【详解】设S4=x(x0),则Sg=4x,因为凡为等比数列，根据等比数列的性质，可得-S,B?-Sg仍成等比数列.因为然邑二竺二=3,所以S2-S8=9x,所以S2=13x,故亲=13.J4X深圳市宝安区2024届高三上
38、学期10月调研37 .(多选)设数列(的前项和为S”.记命题P：”数列%为等比数列“，命题心S“，S2”-S.，S3。-S*成等比数列“，则P是夕的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D【分析】根据充分条件、必要条件的定义、等比数列的定义计算可得.【详解】若数列%为等比数列，设公比为夕，则当9=1时S”=q,所以S2”一Sn=21167i-nax-nal,S3n-S2n=3nai-2nai-nai,显然40,所以Szl,S2n-Sfl,SM-S2.成等比数列，当夕HI时S=。一，Ii-q所以S$/(T)MIT)0sS(/)MT)M(IT)所Ff-
39、F-j8.一.所以(S2”s)2=Sj(S3.S2”)，但是当g=且当为正偶数时，此时SJ=0,S2n-Stt=0,Sin-S2n=O则S”，S2-l,S3-s?不成等比数列，故充分性不成立，若S”，ss”，S3,-s?”成等比数列，当=1时S=q,S2-S1=a2tS3-邑=%成等比数列，当=2时S2,S4-S2,$6-S14成等比数列，不妨令4=w(m/0),a,=2m,a3=4/w,a4=2rn,a5=5n,ab=Irn,显然满足S2,S4-S2,56-64成等比数列，但是q,a2,a3,%,%，4不成等比数列，故必要性不成立，所以是夕的既不充分也不必要条件38 .(多选)设数列4,a都是等比数列，则()A.若Cn=他,则数列，也是等比数列B.若常二方,则数列4也是等比数列C.若%的前项和为S”，则邑“-S,S3”-S2也成等比数列D.在数列/中，每隔1项取出一项，组成一个新数列，则这个新数列仍是等比数列【答案】AB
