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1、题目： 变量代换求解常微分方程院 （系）： 理学院 专 业： 信息与计算科学 学 生： 郝腾宇 摘 要本问总结了变量代换在常微分方程中的应用，借助恰当的变量代换简化为可解类型，求出其通解或特解，同时举出实例加以证明。变量代换法不仅是一种重要的解题技巧,也是一种重要的数学思维方法。常微分方程通解的求法具有多样性,不同类型的微分方程有不同的解 。其中变量代换法是求解常微分方程行之有效的方法,我们如果能通过适当的变量代换法将复杂的微分方程化为可解类型,这样能使求解问题大为简化,进而求出通解。本文就变量代换法在常微分方程课程中的应用展开探讨,给出各种类型常微分方程恰当的变量代换求其通解或者特解。关键词
2、：常微分方程、变量代换法、通解、特解目 录一、 变量代换法求解一阶微分方程3二、 变量代换法求解二阶微分方程6三、 变量代换法求解三阶微分方程7四、 变量代换法求解n阶微分方程7五、 变量代换法求解Euler阶微分方程9六、 变量代换法在研究解或轨线性态中的应用.10七、 函数变换法求解常微分方程11八、 三角变换法求解常微分方程13九、 拉普拉斯变换求解常微分方程 141变量代换法求解一阶微分方程1）对于齐次微分方程 ，这里 是的连续函数，做变量代换，使方程化为变量分离方程，可求解。2)对于准齐次微分方程，这里，均为常数。当（常数）时，方程直接化为，有通解：当时，做变量代换，将方程化为变量分
3、离方程由上式可求解。当时，做变换，其中为直线和直线在平面的交点，将方程转化为齐次方程由上式可求解。3）对于更一般的类型，这里，均为常数当（常数）时，方程直接转化为，有通解；当时，做变量代换，将方程化为变量分离方程由上式可求解。当时，作变换，其中（）为直线和直线在平面的交点，将方程化为齐次方程由上式即可求解。4）对于方程，这里a，b，c均为常数，作变量代换，将方程化为变量分离方程由上式可求解。5）对于方程，这里m，n，均为常数，作变量变换，将方程化为变量分离方程由上式即可求解。6）对于方程，这里为常数，作变量变换，是方程化为变量分离方程由上式即可求解。7）对于方程，其中M,N为关于x，y的其次函
4、数，做变量变换，化为变量分离方程由上式即可求解。8）对于Bernoulli方程，这里P(x)，Q(x)为连续函数，为常数。当时用乘以原方程两边得作变量代换使方程化为线性微分方程，可求解。9）对于Riccati方程，当R(x)恒为零时，Riccati方程就是Bernoulli方程，可采用8）中的变换求解；当R(x)不为零时，若y（x）为Riccati方程的一特解，作变量代换，使方程化为一个关于z的Bernoulli方程由上式即可求解。10）对于一阶非齐次线性微分方程，若Q(x)=0，则方程变为一阶齐次线性微分方程，有通解；若对原方程作变量变换，求得待定函数，代会变换，即得方程的通解。2 变量代换
5、法求解二阶微分方程 1)对于二阶变系数齐次微分方程 （1）设是方程（1）的一特解，变量变换，将方程化为一阶线性微分方程，可求解。2)对于二阶变系数线性非齐次微分方程 （2）当方程（2）满足（ 为常数）时，作自变量代换（ 为常数） （3）则方程（3）可化为 （4）方程（4）两边乘除以，得 （5）由于所以，又 为常数，由此可知，方程（2）可化为二阶常系数线性微分方程 。3 变量代换发求解三阶微分方程1） 考虑三阶变系数齐次微分方程 （6）当 和时，可作变换 ，则方程（6）可化为 （7）将和代入（7）得到常系数齐次微分方程 2） 考虑三阶变系数线性非齐次微分方程 （8）其中 ， 都是 的已知连续函数
6、，且二次可微，为常数。作自变量变换，则方程可化为 （9）方程（9）两边同时除以得到三阶常系数线性微分方程4 变量代换发求解n阶微分方程1） 考虑n阶非齐次线性微分方程 （10）设方程（10）对应的n阶齐次微分方程 （11）通解为 （12）作变量变换，令 （13）为（10）的通解。求出特定函数 ，代入（13），即得（10）的通解。2）考虑常系数非齐次线性微分方程 （14）这里 是常数， 。作变量变换，令，则方程可化为 （15）其中都是常数。对于方程(15)可采用比较系数法求得一特解故(14)有特解, 其中k 为特征方程F()=0 的根的重数。3)对于n 阶微分方程 (t,x,)=0 , 当方程不
7、显含未知函数x , 或更一般地, 设方程不含x, , 即方程: (1 k n) (16)作变量变换, 令y = , 可将方程降为关于y 的 n-k 阶方程4)对于 n 阶微分方程 ,当方程不显含自变量t , 即方程 (17)作变量变换, 令x=y , 采用数学归纳法不难证明, 可用y , , 表示出(k n), 将这些表达式代入方程(17), 可使方程化为关于x , y 的n -1 阶方程5 变量代换法求解 Euler 方程形如 (18)的Euler 方程, 这里,为常数。对于Euler 方程, 我们可以采用变量代换法从两个不同角度来考虑得以求解。角度一:引进自变量的变换 , 则, 通过直接计
8、算及数学归纳法不难证明:对于一切自然数k 均有关系式 其中都是常数。于是有 (19)将(19)代入方程(18), 就得到n 阶常系数齐次线性微分方程 (20)其中都是常数。此方程可采用特征根法求得通解, 再代回原来的变量就可得欧拉方程(18)的通解。角度二:由于n 阶常系数齐次线性微分方程(20)有形如的解, 结合角度一中的推演过程, 从而方程(18)有形如的解, 因此可直接求欧拉方程形如的解, 作变量变换 , 代入方程(20), 并约去因子, 即可得到确定k 的代数方程, 也是方(20)的特征方程 (21)因此, 方程(21)的m 重实根, 对应于方程(18)的m 个解而方程(21)的m 重
9、复根 ，对应于方程(18)的2m 个实值解:6 变量代换法在研究解或轨线性态中的应用1)考虑非线性常微分方程组解的性态, 我们通常将其与具有某些特殊性质的特解联系在一起考虑。为研究方程组的特解y =(t)邻近的解的性态, 作变量变换 使方程组化为， 从而使问题转化为讨论方程组零解邻近的解的性态。2)考虑全相平面上的轨线性态时, 常用极坐标变换引入周期解与极限环来刻划全相平面上的轨线性态, 如研究平面一阶非线性驻定方程组的全相平面的轨线状态，做极坐标变换从而使方程组化为经分析可知是稳定的极限环。7 函数变换法求解常微分方程1）考虑函数变换法求解伯努利方程设 （23）这里是常数。，是的连续函数。假
10、设方程（23）有形如的解，则有 （24）将上式代入方程（23），整理可得 （25）若令，则 （26）用变量分离法可以求得若选取，则。将代入（26），求得于是，方程（23）的解为特别的，当时，得一阶线性非齐次方程的解为这与常数变易法求得的通解相一致。2）考虑函数变换法求解Riccati方程的特解。设 （27）其中、是其中某个区间内的一阶可微函数，且。设方程（27）有形如 （28）的解，则方程（27）可化为 （29）令求得及令，则上式化为此方程可通过公式法或者观察法求解，则Riccati方程的特解可表示出来。8 三角变换法求解常微分方程在求积分时，当被积函数有形如，等形式时，可通过三角变换法求解。
11、在常微分方程中，遇到此类形式的问题时，我们也可以考虑三角变换法。1）对于Chebyshev方程： （30）做三角变换，并求得，代入原方程，整理得，由上式可解得所以Chebyshev方程的解为2)对于三阶变系数微分方程 （31）当原方程满足 （32）可作三角变换并求得代入原方程整理得 由（32）可得 从而（31）可简化三阶常系数线性微分方程 9 Laplace变换法求解常微分方程Laplace变换法主要是借助于拉普拉斯变换将常系数微分方程（组）转换成复变数S的代数方程（组），通过一些代数运算，一般在利用拉普拉斯变换表，即可找出微分方程（组）的解。给定微分方程 （33）初始条件 ，其中 是常数，而连续且满足原函数的条件。如果是方程（33）的任意解，及其各阶导数 均是原函数，记 （34）利用原函数微分性质，对方程（33）两端施行Laplace变换，从而有 其中和都是已知多项式，由此 这就是方程（33）的满足所给初始条件的解的像函数，而可直接查Laplace变换表计算求得THANKS !致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习课件等等打造全网一站式需求欢迎您的下载，资料仅供参考
