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1、3.4基本不等式:,2002年国际数学大会（ICM-2002）在北京召开，此届大会纪念封上的会标图案，其中央正是经过艺术处理的“弦图”。 它标志着中国古代的数学成就，又像一只转动着的风车，欢迎来自世界各地的数学家。,一、问题引入,情景设置,新课探究,新课探究,一般地，对于任意实数 ，我们有,当且仅当 时等号成立,思考：如何证明？,证明：,当且仅当 时， 此时,2.代数意义：几何平均数小于等于算术平均数,2.代数证明:,3.几何意义：半弦长小于等于半径,（当且仅当a=b时，等号成立）,二、新课讲解,3.几何证明:,从数列角度看:两个正数的等比中项小于等于它们的等差中项,1.思考:如果当 用 去替
2、换 中的 ,能得到什么结论?,基本不等式,探究3,当且仅当a=b时，取“=”号,能否用不等式的性质进行证明？,小组合作：,在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，设 AC = a , BC = b 。过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD。,基本不等式的几何意义是：“半径不小于半弦。”,E,P98探究,o,a,b,A,B,P,Q,1.如图,AB是圆o的直径，Q是AB上任一点，AQ=a,BQ=b,过点Q作垂直于AB的弦PQ，连AP,BP,则半弦PQ=_ _,半径AO=_,几何意义：圆的半径不小于圆内半弦长,探究4,动态演示,你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?,2.PQ与AO的大小
3、关系怎样?,证明:要证,只要证,( ),要证，只要证,( ),要证，只要证（ ),证明:当 时, .,探究,基本不等式：,当且仅当a =b时，等号成立.,当且仅当a=b时，等号成立.,重要不等式：,注意：（1）不同点：两个不等式的适用范围不同。,（2）相同点：当且仅当a=b时，等号成立。,2.基本不等式（均值定理）,1.两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.,2.两个正数的等差中项不小于它们的等比中项。,此定理又可叙述为：,1.重要不等式,2.基本不等式（均值定理）,注意：基本不等式成立的要素：,（1）：看是否均为正数,（2）：看不等号的方向,（3）：看等号是否能取到,简言之：一正二定三
4、相等,1. 基本不等式：,a=b,基本不等式的变形：,知识要点：,（当且仅当_时取“”号）,（当且仅当a=b时取“”号）,重要变形2,（由小到大）,应用基本不等式求最值的条件：,a与b为正实数,若等号成立，a与b必须能够相等,一正,二定,三相等,积定和最小和定积最大,（ a0，b0）,基本不等式,结论1：两个正数积为定值，则和有最小值,结论2：两个正数和为定值，则积有最大值,例题：,练习：,例3求函数 的最大值，及此时x的值。,解： ，因为x0，,所以,得,因此f(x),当且仅当 ，即 时，式中等号成立。,由于x0，所以 ，式中等号成立，,因此 ，此时 。,错解:,即 的最小值为,过程中两次运用了均值不等式中取“=”号过渡，而这两次取“=”号的条件是不同的，故结果错。,错因：,解:,当且仅当,即:,时取“=”号,即此时,正确解答是:,2、已知则x y 的最大值是 。,1、当x0时， 的最小值为 ，此时x= 。,2,1,3、若实数 ，且 ，则 的最小值是（ ） A、10 B、 C、 D、,D,4、在下列函数中，最小值为2的是（ ） A、 B、C、 D、,C,下面几道题的解答可能有错，如果错了，那么错在哪里？,已知函数 ，求函数的最小值和此时x的取值,运用均值不等式的过程中，忽略了“正数”这个条件,已知函数，求函数的最小值,用均值不等式求最值，必须满足“定值”这个条件,
