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1、第三章复习总结,一、知识讲解,(1)坐标平面内，任意一条直线的方程都是关于x、y的二元一次方程；每一个关于x、y的二元一次方程都表示一条直线特别注意xa也是一条直线，此直线垂直于x轴，直线上任意一点的横坐标都是a,1.直线方程,2斜率计算,(1)倾斜角为的直线斜率ktan 0，90)(90，180)，倾斜角为锐角时，k0；直线平行于x轴或与x轴重合(即垂直于y轴)时，0，k0；倾斜角为钝角时，k0，90时，k不存在,3两条直线的平行与垂直,(1)两条直线垂直的条件,注意：两条直线互相垂直，一条斜率为0，则另一条斜率不存在,注意：两条不重合直线斜率都不存在，则它们平行,(2)两条直线平行的条件,
2、求直线方程时，要善于根据条件，合理选用直线方程的形式，用待定系数法求解其基本步骤是：设所求直线方程的某种形式由条件建立所求参数的方程(组)解方程(组)求出参数将参数的值代入所设方程,4.直线的方程,5直线方程的设法,(1)过定点P(x0，y0)的直线方程可设为yy0k(xx0)，莫忘检验xx0是否满足题设条件(2)已知斜率为k的直线方程可设为ykxb.(3)已知倾斜角为(90)的直线方程可设为y(tan)xb.(4)与直线AxByC0平行的直线方程可设为AxByC10.(5)与直线AxByC0垂直的直线方程可设为BxAyC10.,(6)与直线ykxb平行的直线方程可设为ykxb1.(8)过两直
3、线l1：A1xB1yC10与l2：A2xB2yC20的交点(A1B2A2B10)的直线方程可设为(A1xB1yC1)(A2yB2yC2)0.,8对称问题,(1)点P(x，y)关于点Q(a，b)的对称点为(2ax,2by)曲线F(x，y)0关于点(a，b)的对称曲线方程为F(2ax,2by)0.(2)点P(x，y)关于直线xm的对称点为(2mx，y)曲线F(x，y)0关于xm的对称曲线为F(2mx，y)0.(3)点P(x，y)关于直线yn的对称点为(x,2ny)曲线F(x，y)0关于直线yn的对称曲线F(x,2ny)0.,特别地，当|A|B|1时，可直接由对称轴方程解出对称点坐标(5)反射即对称
4、，入射光线与反射光线关于法线对称，关于镜面直线对称,*9.直线系过定点问题,含有一个待定系数(参数)的二元一次方程过定点问题的解法：(1)特殊值法，利用不论参数取何值，方程都有解，给方程中的参数取两个特殊值，可得关于x、y的两个方程，从中解出的x、y的值即为所求定点的坐标(2)分离参数法：经过将方程整理为m(A1xB1yC1)A2xB2yC20，则该方程表示的直线一定过直线A1xB1yC10和A2xB2yC20的交点，而交点就是定点将含有参数的直线方程写成点斜式yy0m(xx0)，则直线必过定点(x0，y0),10直线在坐标轴上的截距,直线的斜截式方程和截距式方程中提到的“截距”不是“距离”，
5、“截距”可取一切实数，而“距离”是一个非负数如直线y3x6在y轴上的截距是6，在x轴上的截距是2.在直线方程中，令x0得纵截距b，令y0得横截距a，则,在题设条件中，涉及直线在两轴上“截距相等”“截距绝对值相等”、“截距互为相反数”、“截距相差m”与“两轴围成三角形周长(或面积)”等时，常用截距式，要特别注意0截距的情形,二、典型例题,一、倾斜角与斜率问题,例1已知直线l1的倾斜角为115，直线l1与l2的交点为A，把直线l2绕着点A按逆时针方向旋转到与直线l1重合时所转的最小正角为60，求直线l2的斜率k2.,分析由三角形中内角与外角的关系求解解析设直线l2的倾斜角为2，如右下图可知1802
6、1560，2135k21.,点评作为选择题上述解答过程显然很繁，能否找到简捷解法？多反思一下，会有助于能力的提高(一)从选项上看，A、B项都含k0，C、D项都不含k0，令k0，直线y1显然满足题设要求，故排除C、D.,二、直线方程的五种形式,例3已知在第一象限的ABC中，A(1,1)、B(5,1)，A60，B45，求(1)AB边的方程；(2)AC和BC边所在直线的方程,分析当直线与x轴平行或垂直时，不能用两点式求直线的方程由于AB边是一条线段，要注意变量的取值范围,解析(1)如右下图所示，AB边的方程为y1(1x5),例4已知两直线a1xb1y10和a2xb2y10的交点为P(2,3)，求过两
7、点A(a1，b1)、B(a2，b2)的直线方程,分析利用点斜式或直线与方程的概念进行解答解析解法1：P(2,3)是两条直线的交点，,2x3y(3b12a1)0.又2a13b11，2x3y10.故过A(a1，b1)、B(a2，b2)两点的直线方程为2x3y10.解法2：点P是已知两直线的交点，可见A(a1，b1)、B(a2，b2)都满足方程2x3y10.故过A、B两点的直线方程为2x3y10.,结评述：解法2充分体现了“点在直线上，则点的坐标满足直线的方程；反之，若点的坐标满足直线的方程，则直线一定经过该点”解题活动中，多思少算，能有效地训练思维能力,三、直线的平行与垂直,例5已知两直线l1：(
8、m3)x4y53m，l2：2x(m5)y8，问当m为何值时，(1)l1l2；(2)l1与l2重合；(3)l1与l2相交；(4)l1与l2垂直,当m7时，l1l2；当m1时，l1与l2重合；当mR且m1，m7时，l1与l2相交；,四、距离问题,例6已知正方形的中心为直线xy10和2xy20的交点，正方形一边所在直线方程为x3y20，求其它三边所在直线的方程,分析充分利用正方形中心的性质：到各边距离相等中心坐标为(1,0)设正方形相邻两边方程为：x3ym0和3xyn0.,m4或m2和n6或n0.其他三边所在直线的方程为：x3y40,3xy0,3xy60.,五、分类讨论的思想,例7过点P(1,0)、Q(0,2)分别作两条互相平行的直线，使它们在x轴上截距之差的绝对值为1，求这两条直线方程,解析(1)当两条直线的斜率不存在时，两条直线的方程分别为x1，x0，它们在x轴上截距之差的绝对值为1，适合题意；,直线的方程为yx1，yx2，即为xy10，xy20.综合(1)、(2)可知，适合题意的直线方程为x1，x0，或xy10，xy20.,六、待定系数法,分析将a、b视为变量x、y，则有方程xy1和距离的平方(x2)2(y2)2，于是可考虑其几何意义证明a0，b0且ab1，点P(a，b)满足直线方程xy10.又定点M(2，2)到直线xy10的距离为,
