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1、不等式及其基本性质,在古代,我们的祖先就懂得了翘翘板的工作原理,并且根据这一原理设计出了一些简单机械,并把它们用到了生活实践当中,由此可见,“不相等”处处可见。从今天起,我们开始学习一类新的数学知识:不等式,不相等处处可见,问题1:雷电的温度大约是28000,比太阳表面温度的4.5倍还要高。设太阳表面温度为t,那么t应该满足怎样的关系式?,问题2:一种药品每片为0.25g,说明书上写着:“每日用量0.752.25g,分3次服用”。设某人一次服用 片,那么 应满足怎样的关系?,问题3:用适当的符号表示下列关系:(1)与3的和不大于-6;(2)的5倍与1的差小于 的3倍;(3)a与b的差是负数。,
2、4t28000,0.750.75x2.25,2x+36,a-b0,5x-13x,不等式的定义,用不等号(、或)表示不等关系的式子叫做不等式,注:不大于,即小于或等于,用“”表示;不小于,即大于或等于,用“”表示。,判断下列式子是不是不等式:,(1)-30(3)x=3;(4)X2+xy+y2(5)x5;(6)X+2y+5;,思考一下,等式具有那些性质?不等式是否具有这些的性质?,由a+2=b+2,你能得到a=b吗?,由0.5a=0.5b,你能得到a=b吗?,由-2a=-2b,你能得到a=b吗?,由a-2=b-2,你能得到a=b吗?,由a=b,你能得到b=a吗?,由a=b,b=c,你能得到a=c吗
3、?,等式基本性质1:等式的两边都加上(或减去)同一个整式,等式仍旧成立,等式基本性质2:等式的两边都乘以(或除以)同一个不为0的数,等式仍旧成立,如果a=b,那么ac=bc,如果a=b,那么ac=bc或(c0),,等式基本性质3(对称性),如果ab,那么ba。,等式基本性质4(传递性),如果a=b,b=c那么a=c,不等式是否具有类似的性质呢?,如果 7 3,那么 7+5 _ 3+5,7-5_3-5,你能总结一下规律吗?,如果-1 3,那么-1+2_3+2,-1-4_3-4,+C,C,(或_),如果_,那么_,如果ab,那么acbc,ba,b+ca+c,b-ca-c,不等式基本性质1:不等式的
4、两边都加上(或减去)同一个整式,,如果_,那么_.,不等号的方向不变。,ab,acbc,_,75 _ 3 5,7(-5)_3(-5),不等式还有什么类似的性质呢?,已知 7 3,那么 75 _ 3 5,7(-5)_3(-5),你能再总结一下规律吗?,已知-1 3,那么-12_32,-1(-4)_3(-4),-12_32,-1(-4)_3(-4),3,3,(或),如果_,那么_,ab且c0,acbc,不等式基本性质2:不等式的两边都乘以(或除以)同一个_,不等号的方向_。,不等式基本性质3:不等式的两边都乘以(或除以)同一个_,不等号的方向_。,如果_,那么_,不变,正数,ab,c0,acbc(
5、或),负数,改变,如果_,那么_,ab,c0,acbc(或),思考:不等式具有对称性和传递性吗?,已知x5,那么5x吗?,由8x,xy,可以得到8y吗?,不等式的对称性:,如果ab,那么ba,不等式的同向传递性:,如果ab,bc,那么ac,今天学的是不等式的五个基本性质:,不等式的基本性质1:如果a b,那么acbc.就是说,不等式两边都加上(或减去)同一个数(或同一整式),不等号方向不变。,不等式基本性质2:如果a b,c 0,那么 acbc(或)就是说不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变。,不等式的对称性:如果ab,那么ba,不等式传递性:如果ab,bc,那么ac,不等
6、式基本性质3:如果ab,c0 那么acbc(或)就是说不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变。,例1:设ab,用“”或“”填空并口答是根据哪一条不等式基本性质。,(1)a-3_b-3;(2)a3_b3(3)0.1a_0.1b;(4)-4a_-4b(5)2a+3_2b+3;(6)(m2+1)a _(m2+1)b(m为常数),例2:判断下列各题的推导是否正确?为什么(学生口答)(1)因为7.55.7,所以-7.5-5.7;(2)因为a+84,所以a-4;(3)因为4a4b,所以ab;(4)因为-1-2,所以-a-1-a-2;(5)因为32,所以3a2a答:,(1)正确,根据不等式
7、基本性质3,(2)正确,根据不等式基本性质1,(3)正确,根据不等式基本性质2,(4)正确,根据不等式基本性质1,(5)不对,应分情况逐一讨论当a0时,3a2a(不等式基本性质2)当 a=0时,3a=2a当a0时,3a2a(不等式基本性质3),针对练习,(1)如果x-54,那么两边都 可得到x9(2)如果在-7-2的两边都加上a+2可得到(4)如果在-3-4的两边都乘以7可得到(5)如果在80的两边都乘以8可得到(6)如果在 的两边都乘以14可得到,加上5,2 17,a+7 a,-21-28,64 0,2x28+7x,1、若mn,判断下列不等式是否正确:(1)m-7-5n()(4)()(5)m
8、+5n+5(),填空:,(1)2a 3a,a是_数,(3)ax 1,a是_数,(2),a是_数,正,正,负,思考题,1、已知 a-1,则下列不等式中错误的是(),A、4a 3,2、已知x-3y+2,3、已知ab,若a0,则a2 ab.,4、下列各式分别在什么条件下成立?(1)a-a(2)a2 a,B,不等式的基本性质1:如果a b,那么acbc.就是说,不等式两边都加上(或减去)同一个数(或式子),不等号方向不变。,不等式基本性质2:如果a b,c 0,那么 acbc(或)就是说不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变。,不等式的对称性:如果ab,那么ba,不等式传递性:如果ab,bc,那么ac,不等式基本性质3:如果ab,c0 那么acbc(或)就是说不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变。,小结:在利用不等式的基本性质进行变形时,当不等式的两边都乘以(或除以)同一个字母,字母代表什么数是问题的关键,这决定了是用不等式基本性质2还是基本性质3,也就是不等号是否要改变方向的问题;运用不等式基本性质3时,要变两个号,一个性质符号,另一个是不等号,