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1、第七章 空间解析几何与向量代数习题课,一、向量的基本概念,1向量的坐标:,2向量的模:,方向余弦为:,设起点 和终点,则,3方向角：向量 与三个坐标轴正向的夹角,向量代数,4单位向量：,5向量的投影：,二、向量的运算,1线性运算,（1）,（2）,2数量积,（1）定义：,（2）坐标表示：,分配律：,结合律：,（4）向量的夹角：,（5）性质：,2向量积,（1）定义：,（3）运算律：,交换律：,方向：垂直 与 确定的平面，且符合右手规则。,结合律：,（4）性质：,分配律：,反交换律：,（3）运算律：,（2）坐标表示：,一、平面与直线的方程,1平面方程:,（1）点法式方程：,（2）一般方程：,2点到平
2、面的距离：,平面与直线、空间曲面与曲线,3直线方程：,（1）一般方程：,（2）对称式方程：,（3）参数方程：,则它们的夹角为：,（2）两平面相交（夹角）,设 与 平面的法向量分别为 与,4线、面之间的位置关系：,（1）两直线相交（夹角）,设 与 的方向向量分别为 与,（3）直线与平面相交（夹角）,设直线 的方向向量为,则,（4）线、面之间的平行与垂直,设直线 与 的方向向量分别为，,平面 与 的法向量分别为,二、空间曲面,1一般方程：,2旋转面：曲线,三、空间曲线,1一般方程,2参数方程,3空间曲线在坐标面上的投影曲线：,向量代数典型例题,解：,方向余弦为,方向角为,分析：向量相等的定义是向量
3、坐标对应相等。,解：由已知条件得,易得,即当 时两向量相等。,方向余弦为。,模为,此时向量为,【例3】已知 都是单位向量，且满足，求.,解：,于是,解法1：,所以,解法2：因三向量两两垂直，故可在直角坐标系中设,则,于是,解：依题意有,即,解得，,与 同向的单位向量为,则,分析：应用向量积构造与两个向量都垂直的向量；,利用向量积模的几何意义得平行四边形的面积。,解：,与 同时垂直的单位向量为：,平行四边形面积,分析：先设出向量，再用两个条件确定其系数。,解：由已知条件,可设,由已知条件有，,则,于是,则,分析：先求出 轴上的单位向量，再利用向量投影公式。,解：设 轴的方向余弦分别为，,由已知条
4、件,及,即 轴上的正向单位向量为，,于是,得,所以,（1）为何值时，,分析：（1）用向量垂直的充分必要条件；,（2）用向量积的模的几何意义。,解：（1）当 时,即，,亦即，时,故当，时。,（2）平行四边形面积,则，于是 或,直线与平面典型例题,【例1】求平行于 轴且经过两点 的平面方程。,解法1:由已知点，确定向量,轴上的单位向量，可确定所求平面的法向量,平面过点，则所求平面的点法式方程为,即,解法2：平面平行于 轴，则平面方程中不含变量,于是,可设平面方程为,点 在平面上，满足平面方程，即有,，得,则平面方程为,即,分析：已知平面过两点，可采用平面的点法式，用已知两点确,定的向量与已知平面法
5、向量的向量积可求出平面的法向量。,，平面 过向量，所以，。,已知平面 的法向量为，,因为，所以，可取,则所求平面的点法式方程为,即,解：设所求平面 的法向量为，已知平面 过点,【例3】过点 且在三坐标轴上截距相等的平面方程。,分析：最简单的方法是利用平面的截距式方程，再用已知,的点确定三个相等的截距。,解：设所求平面的截距式方程为，,将已知点的坐标代入方程确定参数，有,所求平面的截距式方程为。,或写为一般式方程。,解得,分析：所求平面与已知平面平行，法向量相同，可先设出,平面方程的一般式，再由条件定系数。,解：所求平面与已知平面平行，两者的法向量相同，故可,设所求平面的方程为,已知平面上有点，
6、该点到所求平面的的距离为3，即,可解得 或,代入所设平面方程得所求平面的方程为,或,分析：直线过已知一点，由直线的对称式，只需求直线的,方向向量，直线的方向向量分别与两已知平面的法向量垂直，,可用向量积求出直线的方向向量。,可取,直线过点，则所求直线方程为,则，。,解之得。,分析：直线在平面上，则直线上的点都在平面上、直线,的方向向量与平面的法向量垂直。,求平面的法向量与两者分别垂直，平面的法向量可用向量积求得。,分析：直线上一点及已知点可确定一向量，直线有方向向量；所,解：直线上的点 及已知点 在所求平面上，,两点构成向量，直线方向向量；,所求平面方程为,即,所求平面的法向量，于是可取,分析
7、：所求平面过直线，则过直线上点，由平面的点法式，,关键是求出平面的法向量，有两种方法：,（1）用向量积得出与两直线的方向向量都垂直的向量；,（2）先设出平面的法向量，再由条件定系数。,于是所求平面方程为,即,已知二直线 的方向向量为、，,因为,平面 过，所以，又因为，所以，则有,解得,取 则。,平面方程为：,即,分析：关键是求出直线 的方向向量，可用向量积求得。,从而直线 与直线 的夹角 的余弦为,因此,从而所求直线的方程为,即,分析：要想求出点到直线的距离，需求过该点与已知直线垂直,相交的直线和已知直线的交点（即垂线足，或称为投影），,得出交点即可求出。,即,解：已知直线 的方向向量为,化为
8、参数方程为，将已知直线的参数方程代入,平面 方程,得，则,故有交点，,因此所求的距离为,注：求点到直线距离、过一点作与已知直线垂直相交的直线、点在,直线上的投影等几种问题均为同一种类型题，解题过程基本相同。,分析：所求平面过 点，由点法式方程，只需求出平面的,所求平面上，又交线上的一点 与已知点 所,向量。也可现设出所求平面的法向量，再由条件定其坐标。,又可利用过交线的平面束。,解法1：设两个平面的交线为，方向向量为，已知两平面,的法向量为，因为,点 满足两已知平面方程，故该点在两平面交线 上，,则所求平面的方程为,即,可取,解法2：同解法1交线 的方向向量为，,设求平面的法向量为，则，,于是
9、有,，得,取，则,则所求平面的方程为,即,解法3：过交线 的平面束的方程是,即,可得,于是求平面的方程为,即,分析：应考虑过已知直线的平面束中有一个平面与已知平面垂直，平面束中该平面是直线的投影柱面。,解：过已知直线的平面束方程为,即,其法向量,平面束中有一个平面与已知平面垂直，,则两者的数量积为零，即,解得,则法向量为.,于是平面束中以此为法向量的平面方程为,即是直线的投影柱面。,则已知直线在已知平面上的投影为,解：过交线的平面束方程为,即,其法向量为,即,可得 于是所求平面两个:,（1）时,有,即为已知平面。,（2）时,有.,分析：本题的切平面的法向量已与已知平面的法向量平行；问题是要求出切点。可由曲面方程求切平面的法向量，再利用平行条件。,解:令,曲面上任意 处切平面的法向量是,已知平面的法向量为,曲面的切平面平行与已知平面，则有两法向量平行：,即,解之得 代入曲面方程得,故点 的坐标为,
