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1、1,主要内容,第十三讲 方阵的对角化,相似矩阵的概念和性质；,方阵与对角阵相似的条件；,对称阵的特征值与特征向量的性质，利用正交 矩阵将对称阵化为对角阵的方法.,基本要求,了解相似矩阵的概念和性质，了解方阵可相似 对角化的充要条件.,了解对称阵的特征值与特征向量的性质，掌握 利用正交阵将对称阵化为对角阵的方法.,2,一、相似矩阵的概念,第三节 相似矩阵,1.概念的引入,已知矩阵,求.,我们可以找到一个可逆矩阵，,相似矩阵,使,3,2.相似矩阵的概念,定义 设 都是阶矩阵，若有可逆矩阵，使,则称 是 的相似矩阵，,或称矩阵 与 相似.,对 进行运算 称为对 进行相似变换，,可逆矩阵 称为把 变成
2、 的相似变换矩阵.,4,说明,能对角化最突出的作用表现在 的多项式 的计算上.,若存在可逆矩阵，使,(为对角阵),则有,这表明 的多项式可通过同一多项式的数值计算而得到.,当 能对角化时，可以容易证明下面结论：,设 是 的特征多项式，则.,5,二、相似矩阵的性质,定理3,若 是 的相似矩阵，则 也是 的相似矩阵.,若 与 相似，则它们的行列式相等：.,若 与 相似，则 与 也相似.,若 阶矩阵 与 相似，则 与 的特 征多项式相同，从而 与 的特征值也相同.,相似，,若 阶矩阵 与对角阵,则 即是 的 个特征值.,证明,证明,6,说明,推论表明，若，则 的对 角元必定是 的全部特征值.,于是在
3、不计较 的对角元次序的意义下，由 惟一确定.,问题：,可逆矩阵 是不是也由 确定？,能不能用特征值和特征向量来刻画矩阵 能 对角化的“特性”？,定理3的逆命题不成立的.若矩阵 和 的特征值 相同，它们可能相似，也可能不相似.,例如,7,三、方阵可对角化的充要条件,1.方阵对角化的概念,寻找相似变换矩阵，使,这就称为把方阵 对角化.,说明,如果能找到可逆矩阵，使，则 可对角化；,如果找不到这样可逆矩阵，则 不可对角化.,8,2.定理的引入,设有可逆矩阵，使 为对角阵.,下面回答 能否由 确定.,9,因而 由 和 确定，,也就是由 确定.,由于特征向量不是惟一的，所以矩阵 也不是惟一确定的.,10
4、,反过来，,是依次与之对应的特征向量，则,设矩阵 的 个特征值为，,当 可逆，即 线性无关时，有,这表明方阵 能否对角化完全可用 的特征值和特征向量来刻画.,11,3.方阵可对角化的充要条件,定理4 阶矩阵 与对角阵相似(即 能对角化),的充要条件是 有 个线性无关的特征向量.,推论,若 阶矩阵 的 个特征值互不相等，则 与对角阵相似.,说明,当 的特征方程有重根时，不一定有 个线性无关的特征向量，从而不一定能对角化；,但是，有重根时，也有可能能对角化.所以,特征值互不相等只是 与对角阵相似的充分条件.,12,例1 设,问 为何值时，矩阵能对角化？,解 析：此例是定理4的应用.,定理4表明：,
5、阶矩阵 可对角化,有 个线性无关特征向量.,由此可推得另一个充要条件：,=对应于 的线性无关特征向量的个数,13,所以的特征值为 1(二重)，.,对应于单根，可求得线性无关的特征向量1个；,对应于二重特征值 1，若 能对角化，则,14,要使，则,即,说明,解答此题的关键是将 取值条件“可对角化”转化为“二重特征值 1 应满足”，从而求得.,矩阵 能否对角化，取决于它的线性无关特征向量的个数，而与 的秩，的行列式都无关.,15,例2 设,若能，找出一个相似变换矩阵 将 化为对角阵.,试问 能否对角化？,解 析：这是前面提到的一个例题.现在再讲，目的是为了熟悉找相似变换矩阵的方法.,先求 的特征值
6、，,所以 的特征值为,再求特征向量，,16,当 时，对应的特征向量满足,解之，得基础解系,所以对应于 的线性无关的特征向量可取为,解之，得基础解系,当 时，对应的特征向量满足,所以对应于 的线性无关的特征向量可取为,17,由以上可知，有两个线性无关特征向量，,令,则 就是所求相似变换矩阵，且有,说明,求相似变换矩阵的步骤：,求特征值；,求特征向量；,若线性无关的特征向量的个数等于矩阵的阶数，则相似变换矩阵存在(否则不存在)，由线性无关的特征向量构成的矩阵就是所求.,所以 可以对角化.,18,四、小结,对于 阶矩阵 和，若有可逆矩阵，使,则称 与 相似.,阶矩阵 与 相似，则 和 的特征值相同，
7、反之不然.,阶矩阵 与对角阵相似的充要条件是 有 个 线性无关的特征向量.,19,一、实对称阵的性质,第四节 实对称阵的对角化,定理5 实对称阵的特征值为实数.,定理6,设 是对称阵 的两个特征值，是,若，则 与 正交.,对应的特征向量，,证明,证明,证明,定理7,设 为 阶实对称阵，则必有正交阵，使,其中 是以 的 个特征值为对角元的对角阵.,推论,设 为 阶对称阵，是 的特征方程的 重根，,则矩阵 的秩，,从而对应特征值 恰有 个线性无关的特征向量.,20,说明,定理5表明，实对称阵的特征向量可取实向量.,这是因为，,当特征值 为实数时，齐次方程,的系数矩阵是实矩阵，必有实的基础解系.,定
8、理6表明，实对称阵的特征向量可取为两两正 交的向量.,这是因为，,对 的每一个不同的特征值，对应于 的特征向量可取为两两正交向量，,到的线性无关的特征向量就是两两正交的.,定理7表明，实对称阵一定可以对角化，而且是 正交相似对角化.,这样所得,21,二、实对称阵的对角化,理论依据：,定理7和其推论,实对称阵 正交相似对角化的步骤：,求出 的全部互不相等的特征值,它们的重数依次为,对于实对称阵，一定在正交阵，使,对于对称阵，重特征值对应的线性无关特征向量恰好有 个.,22,对应于 重特征值，求方程,(由推论),再把它们正交化、单位化，得 个两两正交的单位特征向量.,可得 个两两正交的单位特征向量
9、.,(由定理6),用这 个两两正交的单位特征向量构成正交阵，便有.,注意 中对角元的排列次序应与 中列向量的排列次序相对应.,的基础解系，得 个线性无关的特征向量.,故总共,23,例3 设,求一个正交阵，使 为对角阵.,解 析：对称阵正交相似对角化的原理和步骤是本章的中心问题.此例是这一问题的示范，目的是熟,悉对称阵正交相似对角化的步骤，并明了每个步骤的必要性和依据.,求特征值，,24,求得 的特征值为,由,25,求两两正交的单位特征向量，,对应于，,解方程，,由,得基础解系,从而得单位特征向量,解方程，,对应于，,26,由,得基础解系,将 正交化，,取,从而得两两正交的单位向量为,27,写出
10、正交阵和对角阵，,令,就是所求正交阵，且有,28,注意：,若令 则,若令 则,29,例4 设，求,解 析：此例的目的是掌握利用矩阵对角化理论计算方阵的幂及多项式.,求 的特征值，,由,得 的特征值为,求特征向量，,对应,解方程，,30,由,得,对应,解方程，,由,得,写出相似变换矩阵，将 化为对角阵,令,则,且,即,31,根据 的相似对角阵，求,32,此例体现了方阵对角化的作用，如前面所述.,将此例与第二章中的有关的例题相比较，后者给出关系式、矩阵 和，也就是给出条件 可对角化；的相似对加阵；相似变换矩阵.,前者则更具有理论性和实践性:已知，通过计算 和，求.,因此尽管两者都是求 的幂，形象地
11、说后者是矩阵乘法的练习，前者是理论指导下的实践.,说明,33,三、小结,对于实对称阵，一定在正交阵，使,将对称阵正交相似对角化的步骤：,求特征值；,求两两正交的单位特征向量；,写出正交矩阵和对角阵.,34,思 考 题,1.设 是 阶矩阵 的 重特征值，对应线性无关 的特征向量恰有 个，证明.,2.如果 是矩阵 的两个不同的特征值，是对应于特征值 的线性无关的特 征向量，是对应于特征值 的线性 无关的特征向量，那么，也线性无关.,3.设 是 阶矩阵，是 的 个特征向量，求.,4.若，则 可对角化；若，且，则 不可对角化.,思考题,35,思考题解答,1.证 设这 个线性无关的特征向量为，因它们是齐
12、次方程 的基础解系，故,选取 使 这 个向量线性无关(可选矩阵 的列向量组的最大无关组)，并把它们构成可逆矩阵.因，故,36,思考题解答,则 与 相似，且 的特征多项式为,可见 的特征值 的重数.,而 的特征值与 的特征值一一对应，,因此 的特征值 的重数.,因而 的特征值 0 的重数.,37,思考题解答,2.证,设有,使,两边左乘，得,又,所以,因为 线性无关，所以必有,同理必有,于是，线性无关,38,思考题解答,3.解,因为 是 阶矩阵 的特征值，所以存在可逆矩阵，使,所以,39,思考题解答,4.证,设 为 阶矩阵，由，得,先证 的特征值知可能是0或1.,设 是 的一个特征值，由 关系式可
13、知，应有 所以 或1.,再证 有 个线性无关特征向量.,设 则，于是,由 知，对应于0的线性无关的特征向量有 个；,由 知，对应于1的线性无关的特征向量有 个；,所以 共有 个线性无关特征向量，故 可对角化.,40,用反证法.,假设 能对角化，即存在可逆矩阵，使,为对角阵.,所以,而已知，故,与 矛盾！,因此 不能对角化.,思考题解答,41,作业,作业：,P138 13.14.15.16.(2)P139 17.18.22.24.(2),42,例如 设,则有,其中,所以 与 相似.,又设,显然 与 的特征值相同，但是它们不相似.,43,这是因为，如果 与 相似，存在可逆矩阵，使,矛盾！,注意：,
14、当 阶矩阵 都能对角化时，若它们有相同的 特征值，则它们是一定相似的.,若把对角阵 的对角元交换次序变为对角阵，则 与 相似.,与单位阵相似的矩阵一定是单位阵.,Back,44,证,因为 与 相似，所以存在可逆矩阵，使,于是,即,因此 与 相似.,证毕,45,证毕,析：要证 与 的特征值相同，只需证它们的特征多项式相同.即,因为 与 相似，所以 与 相似，则,存在可逆矩阵，使,于是,证,46,证 设 为实对称阵 的特征值，要证 为实数，即证,因为 为 的特征值，所以存在非零向量，使,于是有,实对称阵的性质的证明,实对称阵的特征值为实数.,47,因此,而当 时，,故,即,所以 是实数.,实对称阵的性质的证明,证毕,48,实对称阵的性质的证明,对称阵的对应于不同特征值的特征向量正交.,证 要证 与 正交，即证它们的内积等于0，,亦即.,由定理假设知，,用 左乘两端，得,当 时，,有.,证毕,49,实对称阵的性质的证明,对于实对称阵，对应于特征值 的线性无关特征向量的个数等于 的重数.,证 要证，只需证与 相似的矩阵的秩等于 即可.,由定理7知，对称阵 与 相似，,从而 与 相似.,当 是 的 重特征值时，,从而 的对角元恰有 个等于0，,于是.,而,所以,证毕,这 个特,征值中只有 个等于，,
