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1、第三章,中值定理,应用,研究函数性质及曲线性态,利用导数解决实际问题,罗尔中值定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理,泰勒公式(第三节),微分中值定理,与导数的应用,一、罗尔(Rolle)定理,第一节,二、拉格朗日中值定理,三、柯西(Cauchy)中值定理,中值定理,第三章,费马(fermat)引理,一、罗尔(Rolle)定理,且,存在,证:设,则,费马,证毕,罗尔（Rolle）定理,满足:,(1)在区间 a,b 上连续,(2)在区间(a,b)内可导,(3)f(a)=f(b),使,证:,故在 a,b 上取得最大值,M 和最小值 m.,若 M=m,则,因此,若 M m,则 M 和 m 中至少有一个
2、与端点值不等,不妨设,则至少存在一点,使,注意:,1)定理条件条件不全具备,结论不一定,成立.,则由费马引理得,例如,使,2)定理条件只是充分的.,本定理可推广为,在(a,b)内可导,且,在(a,b)内至少存在一点,证明提示:设,证 F(x)在 a,b 上满足罗尔定理.,例1.证明方程,有且仅有一个小于1 的,正实根.,证:1)存在性.,则,在 0,1 连续,且,由介值定理知存在,使,即方程有小于 1 的正根,2)唯一性.,假设另有,为端点的区间满足罗尔定理条件,至少存在一点,但,矛盾,故假设不真!,设,二、拉格朗日中值定理,(1)在区间 a,b 上连续,满足:,(2)在区间(a,b)内可导,
3、至少存在一点,使,思路:利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数,作辅助函数,显然,在a,b 上连续,在(a,b)内可导,且,证:,问题转化为证,由罗尔定理知至少存在一点,即定理结论成立.,拉氏,证毕,拉格朗日中值定理的有限增量形式:,推论:若函数,在区间 I 上满足,则,在 I 上必为常数.,证:在 I 上任取两点,日中值公式,得,由 的任意性知,在 I 上为常数.,令,则,例2.证明等式,证:设,由推论可知,(常数),令 x=0,得,又,故所证等式在定义域 上成立.,自证:,经验:,欲证,时,只需证在 I 上,例3.证明不等式,证:设,中值定理条件,即,因为,故,因此应有,三、柯西(Ca
4、uchy)中值定理,分析:,及,(1)在闭区间 a,b 上连续,(2)在开区间(a,b)内可导,(3)在开区间(a,b)内,至少存在一点,使,满足:,问题转化为证,柯西,构造辅助函数,证:作辅助函数,且,使,即,由罗尔定理知,至少存在一点,思考:柯西定理的下述证法对吗?,两个 不一定相同,错!,上面两式相比即得结论.,柯西定理的几何意义:,注意:,弦的斜率,切线斜率,例4.设,至少存在一点,使,证:问题转化为证,设,则,在 0,1 上满足柯西中值,定理条件,因此在(0,1)内至少存在一点,使,即,证明,例5.试证至少存在一点,使,证:,法1 用柯西中值定理.,则 f(x),F(x)在 1,e
5、上满足柯西中值定理条件,令,因此,即,分析:,例5.试证至少存在一点,使,法2 令,则 f(x)在 1,e 上满足罗尔中值定理条件,使,因此存在,内容小结,1.微分中值定理的条件、结论及关系,罗尔定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理,2.微分中值定理的应用,(1)证明恒等式,(2)证明不等式,(3)证明有关中值问题的结论,关键:利用逆向思维设辅助函数,费马引理,思考与练习,1.填空题,1)函数,在区间 1,2 上满足拉格朗日定理,条件,则中值,2)设,有,个根,它们分别在区间,上.,方程,2.设,且在,内可导,证明至少存,在一点,使,提示:,由结论可知,只需证,即,验证,在,上满足罗尔定理条件.,设,3.若,可导,试证在其两个零点间一定有,的零点.,提示:设,欲证:,使,只要证,亦即,作辅助函数,验证,在,上满足,罗尔定理条件.,4.思考:在,即,当,时,问是否可由此得出,不能!,因为,是依赖于 x 的一个特殊的函数.,因此由上式得,表示 x 从右侧以任意方式趋于 0.,应用拉格朗日中值定理得,上对函数,作业,P134 7,8,10,第二节,备用题,求证存在,使,1.设,可导，且,在,连续，,证:设辅助函数,因此至少存在,显然,在 上满足罗尔定理条件,即,使得,设,证明对任意,有,证：,2.,不妨设,
