《材料力学》03扭转.ppt

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1、第三章 扭转,材料力学,郑州大学 工程力学系,Torsion,2,概述 1 扭矩及扭矩图2 薄壁圆筒的扭转3 圆杆扭转应力 强度4 圆杆扭转变形 刚度 扭转超静定问题5 密圈螺旋弹簧6 非圆截面杆自由扭转7 薄壁截面自由扭转应力,第三章 扭 转,3,轴：工程中以扭转为主要变形的构件.,受力特点：,扭转角：,变形特点:,切应变：,直角的改变量.,任意两截面绕轴线转动产生的角位移.,外力偶,任意两截面绕轴线相对转动.,如：机器中的传动轴、石油钻机中的钻杆等.,转动面垂直于杆轴线,概述,(Introduction),4,工 程 实 例,电主轴,螺旋钻杆,5,工 程 实 例,传动主轴,扭转,操纵杆,6

2、,扭转,工 程 实 例,汽车传动主轴,轮轴,7,方向盘操纵杆,8,钻机,9,石油钻,旋挖式入岩钻机,10,一.外力偶矩,NP 功率，千瓦（kW）马力（PS）n 转速，转/分（r/min）,传递轴的传递功率、转速与外力偶矩的关系：,1 扭矩(图),扭转,Twisting Moment(Diagrams),11,扭矩矢(右手螺旋法则定)拉为正,二.扭矩及扭矩图,由 求出,1 扭矩T：,(扭矩矢沿外法线方向，背离截面为正,反之为负),转动面垂直于轴线 的内力偶矩,符号规定：,12,2 扭矩图：,扭矩变化规律,表示沿杆轴线各横截面位置-相应截面扭矩 的变化关系图线。,13,例1 已知：一传动轴，n=3

3、00 r/min，主动轮输入 P1=500kW，从动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图,m2 m3 m1 m4,解：计算外力偶矩,扭转,14,求扭矩（按正方向设）,T,4.78,9.56,6.37,（kNm）,BC段为危险截面,6.37,15.9,4.78,4.78,A B C D,15,例,钻机钻杆，绘制扭矩图.设工件阻力矩 m 沿杆长度均匀分布.,解：求阻力矩整体平衡,截面法部分平衡,T 图,16,2 薄壁圆筒受扭,一、薄壁圆筒受扭,实验前：,圆筒壁厚,（r为平均半径）,绘纵向线，,施加一对外力偶,圆周线；,(Torsion for Thin-Wal

4、led Tube),17,扭转,实验后：,(各矩形网格均成同样的 歪斜平行四边形),各圆周线 形状 大小和间距均未改变，,变形前为平面的横截面变形后仍为平面，仅绕轴线作相对转动,平面假设：,各纵向线均倾斜同一 微小角度,仅 绕轴线作相对转动,18,结论：横截面无正应力,仅有切应力,观察分析,方向垂直于半径,大小沿圆周和壁厚不变（沿周向、径向均匀分布）,（左右两微面无距离改变，仅相对错动）,(变形极对称、筒壁很薄),(错动沿圆周切线方向),筒壁表面变形,（转向与截面扭矩一致）,19,薄壁圆筒 大小：,(由合力矩定理),20,二、切应力互等,单元体相互垂直两微面上，切应力必成对出现，且（数值）相等

5、，（方向）相反,上式称为切应力互等定理,单元体上只有切应力而无正应力作用，称为纯剪切应力状态,（都垂直于两微面交线，方向都同指向或背离该交线）,各微面切应力关系,21,三、剪切Hooke定律：,切应力不超过材料剪切 比例极限时（p)，,剪切Hooke定律：,切应力与切应变成正比,22,式中：G 材料的弹性常数，称为剪切弹性模量，不同材料的G 值可通过实验确定.,剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个常数.对各向同性材料可以证明，弹性常数G、E、存在关系,扭转,23,3 圆杆扭转应力强度条件,实验观察：,同样可得平面假设,表面变形全同薄壁圆筒,同样 可得结论:横截面上无正应力,仅

6、有切应力,(Stresses in Circular Bar under Torsion Strength Condition),24,变形几何关系,一、扭转切应力：,取微段，两截面相距dx.,相对扭转角,物理关系,静力学关系,x,25,o,o,1.变形几何关系：,距圆心为 任一点处,扭转角沿长度方向变化率,切应变分布规律:,方向垂直于半径.,与其到圆心的距离 成正比，,26,T,2.物理关系：,代入Hooke定律：,切应力分布规律:,距圆心为 任一点处 与该点到圆心距离 成正比,（Note:任一直径，圆点两侧对称 等距离两点 相等相反、平行 不共线 而形成力偶）,方向垂直于半径.,27,3.

7、静力学关系：,由合力矩定理得:,(剪力微分),(扭矩=,各微剪力对圆形心之矩),代入关系式：,28,横截面上距圆心为 处任一点切应力,仅适用于各向同性、线弹性材料，小变形的 等圆截面直杆,式中：T横截面上扭矩,也适用于空心圆截面杆，只是Ip 值不同,（可仿照实圆杆导出同样公式）,4.公式说明：,Ip极惯性矩，几何量,该点到圆心的距离,29,实心圆截面：,空心圆截面：,30,例,浆叶搅拌器轴 求n截面k点 和轴的,1KNm,3KNm,4KNm,n,k,30,解：求,求,31,T,T,（实心截面）,二、扭转强度计算,应力分布,1.最大切应力：,由截面应力分布可知:,（空心截面）,出现在截面边缘()

8、,32,Wt 抗扭截面系数（模量），,实心圆截面：,空心圆截面：,几何量，单位：mm3 或 m3.,33,强度条件：,(许用切应力),强度计算三问题：,校核强度：,设计截面尺寸：,计算许可载荷：,即:,2.强度计算,34,例2 功率为150kW，转速为15.4转/秒的电动机转子轴如图，许用剪应力=30M Pa,试校核其强度。,T,m,解：求扭矩及扭矩图,计算并校核切应力强度,满足强度要求,D3=135,D2=75,D1=70,A,B,C,m,m,35,主轴牙嵌式离合器,已知：=60MPa,传递最大偶矩为1.5KNm,空心圆轴的内外径之比=0.8。二轴长度相同。,求:实心轴径d1和空心轴内外径；

9、比较二轴重量比,例,T,T,36,解：,=60MPa,T=1.5KNm,=0.8,37,T,t,max,T,（实心截面）,（空心截面）,工程上有时采用空心截面构件：以提高强度,节约材料，重量轻，结构轻便，应用广泛,讨论:如果其它条件相同,空心轴比实心轴重量轻,耗材少.,此现象可用扭转应力分布规律或截面材料分布来说明.,38,车载旋挖钻机,扭转,但其加工工艺难,壁厚过薄则易失稳,且管若开口(有缝)则承载力大为降低.,39,开口/闭口薄壁杆件扭转比较,扭转,40,4 圆杆扭转变形 刚度条件,一.扭转变形,若两截面间 值 变化，则应分段应用上式,任意相距 dx 两截面间相对扭转角,相距 l 两截面间

10、相对扭转角,若两截面间 值 均不变(常数):,l,代数求和（离散变化）或积分（连续变化）,(Deformation of Circular Bar under TorsiowStiffness Cndition),41,阶梯形圆轴,求,例1,解：,T（Nm）,例,（思考：代数和？）,42,例2,解：,T 图前已解出：,(微段 dx 的相对扭转角）,(A-B相对扭转角=无数微段相对扭转角集合）,求A、B 间相对扭转角,钻杆，,（已知 L、G、IP）,设工件阻力矩 m 沿杆长度均匀分布.,（思考:如何求A-C之间相对扭转角?）,43,单位扭转角：,二、刚度条件,GIp反映截面抵抗扭转变形的能力，称

11、为截面抗扭刚度,（许用单位扭转角）,刚度条件,轴类零件除满足强度条件外，还不应有过大的扭转变形，如：,工程中扭转变形可通过单位扭转角控制,车床丝杠、磨、镗床传动轴若扭角过大，则易影响进刀或引起扭振，影响加工精度、光洁度,44,例3 某传动轴设计要求转速n=500 r/min，输入功率P1=368 KW，输出功率分别 P2=147KW,P3=221KW，已知：G=80GPa，=70M Pa，=1/m，试确定：AB 段直径 d1和 BC 段直径 d2？若全轴选同一直径，应为多少？,解：扭矩图,T,x,7.024,4.21,(kNm),7.024,4.21,2.814,主动轮与从动轮如何安排合理？,

12、45,.由刚度条件：,综上：,全轴选同一直径时,.由强度条件：,G=80GPa，=70M Pa，=1/m,(kNm),T,46,T,x,4.21,(kNm),2.814,T,7.024,4.21,(kNm),轴上的绝对值最大的扭矩越小越合理，所以，1轮和2轮应 该换位.,换位后,扭矩图所示,轴此时最大直径为 75mm,47,三、扭转超静定问题,（基本方法步骤同拉压,以例说明）,解：轴力偶平衡,变形几何关系:,力偶-变形关系,（T1=MA）,C,B,Me,48,2.二轴因扭转变形各企图回弹,但受另端(固端)阻抗;,3.二轴间有相互作用力偶(相等相反),即二轴的扭矩,装配后,1.二轴端必在两孔间某

13、一位置相联;,分析思考:,管1与轴2相互套接，端部销钉孔相差角 求两构件装配后所受扭矩,例5,49,力偶平衡,变形几何关系:,装配后,1.二轴端必在两孔间某一位置相联;,力偶-转角关系,2.二轴因扭转变形各企回弹,但受另一端(固端)阻抗;,3 二轴间有相互作用力偶(相等相反),即为二轴的扭矩,解：,50,平衡方程；,几何方程（变形协调方程）；,物理方程,平衡-补充方程联立求解,补充方程：,(由几何方程和物理方程得),扭转超静定问题求解方法步骤：,51,考虑纯剪切状态的一单元体，计算其应变能密度,四、剪切应变能,52,例长为L=2m 的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，若杆 内外径之比=

14、0.8，G=80GPa，许用切应力=30MPa，试设计杆的外径；=2/m，试校核此杆刚度，并求右端面转角。,解：计算杆外径,53,40Nm,x,T,代入数值得：,D 0.0226m。,刚度条件校核刚度,54,40Nm,x,T,右端面转角为：,(弧度),55,例5 长为 L=2m 的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如图，若杆的内外径之比为=0.8，外径 D=0.0226m，G=80GPa，试求固端反力偶。,平衡方程为：,几何方程变形协调方程,A,B,受力图如图示，一次超静定问题,解：,56,综合物理方程与几何方程补充方程：,由平衡方程和补充方程得：,另:此题可由对称性直接求得结果,O,

15、57,常用于缓冲减振（机车底盘压簧、振动机械的缓冲簧、沙发压簧）；,5 圆柱形密圈螺旋弹簧,缓冲减振、制动,圆柱形螺旋弹簧工程应用广泛：,58,机车底盘,又多用于控制机械的返回运动（凸轮机构顶杆弹簧、气阀弹簧、刹车制动系统的复位弹簧）；,另外，还可用于测力（弹簧秤中的拉、压、扭簧）,59,螺旋弹簧其轴线为空间螺线，所以应力、变形精确分析很复杂.固工程计算一般近似处理：,当螺旋角 很小，可近似认为簧丝横截面与簧圈轴线在 同一平面,当簧丝直径d 远小于簧圈平均 直径D 时，可略去簧丝曲率 影响，近似用直杆公式计算,60,一.簧丝横截面应力,（截面周边）,近似值：,61,簧丝强度条件:,其中：,称为

16、弹簧指数,称为曲度系数,（修正公式）,当,可省略：,考虑弹簧曲率及切应力不均匀影响,62,二.簧圈变形(能量法）,（外力功）,（应变能）,（L簧丝全长）,（n 有效圈数）,思考：欲弹簧 形变小？形变大？,（V 簧丝体积）,63,（轴承）,（轴承）,轴AB 两端与 两刚杆（变形不计）刚性连接，两根弹簧刚度皆为C.加载前 轴与两杆都在 水平面内.,例,分析思考:,C点位移是因轴B点转动引起:,轴AB自身扭转变形;,轴AB因弹簧变形刚体转动,求 力F 作用点位移.,64,解：,轴扭转变形：,(弹簧位移),(弹簧杆转角),轴刚体转动,总转角,C点位移,65,例 圆柱形密圈螺旋弹簧的平均直径为：D=12

17、5mm，簧丝直 径为：d=18mm，受拉力 P=500N 的作用，试求最大剪应力的近似值和精确值；若 G=82GPa，欲使弹簧变形等于 6mm，问弹簧至少应有几圈？,解：最大剪应力的近似值：,66,最大剪应力的精确值：,弹簧圈数：,（圈）,67,各截面发生翘曲不保持平面.,非圆截面杆的翘曲情况，随杆端约束情况不同而不同,6 非圆截面杆扭转,非圆截面杆：平面假设不成立.,一、自由和约束扭转,由等直圆杆扭转推出的 应力、变形公式不再适用.,须由 弹性力学 方法 求解,(Noncircular Bar under Torsion),68,（各截面翘曲不受约束）,（截面翘曲受约束）,任意两相邻截面的翘

18、曲程度完全相同,相邻截面翘曲程度不同，不可自由变形,仅 无,既有 又有,69,二、矩形截面杆切应力:,（弹性力学解答）,3.相对扭转角,2.最大切应力,(由切应力互等分析可得),方向与周边相切“剪力流”,角点、中心 0,长边中点,（短边中点 为该边最大）,（与截面高宽比有关的系数 P86）,1.切应力分布图：,周边各点,70,4.,h/b,矩形截面杆扭转系数表,71,例,(2r),(2r),分别求出,，比较两者强度、刚度,j,（薄壁圆筒式）,解：,比：,(2r),72,沿半径各点 转向相同，形成合力偶T 大,沿半径各点 转向相反，形成合力偶T 小,思考：两者极大差异的原因？,分布,73,Thanks!,本章结束,74,2 转动剪切,一、薄壁圆筒受扭,实验前：,圆筒壁厚,（r为平均半径）,绘纵向线，圆周线；,施加一对外力偶,75,扭转超静定问题,例5,2.二轴因扭转变形各企图回弹,但受另端(固端)阻抗;,3.二轴间有相互作用力偶(相等相反),即二轴的扭矩,装配后,1.二轴端必在两孔间某一位置相联;,分析思考:,管1与轴2相互套接，端部销钉孔相差角 求两构件装配后所受扭矩,76,