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1、543正切函数的性质与图象6题型分类一、正切函数的图象二、正切函数的性质1 .定义域：xX+kykezf2 J2 .值域：R3 .周期性：正切函数是周期函数，最小正周期是万4 .奇偶性：正切函数是奇函数，即tan(-X)=-tanx.(、5 .单调性：在开区间一一+k-+kAz内，函数单调递增.22)三、正切函数型y=Atan(8+9)(AO,0O)的性质TT1、定义域：将“5+9”视为一个“整体”.令3X+夕工女乃+万次WZ解得X.2、值域：(-00,+8)3、单调区间：(1)把“3+9”视为一个“整体”；(2)A0(A0)时，函数单调性与y=tanx(xw&乃+,kz)的相同(反)；(3)
2、解不等式，得出X范围.714、周期：T=FT彩饵题秘籍()正切函数的定义域、值域问题(1)求正切函数定义域的方法求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y=tanx有意义，即对与+E,Z.求正切型函数y=Atan3；+e)(A#0,0)的定义域时，要将“重+少视为一个“整体令工+存也+5ArZ,解得4.(2)求正切函数值域的方法对于y=Atan(x+)的值域，可以把3x+看成整体，结合图象，利用单调性求值域.对于与y=tanX相关的二次函数，可以把tanX看成整体，利用配方法求值域题型1:正切函数的定义域、值域问题11. (2023上北京高三IOl中学校
3、考阶段练习)函数f(%)=tan(x-W的定义域为.【答案】+【分析】根据止切函数的定义域求解即可.【详解】由x-w=+E,kwZ,32即XH学+E,kwZ,所以函数力=tan卜-的定义域为卜x-+k,kgZ故答案为:(xx”+E次z.12. (2023全国高一随堂练习)求下列函数的定义域:(2)y=；1+2snxN=Tan+看)+2；(4)y=卜C吟【答案】(1)卜IXWE+：且XHE+,&ez.卜IXW专+2&且X工今+2A,&z(3)(e-,E+)伏Z)(4) R【分析】利用具体函数定义域的求法，结合三角函数的性质即可得解.1 - tan X【详解】(1)因为y=;，所以IanXH1,T
4、TTC所以XHE+,%Z且xh+EwZ,421 - tan %故y=J的定义域为卜xhE+J且x*E+g,AwZ(2)因为y=,所以1+2SinXW0,即SinXH-所以XH-+2k,Zx-+2k,kwZ,66故y=T的定义域为xx-g+2E且+1 +2smxIo6J(3)因为y=-tanx+)+2,-*-x+-+-,Z,得Ex5tanX1-6,即y=l-Qtanx（Tx）的值域为故答案为：16. （2023下陕西汉中高一统考阶段练习）函数/（x）=tan（3x-g）在0,工）上的值域为.【答案】-3,）【分析】根据题意求得3x-gw-g结合正切函数的性质，即可求解.【详解】由Xe,可得3%一
5、白一Sd根据正切函数的性质，可得tan（3X-1）e-3+oo）,即函数“力=tan3x-J在0,篇上的值域为-6词.故答案为：-3,+）.17. （2023上高一课时练习）求函数y=-tan2+4tanx+l,X一：片的值域.【答案】i4【分析】结合复合函数的性质，令tanx=/,函数变化成y=-+4f+l=-（2p+5,ftT,l的二次函数问题，从而求得函数的值域；【详解】因为Xe一H，所以TWtanXWL令tanx=f.则fT,1.y=-r2+4/+1=-(/-2)2+5.当f=-L即X=时，ym=1当f=l,即X=J时，x=4,故所求函数的值域为TM.18. (2023江西校联考模拟预
6、测)函数*)=2：,彳w,g的最大值为.l+2tanx13)【答案】电22【分析】分子分母同时除以tanx,然后使用基本不等式可得.22【详解】解：x,j,lanx(0,6),由题意得八幻二一1一一亚=T，当且仅当(3)+2tanXtanX!=2tan%,即IanX=也(0.6)时取等号，故/W的最大值为立.tanX22故答案为：也2彩饵题淞籍(二)正切函数的图象问题熟练掌握正切函数的图象和性质是解决与正切函数有关的综合问题的关键，需注意的是正切曲线是被相互平行的直线x=+E,2Z隔开的无穷多支形状相同的曲线组成的.题型2:正切函数的图象及应用21. (2023全国高一课堂例题)画出函数y=2
7、tan(gx-：)在xe0,2r上的简图.【答案】答案见解析【分析】根据五点作图法画图即可.【详解】令LX-2=2+E,kC,可得X=包+2E,kwZ,2422又xe0,2兀,所以直线X=与是该函数图象的一条渐近线.当X=O时，y=2tan(-l=-2;当X=时，,=2tan0=0：当X=几时，y=2tun=2：4当X=2兀时，y=2tan=-2.4描点(0,-2),(别，(,2),(2兀,-2),画虚笠式告，根据正切曲线的趋势，画出简图，如图所示.22. (2023下.湖南高二统考学业考试)函数y=tanx在一个周期内的大致图象是()【答案】A【分析】由正切函数的图象与性质判断,【详解】由正
8、切函数的图象与性质可知尸协在(后,乡上单调递增，图象为A,故选：A23. (2023上高一课时练习)函数/(x)=xtan(-l,=tan(x+3)的单调区间的方法y=tan(cox+)(0)的单调区间的求法是把工+勿看成一个整体，M?Ax,AGZ即可.当0时，先用诱导公式把化为正值再求单调区间.题型3:正切函数的单调性及其应用31. (2023上江苏高一专题练习)求函数y=3ta*的单调区间.【答案】单调递增区间为罪L1一+、k?Z),无递减区间.【分析】由正切函数的单调性直接求出即可.、VAtj.人f兀C兀j兀fr7Z1,内C3兀kK7Cfr.7【洋解】)ICK2x+-kuH,%Z,fX1
9、,ZeZ,2422828.函数y=3tan*+;的单调递增区间为雷-1.g+/,&?Z),无递减区间.32. (2023上江苏高一专题练习)求函数y=tan、+：)的单调区间.【答案】递减区间为(-+4E,3兀+4E)(kwZ),无递增区间.【分析】先将函数化为y=an(然后利用整体代入法即可求得单调区间.详解y=lan(-TX+5)=_tan(：4_?)由一色+EL-2H+E,Az,得一+4Evx3r+4E,AZ2442所以，函数y=tan13+T的递减区间为(F+4E,3+4A)(AZ),无增区间.33. 【多选】(2023下四川成都高一统考期中)已知函数)=tan+?),若/(x)在区间
10、(呈内单调递增，则。的可能取值是()A.-B.C.D.2366【答案】BC【分析】由X的范国，求出H掾的范国，由题意可得+3弓，解方程即可得出答案.【详解】因为xe(微,刃+啰)，函数/(x)=tan若f(x)在区间e,，!内单调递增，所以E+3=,所以50?.3226故选：BC.34. （2023上江苏徐州高一统考期末）已知函数/（x）=tan,-|（eZ）在区间惇部上是减函数，则的取值集合为.（用列举法表示）【答案】T-2【分析】由止切函数的单调性结合条件可得0,由正切函数的单调区间与周期性可得|4,再时的值进行逐一验证即可得出答案.【详解】由/（同在区间修引上是减函数，则0,且*而，解得
11、”4因为Z,所以=一4或=一3或=一2或=一1,(加1W/兀33,7当 二一4时,/(x)=-tan4x+-J,当代仁,官)时，4x-,当以+?点，即X啜时，函数无意义，故-4不成立.当 =_3时，/(X)=5 1 ,v上单调递增,上是减函数,Tan, + *当ll, 5 C 1 l 时，一3x+-，848故=-3满足题意.当=一2时，/（x）=Tan（2%+?）,当XW（T卜,24+：兀，由y=tanx在（M上单调递增，所以“可在区间（需）上是减函数,故=2满足题意.当=T时，f（x）=an卜当XeiJ,gj时，工，+0/J,解得Ovol,经检验，满足题意.。的取值范围是(05.故答案为：(
12、0,l36. (2023上江苏高一专题练习)比较下列正切值的大小：(1) tan1320与tan70;小、20-.(吟(2)tany与tanl-yI.【答案】tan1320tan(-g)【分析】根据三角函数的诱导公式，以及正切函数的单调性，即可求解.【详解】(1)解：tan1320o=tan(3360o+240o)=tan240o=tan(180o60o)=tan60o,因为(Txv90时，函数y=tanx为单调递增函数，且0。60。7090。，所以ta11600tan700,所以tan132()。Vtan700.,20xz九、(2)由tan-=tan(3一,)=tan(-),因为函数y=为单
13、调递增函数，旦-三-二tan(一一),即tan()tan(一一)757537. (2023上江苏泰州高三姜堰中学校考期中)已知函数/(X)=IgUI,若。=b=fc=(iang),则()A.abcB.cabC.bcaD.ba/e=l,所以13813441 I4 1Ine3 =-,所以山一一，33 3因为(g)f、，所以gl,即lngx,所以tan-ln-一,334因为/(X)在(0,+8)上单调递增,所以bc-展，所以2x-Je-弓,2-B,6L36因为函数/(x)=Gtan(2工-弓)-机在一春，上的最大值为3,最小值为T,所以即三，所以一“o,则7的最小值是.【答案】T兀【分析】根据诱导公
14、式直接计算了(-5),根据最小正周期的概念求解即可；4【详解】函数/(I=tanx,则/(：)=tan(f)=Tan；=l,444若/*)满足对于定义域内的每一个%都有/。+7)=/(x)，T0,则T为函数/Q)=tanx的一个正周期，又函数*)=tanx的最小正周期为,所以T的最小值是九故答案为：-1;44. (2023下安徽六安高一毛坦厂中学校考期中)函数/(幻=128+专/0)的最小正周期为,则G=()A.4B.2C.1D.y【答案】C【分析】根据正切型函数最小正周期列方程，由此求得”的值.【详解】依题意T=兀，解得口二L故选：C45. (2023下河南南阳高一社旗县第一高级中学校联考期
15、末)已知函数y=tan(2ar-弓)(40)的最小正周期为楙，则函数y=Jtanor-1的定义域为.【答案】+p+pZ【分析】根据正切型函数的周期可得a=l,再令tanx-10,结合正切函数求定义域.【详解】由题意可得：r=11=且。0,解得。=1，I2flI2对于函数O=Jtanx-I,令tanx-l之0,即tanxl,k+-xn-tannj+2=1+2=3.故答案为：3.55. (2023上高一课时练习)已知f(x)=tan；bsinX+4(其中、b为常数且曲0),如果/=5,则/(2010-3)的值为()A.-3B.3C.-5D.5【答案】BX【分析】构造函数以彳)=/。)-4=1115
16、-从111人，则函数8(幻是奇函数且周期为2人先求得g(2OIO-3)=-l,进而得至J/(2010-3)的值.【详解】设g(x)=/(x)-4=tanbSinX,x2k+,keZ则g()=tan三-Zsin(-x)=-(。Iantan一?SinX)=-g(x),则函数g(x)是奇函数：g(x+2)=tanr-hsin(x+2)=tan一“SinX=g(x),则函数g(%)是周期为2的周期函数；由/(3)=5,可得g(3)=f(3)-4=l,则g(-3)=-l,所以g(2010-3)=/(20103)4=g(-3)=-1,则/(2010-3)=4-l=3故选：B.56. (2023上河南开封高
17、三阶段练习)已知/(x)=kan(x+Q),贝旷函数/(外的图象关于V轴对称“是“0=Qr(AZ)的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【分析】求出函数F(X)的图象关于y轴对称所满足的条件，和8=&乃(&WZ)进行比较【详解】/(X)=卜an(x+0)关于y轴对称，则g(x)=tan(x+e)关于原点对称，故e=今，Ar1Z,故0=EcZ)是可以推出夕=与，KeZ,但*=，KWZ推不出e=Azr(ZeZ),故函数/3的图象关于N轴对称是=k(kZ)的必要不充分条件故选：B念饵题祕籍Q正切函数的对称性正切曲线的对称中心为既，0)伏Z),解关于对
18、称中心的题目时需要把整个三角函数看成一个整体，从整体性入手求出具体范围.题型6:正切函数的对称性61. (2023江苏扬州统考模拟预测)以点(与,)(kwZ)为对称中心的函数是().A.y=sinxB.J=sxC.y=tanXD.y=Itanx【答案】C【分析】根据三角函数的对称性依次判定.【详解】对于A选项，对称中心为(EZ)(AeZ),故不选A；对于B选项，对称中心为(+E,)(AeZ),故不选B;对于C选项，对称中心为(当,0)伏tZ),故C选项正确；对于D选项，不是中心对称图形，故不选D.故选：C.62.【多选】(2023下辽宁大连高一大连八中校考期中)下列坐标所表示的点中，是函数y=
19、tan(；-2)图像2o的对称中心的是()A.(丁,0)B.(y,0)C.(-,0)D.(-,0)【答案】ABD【分析】令:-J=MwZ,求出对称中心横坐标，对四个选项一一进行判断.262【详解】令5-2=gMwZ,解得X二E+gZ,A选项，当无=-2时，x=-2+=-t故对称中心为（-孚,0）,A正确：333B选项，当欠=O时，x=,故对称中心为g,0）,B正确：C选项，令E+f=,解得k=!，不合要求，舍去，C错误；333D选项，当左=1时，x=y,故对称中心为（手,j,D正确；故选：ABD63. （2023下辽宁高一辽宁实验中学校考期中）若/（x）=tan的的相邻两个对称中心距离是则正实
20、数。的值是.【答案】1【分析】根据正切型函数的对称中心与周期的关系即可求解.【详解】由于/（x）=tan3i的周期为T二向，由于相邻两个对称中心距离是;T,所以扣去则T=y=l,故答案为：164. （2023下四川高一四川省峨眉第二中学校校考阶段练习）已知函数/（力=123升。）（帆设仁）的图象关于点卜方,0）对称，则*=.【答案】7,66【分析】由正切函数丁=tanX的图象关于点（,0）WZ对称求解.【详解】因为G）=tan（3x+e）H:）的图象关于点（-*）对称，所以一个+9=Mz,所以e=g+”,AwZ,3232因为Mm,所以8=-.46故答案为：-B.O65 .【多选】（2023上江
21、苏苏州高三统考期中）函数f（x）=tan（2x-1）,则（）4A. /O）的一个周期为TB. /(%)是增函数C. /O)的图象关于点(称,0)对称OD.将函数y=tan2x的图象向右平移f个单位长度可得到/(x)的图象4【答案】AC【分析】根据/(x)的周期性，单调区间，对称中心，及平移逐项判断.【详解】对A：f(x)=tan(2x-今的最小正周期为W，故A正确；对B：/V)的递增应满足：k-2x-kf即增区间为(-白,#+令/eZ,故B错误.对C：/(X)的对称中心满足：2x-=+y,即中心为管+*),keZ,故C正确；对D：将函数y=tan2x的图象向右平移个个单位长度可得到y=tan2
22、(x-：卜tan(2x-：)故D错误.故选：AC66 .【多选】(2023下辽宁大连高一大连八中校考阶段练习)己知函数/(x)=tan2x,则下列说法正确的是()A.函数/()是奇函数B.函数/。)的最小正周期是加C.函数Ax)在(-2,2)上单调递增D.函数eO图象的对称中心是(f,0)(左Z)4【答案】ACD【分析】对于A,利用函数奇偶性的定义判断，对于B,利用周期公式判断，对于C,利用正切函数的性质分析判断，对于D,由2x=次Z分析判断.2【详解】对于A,/(x)=tan2的定义域为卜：+9,：+3伏eZ),定义域关于原点对称，因为/(r)=tan(-2x)=-tan2x=-(x),所以
23、/)是奇函数，所以A正确，对于B,/O)的最小正周期为T=,所以B错误，对于C,由x(-得2xe,5，/因为N=anx在+)上单调递增，所以/O)在(-：,今上单调递增，所以C正确，44对于D,由2x=Z,得x=-rwZ,所以/(x)图象的对称中心是(：,0)(&wZ),所以D正确，故选：ACD67.【多选】(2023上高一单元测试)下列关于函数y=tan(-2x+5)的说法正确的是()A.在区间(一号一自)上单调递减B.最小正周期是九C.图象关于点传,0)成中心对称D.图象关于直线工=-联成轴对称【答案】AC【分析】代入正切函数的结论求解判断A选项；由正切函数周期公式求解判断B,利用正切函数
24、对称性判断C、D选项.【详解】对于A,+kn2,x+A,kwZ,解得,c*-T*T,232122122当A = T时,兀-12-X0,0。5图象上相邻两个对称中心的距离为。，K(i)=-3,则函数y=f()的图象与函数y=L(-5Xl=-3,-+=-+l,IeZ,0,.*=/,/./(x)=tan又/=tan2 一+ 3 3。，二)，=/(力的图象关于点(2,0)中心对称,作出y=()和yx-2(-5X9, Kx2)的图象如图所示,可知两函数图象共有6个交点，H关广点(2,0)中心对称,故这6个交点的横坐标之和为3*4=12.故答案为：12y=f()yy =一、单选题1.(2023上贵州贵阳高
25、三贵阳一中校考阶段练习)函数/(x)=-2tanZr+的定义域是(A. x-6B. x12c.x +-,k e,7j6D.k . rr X H, k Tj2 6【答案】D【解析】由正切函数的定义域，令2x+飞k + %, ZZ,即工工葛+刑eZ),所以函数/%) = -2叫24+粉勺定义域为 - + , wZ.故选:D. 262. (2023上北京丰台高三统考期中)下列函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是()A. y = TB. y = lnxC. y = xiD. y = tanX【答案】C【分析】利用指数函数的图象与性质、对数函数的图象与性质、哥函数的图象与性质、正切函数的图象与 性
26、质分析即可得解.【详解】解：对于选项A,指数函数y=2是非奇非偶函数，故A错误；对于选项B,函数y=lnx是偶函数，故B错误；对于选项C,基函数y=/既是奇函数，又是定义域R上的增函数，故C正确；对于选项D,正切函数y=tanx在每个周期内是增函数，在定义域上不是增函数，故D错误.故选：C.3. （2023上甘肃酒泉高三甘肃省酒泉中学校联考阶段练习）已知=sin3,b=cosg,c=lanl,则,4c的大小关系为（）A.acbB.bacC.abcD.cba【答案】C【分析】利用诱出公式以及正弦函数的单调性可比较db的大小，再结合正切函数的性质判断。的范围，即可得答案.【详解】因为=sin3=s
27、in（-3）,=sin-j,y-3z而y=sinx在（0,5）上单调递增，所以sin（九一3）sin（5-g）tan2=l,所以c8,4故选：C.4. （2023安徽池州市第一中学校联考模拟预测）如图，函数/（x）=2tanx+|30）的部分图象与K轴相交于AB两点，与轴相交于点C,且AABC的面积为楙，则出的值为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【分析】由三角形面积求得函数的周期，由周期得参数值.Jr【详解】根据题意，当R=O时，/（0）=2tan=2,又.一ABC的面积为5，SA8c=；x2xA5=5n43=5，函数f（x）的周期为g,可得周期T=E=n刃=2,22故选：B.5. （2
28、023上广西贵港高二校联考开学考试）在y=d,y=tanx,y=sin!这3个函数中，奇函数的个X数为（）A. OB. 1C. 2D. 3【答案】D【分析】直接由塞函数与正切函数的性质判断y=V与y=tanx的奇偶性，再利用奇函数的定义判断y=dsinL的奇偶性，从而得解.X【详解】易知哥函数y=x3与正切函数y=tanx是奇函数,而y=(x)=si”的定义域为(-e,0)U(0,+),关于原点对称,且/(-V)=(-x)2sin=-X2sin-=-/(X),-XX所以），=/Sin一是奇函数,X所以奇函数的个数为3.故选：D.6. （2023上高一课时练习）函数y=2lan（3x+：J的最小正周期是（D.n【答案】B【分析】根据正切型三角函数的周期性求解即可.【详解】函数y=2tan（3x+：）的最小正周期是故选：B.tan2x7. （2023下辽宁沈阳高一沈阳二十中校考阶段练习）函数）=7=的定义域是（）x-x2A.（x）,0）u（l,oo）B.（0,1）C.（。吟）UdD.xxl且x+%AZ【答案】C【分析】由正切函数的定义域以及被开方数大于零求解结果.【详解】由己知可得2xh+E且-x20,TEk解得XH+一兀且OVXV1,42tan2x(所以函数y=RK的定义域是IOqM了)故选：C.8.(2023下湖南高二
