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1、5.4.2正弦函数、余弦函数的性质7题型分类一、正弦函数、余弦函数的性质函数性y=sinxy=COSx相定义域RR同值域-1,1-1,1处周期性最小正周期2最小正周期2图象yIf2y1、一,/一O-IV”O-ISJ2奇偶性奇函数偶函数在2k-t,12E+j(AZ)上单不同单调性调在递增；2E+$2人兀+寺f(GZ)上单在2E-,2E(ZZ)上单调递增；在2k,2E+(女Z)上单调递减处调递减最值X=TT=2E+(ZZ)时,ymax=1；X=2E(ZeZ)时,MnaX=1；Trx=2k一/Z)时,min=-1X=2E+M&Z)时，ymin=-l对称性对称中心：(H,0)(Z);对称中心：E+宗O
2、)(ZZ);对称轴：X=E+依Z)对称轴：X=E(%Z)二、解读正弦、余弦函数的单调性(1)正弦、余弦函数在定义域R上均不是单调函数，但存在单调区间.(2)求解(或判断)正弦函数、余弦函数的单调区间(或单调性)是求值域(或最值)的关键一步.(3)确定含有正弦函数或余弦函数的较复杂的函数单调性时，要注意使用复合函数的判断方法来判断.三、解读正弦函数、余弦函数的最值与对称性(1)明确正、余弦函数的有界性，即ISinxIq,ICoMWL(2)对有些函数，其最值不一定是1或一1,要依赖函数的定义域来定.形如y=Asin（GX+p）（AO,加0）的函数的最值通常利用“整体代换，即令公e+s=z,将函数转
3、化为y=Asinz的形式求最值.（4）正弦曲线（余弦曲线）的对称轴一定过正弦曲线（余弦曲线）的最高点或最低点，即此时的正弦值（余弦值）取最大值或最小值.（5）正弦曲线（余弦曲线）的对称中心一定是正弦曲线（余弦曲线）与X轴的交点，即此时的正弦值（余弦值）为0.彩的题淞招正弦函数、余弦函数的单调区间1、求正弦函数、余弦函数单调区间的技巧求形如y=Asin3x+G或y=Acos（s+e）的函数的单调区间时，若切为负数，则要先把外化为正数.当A0时，把GX+p整体放入y=sinx或y=cosx的单调递增区间内，求得的X的范围即函数的单调递增区间；整体放入y=sinx或y=co诔的单调递减区间内，可求得
4、函数的单调递减区间.当A0）放入尸SinX和y=cosx保证X的系数为正，否则应按“同增异减的复合函数单调性求解.题型1:正弦函数、余弦函数的单调区间11. （2023上甘肃武威高二天祝藏族自治县第一中学校考阶段练习）已知函数/（x）=Sin则力在传）上的单调递增区间为（）【答案】B【分析】由正弦函数的单调性以及复合函数单调性即可求解.【详解】当EOm时，2x-“衿卜所以当2%占卜卦)，即Xe(O,言时，函数十)单调递增.故选：B.12. (2023下吉林长春高一东北师大附中校考阶段练习)函数y=sinQ-2x),x(,)的增区间是()【答案】C【分析】利用诱导公式可得y=2sin(-2x)=
5、-2sin(2x-e),再用整体代换的方法即可求出单调增区间.【详解】由题意，y=2sin-2-=-2sin2x-.所以函数V = Si唱-2XJ的单调增区间为2A+2x-2A+yZ,解得攵兀+xE+,ZwZ.Z+-,+-(AeZ).36_因为x(0,),所以令=0,则得函数y=s喉-2x),Xe(U)的单调增区间为y,y.故选：C.13. (2023下新疆高二统考学业考试)已知函数/(X)=&8S(T+，则/*)的一个单调递增区间是()A.0,ylB弓,?C.0,D.,y【答案】A【分析】利用诱导公式化简函数式，再利用正弦函数的性质逐项判断作答.【详解】函数*)=cos(,+;O=Jsinx
6、,由正弦函数的性质知，函数/V)在：,争、0,上都不单.调，在碍,争上单调递减,即选项BCD都不是，函数/(X)在0弓1上单调递增，A是.故选：A14. (2023下高一单元测试)函数y二cos的单调递增区间是()A.-+22A(Z)B.-y+2,y+2(Z)D. A, + (Z)C.+k,k(2Z)【答案】C【分析】作出函数图象即可得到单调增区间.【详解】作出y=|c。SX的图象可知其单调增区间为k-k(Z),15. (2023上海高一假期作业)求函数y=2cos(3x-?)的单调减区间.12421【答案】-+-k,-+-k(ZeZ)【分析】将版-9代入余弦函数的单调递减区间求解即可.【详解
7、】23x-2+(Z),W+x-+(Z).12421得单调递减区间是-+-,-+-(Arz).16. (2023高一课时练习)画出函数y=gcosx+gcosx的图象，并根据图象讨论其性质.【答案】答案见解析.【分析】把函数化成分段函数，作出在区间右苧上的图象，再探讨函数性质作答.【详解】令/(x)=gcosx+gcosx,其定义域为R,f(x+2)=cos(x+2)+cos(x+2)=f(x),由COSX0得：-+2Ax-+2Z,KPf(x)=cosx,22由COSX0得：-+2kx-+2k,k三Z,BP/W=O,22JtTtcosX,+2kx-+2k因此/(幻=22ZwZ,显然一,)=/G)
8、=OJ(O)=1,0,2Ax0)在-*上单调递增，则0取值范围是.【答案】o,l【分析】利用整体代入得方法得到/(%)的单调递增区间，然后列不等式求解即可.%z.Ar*.a,r.11r1.rlr.5n22nn2%口【详解】号F2kn(OXHF2k,kwZ,得1x1,23266因为/(X)在上单调递增，所以3,解得G33兀，21- -,36所以o0)在(OG)上单调递增，则。的最大值【答案】I【分析】求出函数F（X）的单调递增区间，再借助集合的包含关系，列式计算即得.TrTrTrjr【详解】函数/（x）=Sin（5-）（0）中，由一耳+2Etx-w5+2A,AwZ,得一义+型x+也MeZ,即函数
9、3）的单调递增区间为_2+型,羿+也b6bb2k,八+0/+Fi*/八九、r兀2Zc7c5t2kt、I丁、r-116coCDQ依题意，（0,-）-+,+一（kZ）,贝I”Vn.次eZ,366MZk、+63解得F,0I+6攵,kZ,由二+6k0,得二，即k,而AeZ,1222121212因此=0,03（,所以切的最大值为22故答案为：y23. （2023上湖北武汉高一武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考期末）已知函数/（x）=Sin（OX+看）在区间上单调递减，则正实数。的取值范围是（）33443A.O22332【答案】C【分析】利用整体代换法求出函数/*）的递减区间，结合集合的包含关系列出
10、不等式组，解之即可.【详解】由题意知，0,令2k+-x+-+2k,262ft7,yw2k兀，,4乃2k,)解得+-x-+Z,33又函数/V）在区间与幻上单调递减，2k,所以0/33,解得62+10W+2A,AZ,4乃2k3+3。 4当无二O时，0,函数）=2sin（s+外在6）_26上单调递减，则实数。的取值可以是（）A. 1B. ?D. 2【答案】AB【分析】根据X的范围得出3片 5一十一，一2 6 6,根据的单调性可得出即可得出。的可能取值.【详解】Xe 5 I八一,.?O ,2 6x + - 6 5 +,+ 由于函数/（公=2311（8 + 2）在 5一,2 6上单调递减, 兀、兀 “+
11、 - + 2k26 25 3 .+ + 2k662A.7-121 - 67-121 - 37-12 1 - 6 - -UImJ112O,D.3,12219keZ,解得I-4ktyIk,k、3559Q.M=0时，-0）在区间色,勺上是单调的，则0的取值范围是（）【答案】C【分析】三角函数在区间上单调，可知在区间内不含对称轴，构建不等K即可求得。的取值范围.【详解】因为g（x）=sin（25+30）,令2x+=2k,（kZ）,可得对称轴方程X=（Z）,函数8（工）=$小（25+空30）在区间停兀卜二是单调的，中哆且Ai+falM（Z）,里即O0）在区间（5,兀）上是单调的，/1,-+k所以12(Z
12、wZ),XOw1,I17可得0K-0,所以 2x+1 W -2w + -,2w + y ,又函数/（X）=JkeZ C . sin 2x + -I 3所以 -21 +1,2m + y + 2E, + 2AC 7C TC c -Im + + 22 、kwZn2m + -+ 2k3 25 .m 0 .in - + 12故00）在（Og）上存在最值，且在住,）上单调，则。的取值范围是（）22、111715158A.0,-B.C.L-D.,I3j433L23【答案】D【分析】结合整体法结合三角函数图象性质对ve（,进行最值分析对区间e（g,）上进行单调分析;【详解】当Ox0,则-解得/2,362W2=
13、L2当一%兀时，-xI、人、儿,、336J-、IvUJ,66因为函数/()在传T上单调，r,(2兀、,Y1R1J-,2,则彳44：；.335 X所以4=2,co0)的周期为T,且满足T2,若函数/(x)在区间信;不单调，则0的取值范围是()A，声)【答案】CBS)-K5)【分析】由函数/.(%)在区间修，不单调，转化为在你上存在对称轴，求出对称轴方程，建上不等式组求解即可.【详解】已知/(x)=Sin(x+?30),令如+W=E+女人ZU解得=。,(丘Z)则函数，(力对称轴方程为一版+7(Ku八-,(KWj)不单调,2解得4k+ -V36k + 1,kZ, 3,k+-兀6兀”7-2-2,旦00
14、,得OVGV1,2故仅当k=0时，30)在区间(U)上既有最大值，又有最小值，则。的取值范围为.4【答案】c【分析】根据XW(OE),求出0x+Je(go+ml然后根据正弦函数的图像，求出。的取值范I1OOO)【详解】若XW(O,兀),则5+ge但M+3,obO)因为函数/(x)=Sin(S+弓)30)在区间(0,兀)上既有最大值，又有最小值，34所以师+:不,解得口彳.6234故答案为：彩饵题祕招(二)利用三角函数的单调性比较大比较三角函数值大小的方法(1)比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调性比较.(2)比较两个不同名的三角函数值的大
15、小，一般应先化为同名的三角函数，然后利用函数的单调性比较.题型3:利用三角函数的单调性比较大小31. （2023海南校联考模拟预测）已知=lg3,3=sinl,C=OW,则（）A.abcB.cabC.acbD.bac【答案】C【分析】根据指数函数、对数函数、正弦函数的性质即可判断.【详解】由题意可得，a=lg3sin45o=O.5o5,.OSVO.5。80.5。5，Cg32为=sing,c=e5,则mb,C的大小关系为（）A.cabB.cbaC.bcaD.bac【答案】A【分析】利用函数的单调性比较大小，借助等中间量，对W氏C分别估值即可得.2【详解】由函数y=Iog3X是（0,+句上的增函数
16、,得=Iog32Iog3币=g,由函数y=e是R上的增函数，得c=e5e=l,由y=Sinx在（0,单调递增，Osin=sin-b.故选：A.33. （2023下四川绵阳高一绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）已知=s吟，=siny,C=Si吟,则（）A.abcB.cbaC.cabD.bca【答案】D【分析】根据诱导公式和正弦函数在(Ow)上的单调性可得大小关系.【详解】由诱导公式知：=sin-5J=Si*，Z=sin-y-j=si11y-,.y=sinX在(o,)上单调递增，sinsin-siny,即Z?ca.故选：D.34. (2023下陕西汉中高二统考期末)已知=sin2,Z=Iog20.
17、2,C=3%则()A.abcB.hacC.achD.cab【答案】B【分析】根据正弦函数、对数函数和指数函数的单调性，将。与0,1比大小，力与0比大小，C与1比大小,即可得结论.【详解】因为2,所以0sin2l,Xlog20.230=1,所以bvvc.故选：B.35. (2023下山西高一统考期末)已知=2sinl,O=IOg应3,c=2叫则()A.cabB.chaC.abcD.acb【答案】A【分析】根据正弦函数、对数函数及指数函数的性质判即可.【详解】因为五=2Sin工=2sinl/3,43Z7=log3log2=2,c=2049205=2所以cabcB.bcaC.bacD.cba【答案】
18、B【分析】根据指数函数、对数函数及正弦函数的性质判断即可.【详解】因为匕=33=1,a=lglgl=0,TrTr又因为一3c4.故选：B37. （2023上山东临沂高三统考期中）已知。=cos）b=sin=,C=IogW,则（）54A.bacB.bcaC.cabD.c23可得32,2里，结合两边取对数可得Ec的大小关系，即可得答案.【详解】因为产,故8S哈呜即=喏吟,又3223,即32=232,.log33log32,GBP12Iog32,拳Iog32,即。=sin-c=Iog32,故选：D338. （2023下四川绵阳高一四川省绵阳南山中学校考期中）设=sin20。力=cos80。=：,则。
19、也。大小关4系（）B. abcA.bacC.chaD.acb【答案】B【分析】根据正、余弦函数的单调性分析判断.【详解】因为20。V30。，且y=Sinx在（0,9上单调递增,则sin20。sin30。=L即L22又因为鳖5,且V=COSX在（O上单调递减，41Ov3则=coscos80ocos=,BP走，所以。人vc.42故选：B.39.【多选】(2023上山东泰安高一泰山中学校考期末)已知。=3出=1。80931=日111,则下述正确的是()A.abB.acC.bcD.b0【答案】AB【分析】利用指数函数，对数函数，正弦函数的单调性，结合中间值进行判断.【详解】.*a=30j30=bb=1
20、g0,93loSo91=0=sin0c=sinlsin=l,*b0c4201)B小丁僮/C.g()g(2)D.g(-2)(g(T)【答案】B【分析】根据函数的奇偶性、单调性、三角函数、指数函数、累函数等知识确定正确答案.【详解】由于OVSi吟l=2v2tu,g(x)在0,+e)上单调递增，所以8卜味)8(2。)，A选项错误.22UU产在(0,y)上单调递增,22所以仁(|，而在0,+8)上单调递增，/2、/2、所以/(I)/(I)，B选项正确./(同是偶函数，且在0,y)上单调递增，所以f(T)=(l)g,由于/(x)在0,2)上单调递增，所以f(g(-2)(g(T).故选：B彩饵题秘籍=）正
21、弦函数、余弦函数的最值（值域）问题三角函数最值问题的三种常见类型及求解方法形如y=sinx（或y=cosx）型，可利用正弦函数（或余弦函数）的有界性，注意对。正负的讨论.形如y=Asin（5+9）+。（或y=Ac0s（ftx+9）+z?）型，可先由定义域求得gx+g的范围，然后求得Sin（GX+y）（或COS（5+勿）的范围，最后求得最值.（3）形如y=sin2r+Z?SinX+c（O）型，可利用换元思想，设f=sinx,转化为二次函数y=P+初+c求最值.，的范围需要根据定义域来确定.题型4:正弦函数、余弦函数的最值（值城问题41.（2024浙江温州.统考一模）若函数F（X）=2sin（s-
22、3（6yO）,XWOW的值域为1621，则的取值范围是（）B.5 106,TC.D.【答案】D【分析】利用XW。弓可得5-枭等式即可求得0的取值范围.再由三角函数图像性质可得50- + ,解不详解根据题意可知若To图，则可得Sqe 务、;显然当X = O时，可得2sin（tx-方）二一JJ, 由/（力的值域为卜62,利用三角函数图像性质可得了畀一色兀, 解陪3?即。的取值范围是1碧.故选：D42.（2023上湖南长沙高三长郡中学校考阶段练习）函数y = 2sin（0x9）的最大值与最小值之差为（）A.2-6B.0C.2D.2+3【答案】D【分析】由0x9,可得-g2x-?,然后利用正弦函数的性
23、质可求得函数的最值.3636【详解】因为OWXW9,所以OJx驾，所以Y9Y?,663636由y=sin%的图像与性质知，当白_三二一5时，有最小值为2sinJl）=-6633V3）WlmX-E=W时，有最大值为2sinf=2,所以最大值与最小值之差为2+百，6322故选：D.43. （2023上陕西咸阳高三校考阶段练习）函数，a）=sin（2x+T在。弓上的值域为（）A.-乌,1B.-g,与C.”,1D.0,12222lj【答案】A【分析】根据Xe。弓，-f2x+,y,再结合正弦函数的图象求解即可.【详解】解：由Xe0，/，可得2x+e小三，贝U/（X）=Sin（2x+1）e一日1故选:A.
24、44. （2023上上海浦东新高三上海市洋泾中学校考期中）已知关于”的不等式ShU-CoS2+2有解，则实数。的取值范围为【答案】g+）4【分析】利用正弦函数的性质，结合二次函数求出SinX-cos2+2的最小值即得.331【详解】显然一lsinxl,则Sinxcos2+2=si112+sinx+l=（sinx）2+-,当且仅当SinX=一时2442取等号，3由关于X的不等式SinX-COS4+2Va有解，得43所以实数。的取值范围为弓43故答案为：（7*）45. （2023全国高一随堂练习）求下列函数的值域:(2)y =(1) j = 2-3cos3sinx + l sinx-245,t.
25、3sinx+l故尸石口的值域为-4,| .【答案】（1）T,54,3【分析】利用三角函数的值域，结合不等式的性质即可得解.【详解】(I)-1cos1,/.cos4x-yj-l,l,3cos4x-yj-3,3,.y=2-3cos-j-1,5,故y=2-3cos4x-yj的值域为-1,5./一、3sinx+l3(Sinx-2)+7.7(2)-.y=3+sin%-2sinx-2sinx-2-1sinxl,.-3sinx-2-1,117772.-l，-7，.-43-,sinX-23sinX-23sinx-233snx+l/.y=sinx-246. (2023上山东聊城高三统考期中)己知函数x)=2si
26、n(2x+e)+?在区间。卷上的最大值为6.(1)求函数/(x)的单调递减区间;(2)求使/(x)0)在区间0,9上的值域为【分析,】根据三角函数值域的知识求得*【详解】依题意，函数/()=coSa+)3o)在区间0,同上的值域为7,今由于08,8x+SW2,”,I-一1l1l所以2e=2-1=Q=-,6612止匕时当x+劈),当X+普=N=3时/(力取得最小值T,符合题意,1212O1212所以C=詈.故答案为：臂卷儆题淞籍(四)正弦函数、余弦函数的周期性求三角函数的周期，一般有三种方法(1)定义法：直接利用周期函数的定义求周期.使得当X取定义域内的每一个值时，都有/(x+)=(x).利用定
27、义我们可采用取值进行验证的思路，非常适合选择题；2兀(2)公式法,即将函数化为y=ASin(G+0)+6或y=ACoS(Gx+0)+8的形式,再利用T=潦求得，对于形如y=sinGx+bcossx的函数，一般先将其化为y=d4sin(5+p)的形式再求周期；(3)图象法：利用三角函数图象的特征求周期.如：正、余弦函数图象在相邻两最高点(最低点)之间T为一个周期，最高点与相邻的最低点之间为半个周期.相邻两对称轴间的距离为E，相邻两对称中心间的距TrrT离也为5,相邻对称轴和对称中心间的距离也为一，函数取最值的点与其相邻的零点距离为一.函数的对称44轴一定经过图象的最高点或最低点.题型5:正弦函数
28、、余弦函数的周期性51.(2023全国高一随堂练习)求下列函数的周期：y=sin=x;4(2)y=cos4x;(3)y=3sin(+);(4)y=2cos(2x-).4【答案】(I)F；(2)y;(3)4s(4)._2【分析】(1)(2)(3)(4)利用正弦型函数、余弦型函数的周期公式7=向即可求解.aT-【详解】(1)函数y=sin：X的周期为一3一3.4彳(2)函数y=cos4x的周期为T=4=1 T=4r(3)函数y=3sin(?+；)的周期为1.2 42(4)函数y=2cos(2x-4)的周期为T=*=九4252. (2023上江苏高一专题练习)求下列函数的周期：f(x)=2sin(g
29、x+JR;(2)(x)=l-2COSdR.(3)4%)=卜i111,R.【答案】(1)4兀4冗_2【分析】(1),(2)中利用二角函数周期T二时可求解，(3)根据周期函数定义结合正弦函数的性质即可求解.【详解】(1)由题意知：=；,所以：x)=2sin(；x+F)的周期为：丁=时二丁=4几，故所求周期为：4./X2_2_(2)由题意知：6y=,所以：/(x)=2COSe的周期为：/=同=可=4,故所求周期为：4.(3)由题意可得：/()=sin(x+)=-sin=sin=/(x),根据函数周期的定义可得：TSinH的周期为T=又f(x)的图象可以看成将y=Sinx在X轴下方的图象翻折到X轴上方
30、得到的，故其最小正周期为兀，故所求周期为：.53. (2023上上海浦东新高二上海市洋泾中学校考期中)函数y=3sin,-爸的最小正周期是.【答案】兀【分析】根据题意，由正弦型函数的最小正周期，代入计算，即可得到结果.【详解】因为函数y=3sinx-弓)则最小正周期为r=g=7t.故答案为：54. (2023上广东高三广州市第一中学统考阶段练习)函数f(X)=2sin(2x+蠢卜KJ最小正周期为.【答案】22【分析】利用正弦型函数的周期公式以及绝对值函数的性质可求得函数/()的最小正周期.【详解】因为g(x)=2sin0x+患卜勺最小正周期为B=兀，所以/(X)=2sin,x+矗)的最小正周期
31、为(故答案为：y.TrSTr55. (2023上江苏连云港高三江苏省海州高级中学校考阶段练习)若直线X=7x2=半是函数/(x)=8S3(0)图象的两条相邻的对称轴，则。=()A.；B.-C.-D.-2245【答案】D【分析】由三角函数的对称性和周期性计算即可.【详解】依题意得函数/(x)的最小正周期T=2x(g-=)=,4解得G=.故选：D.56. (2023上广东深圳福一校考期末)函数/(x)=-3sin(g+1)的最小正周期是2兀，则G=【答案】1【分析】利用周期公式直接构建关于参数的方程求解即可.【详解】因为函数力=-3呵3制的最小正周期是2,所以可得百=2冗，解得。=1,(0)的最小
32、正周期为J，则口 6故答案为：157. (2023上高一课时练习)已知函数/(X)=【答案】12【分析】根据三角函数的最小正周期公式列方程，解方程求得&的值.T2兀2兀，c【详解】由于口0,依题意可知T=L=Nn=12.(OCOO故答案为：1258. (2023上河南安阳高三统考期中)已知函数f(x)=sin(的-?30)的最小正周期为,则()A./(2)/(0)(-2)B./(0)(-2)(2)C. /(-2)(0)(2)D. /(0) /(2)0,0)：0=A时，函数y=Asin(的+。)为奇函数；兀十万时,函数y=4Sin(GX+)为偶函数.(2)对于函数y=Acos(x+e)(A0,0)：e=R时，函数y=Acos(gx+)为偶函数；=k+时，函数y=Acos(ox+9)为奇函数.题型6:正弦函数、余弦函数的奇偶性【分析】利用函数的定义域、奇偶性、函数值分析运算判断即可得解.【详解】解：设/(X)=-COSXln|乂，定义域为xx工O,xeR,则有/(-x)=-cos(-x)In-r=-cosxlnx
