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1、7.3.1.2：三角函数的周期性和图象与性质【考点梳理】考点一、用“五点法”作正弦函数和余弦函数的筒图(1)在正弦函数尸Sin心问0,2的图象中，五个关键点是：(0,0),(”)，(,0),管一1),(2,0).在余弦函数y=cosx,x0,2c的图象中，五个关键点是：(0,1),&0),(,1),砥，0),(2,1).考点二、正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中kZ)函数y=sinxy=CosXy=tanx图象yF1y_7T1-JUW定义域RR-.r+j值域-1,1-1,1R周期性22奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间2E，2+2-.2k(左冬E+?递减区间2Aty.2%+竽2A,2A对称
2、中心(k,0)(k+,0)作)对称轴方程X=E+5x=k【题型归纳】题型一、正余弦三角函数的图像问题1. (2023高一)设。为常数，且满足Q=SiiU+1,且工4-,的X的值只有一个，则实数的值为().A. 0B. 1C. 2D. 0或 2【答案】D【分析】利用五点作图法作出y=siar+l,工武-兀可的函数图象，依题意与y=s欣+1在兀可上只有1个交点，结合图象即可求出参数的值.【详解】解：因为y=sinx+l,列表：X022-y12101描点、连线，函数图象如下图所示:因为=siu+l,且xw-兀,0的X的值只有一个，所以y=与y=sinx+l在t,兀上只有1个交点，结合图象可知=O或。
3、=2.故选：D2. （2023上安徽合肥高一校联考期末）函数/）=SinX,g（x）=cosx的图象在区间-2编兀的交点个数为（）A.3B.4C.5D.6【答案】A【分析】作出正、余弦函数图象，利用图象直接判断两者交点个数.【详解】分别作出/（x）=SinX,g（x）=cos元在区间-2兀,兀上的图象，如图所示，由图象可知：/（x）=Sin*g（x）=cos元的图象在区间卜2,的交点个数为3.故选：A.3. （2022高一课时练习）在（0,2万）内，使SinXcoSM的X的取值范围是（）C.D.【分析】在同一坐标系作函数V=SinX以及y=8S的图像即可求解. 37,T故选：D.行上存在最题型
4、二、正弦余弦和正切的定义域值域和最值问题4. （2023下内蒙古呼和浩特高一呼和浩特市土默特中学校考期中）若函数/（x）=2sin5在区间小值-2,则非零实数0的取值范围是（）B.6,+)C. (-,-2|，+8D.-00,-y O 6,+00)【答案】C【分析】根据非零实数。的正负进行分类讨论，列出不等式求解即可.【详解】若或0,则一加sa因为函数/(x)=2SinS在区间上存在最小值-2,所以一-f,得到口;若60,则一3COXCD,45因为函数/(x)=2SinS在区间-K上存在最小值-2,所以23二，6y-2.42所以非零实数。的取值范围是(-,-2|,心).故选：C5. (2023下
5、北京怀柔高一北京市怀柔区第一中学校考期中)已知函数f(x)=cos(兀-力+1,则()A.”可是偶函数，最大值为1B.”可是偶函数，最大值为2C./(x)是奇函数，最大值为1D.”是奇函数，最大值为2【答案】B【分析】利用诱导公式将函数化简，再结合余弦函数的性质分析即可.【详解】HW=s(-x)+l=-cosx+l,定义域为R,则/(T)=-COS(T)+1=-COSX+l=(x),所以/(x)是偶函数，J-lcosxl,所以一l-cosxl,则0-cosx+l2,所以”x)0,2,即“力的最大值为2.故选：B6. (2023下内蒙古包头高一统考期末)函数。圄的定义域是()5E,丁5,I122
6、JI12J1 E,r1f,一C.xx。一十,kwZD.I32I3【答案】A【分析】根据正切函数的定义域，利用整体思想，建立不等式，可得答案.【详解】由题意可得：2x-A(Z),解得X唔+g(丘Z),函数Iy=Ian的定义域为卜XHll+g,%z题型三、正弦三角函数的性质7. (2023全国高一随堂练习)当工-肛句时，函数y=3sinx()A.在区间卜区0上单调递增，在区间0,可上单调递减B.在区间一线上单调递增，在区间,上分别单调递减C.在区间卜小0上单调递减，在区间0,可上单调递增D.在区间-凡一,X上分别单调递增，在区间-g%上单调递减【答案】B【分析】根据函数y=3sinx,xrr,句的
7、单调性依次判断选项即可.【详解】函数y=3sinx,x-肛句，x-,y=3sinx为减函数，xe-y,y=3sinx为增函数,xy,y=3sinx为减函数，故选：B8. (2021上高一课时练习)对于函数/*)=sin2x,下列选项中正确的()A. 73)在与北上是递增的B. /(x)的图象关于原点对称C. /*)的最小正周期为2D. f(x)的最大值为2【答案】B【分析】根据正弦函数的单调性、奇偶性、最值和周期性可得答案.【详解】因为函数y=sinx在g)上是递减的，所以/(X)=SinZr在(：,是递减的，故A错误；易知函数/(x)=sin2x的定义域为R,因为/()=sin2(-)=si
8、n(-2)=-sin2x=-f(x),所以f(x)为奇函数，所以/“)的图象关于原点对称，故B正确;/(x)=sin2x的最小正周期为号=兀，故C错误;因为函数/(x)=sin2x的定义域为R,所以/&)=Sin2的最大值为1,故D错误.故选：B9. (2023上安徽六安高三六安一中校考阶段练习)己知函数/(x)=sin(3+?)0)在区间0,恰有两条对称轴，则的取值范围()71359)(59(11A.B.C.D.44_44)44_144【答案】B【分析】根据题意得到f8+fE+o,从而得到萼f+v，再解不等式即可.444242【详解】因为0x兀，所以rw+ff+加，444因为函数x)=sin
9、(5+：)0)在区间0,句恰有两条对称轴，所以=+o苧，解得340）的图象关于直线入哈对称，且/=O,则切的最小值为（）A.2B.4C.6D.8【答案】A【分析】根据函数y=Acos（3r+e）的性质和条件列出关于。的解析式即可.【详解】由题设知直线X=自与点（g,）分别为函数/*）图象的对称轴与对称中心，故得+O=KMKwZ）,詈+夕=&兀+/（&wZ）,于是詈二的一幻乃+（占，&eZ）,即。=4（&-4）+2（4，&eZ）,又网-wZ,且&0,故切的最小值是2；故选：A.题型五、正切三角函数的性质13. （2023下高一单元测试）函数y=ta1113入+聿）的单调区间是（）A.,f,k+一
10、1.33J(ZGZ)B.（左兀一,左冗+）（女Z）C.kk2T-9,T+-9.伏Z)、(kk2Y,丁、d万丁TgZ)【答案】D【分析】利用诱导公式化简，再根据正切函数的性质计算可得.【详解】因为=Sn；-3%+看）=Tan（3%-e），令A-g3x-mA+g,kZ,解得g-g力 0,0,时的部分图象如图所示，则下列结论正确的是()A./倨B-=4C.f(x)的图象关于点总可对称D.f(x)的图象关于直线X=对称【答案】A【分析】根据图象，求出函数的周期，即可得出口=2,结合函数过点(三,1),即可得出。的值从而得出/(x)=sin2x-,根据正弦函数的性质依次判断选项即可.【详解】由已知图象可
11、得=3-1=,所以T=,O=生=2,由图象过点(41)，由“五点法”可得，2=+2Z,所以，9=-+2Z.6因为IeKg,所以9=一9)=如(2工一引，故B项错误；26I6Jfl=sin(2-=0,故A项正确；12126因为2xJ-3=丁，所以点(g不是函数的对称中心，故C项错误；6666)对于D项，当户一个时，/卜=Sin12x(-e=-*工1,故D项错误.故选：A题型七：三角函数的图像和性质综合问题19. (2023下北京房山高一统考期中)已知函数/(力=CoS(3x-?(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)的单调递减区间.【答案】(l)g(2)-k+-.-k+-(keZ)，|_3
12、12312f【分析】(1)利用周期公式T=篇直接代入求解即可;(2)利用整体代换法求单调递减区间即可.【详解】./(x)=2cos(3x-Jj5221=：r=,网3，(2)函数y=cos的单调递减区间为2A,2k+仕Z),令23x-2k+,左Z,4/I=I2,7T,2,5冗解得：一E*0)的最小正周期为.求尼)的值;(2)求函数/(x)单调递减区间；求/(力在区间上的最值.【答案】(1)16(丘Z)5,1(2)+&九，+Ar1212最小值为-1,最大值代+1【分析】(1)先通过周期公式求出参数。,再求/(聿)的值；(2)利用整体的思想令-2E2x+1q+2E,(ZgZ)求解即可；(3)还是利用
13、整体的思想,先算出2x+g的范围，再求出sin(2x+)的范围，即可求得最值.【详解】(1)因为函数=-2SinS+)+1(g0)的最小正周期为,所以生=兀，可得刃=2,贝If(x)=一2sin(2x+1)+l/=-2sin2+l=-2siny+l=l-3,(2)/(x)=-2sin(2x+)+l,解得T+E3+l,所以“)在区间网上的最小值为-1,最大值J+121. (2021下高一课时练习)已知函数/(x)=6tanA(0).CD(1)当G=4时，求f(x)的最小正周期及单调区间；(2)若|/(力|,3在XG上恒成立，求的取值范围.【答案】(1)4,(4左一2,4Z+2),keZ；(2).
14、【分析】(1)当口=4时，利用正切函数的周期公式和单调性即可求出/(x)的最小正周期及单调区间；(2)根据If(X)I,3在Xe-pj上恒成立，建立周期与最值的关系，解不等式即可求出的取值范围.【详解】(1)当0=4时，/(的最小正周期/=5=,故最小正周期为4；4要求力的单调区间，只需一3+S爸+k兀,解得：4k-2x(),；函数/(x)的周期n_(x),3在Xe-y上恒成立，(x)在Xe,严格增函数，-=-g0.3223丁dTG”(-H-，即小/技an(-%)即tan(-g)S.一分【双基达标】一、单选题22. (2023上高一课时练习)下列函数，最小正周期为2的是()B. y = sin
15、2xD. y = sin2v.XA.=sm-C.)，=s呜【答案】C【分析】根据三角函数的性质即可确定最小正周期.丁_2【详解】函数y=sin；的最小正周期为=1=4兀，故A不符合;2I函数y=sin2x,其最小正周期为T=:=,故B不符合；因为函数y=si吟的最小正周期为T=4,所以函数V=s呜的最小正周期为2,故C符合；因为函数y=sin2x的最小正周期为T=年=,所以函数y=卜码的最小正周期为,故D不符合.故选：C.23. （2021高一课时练习）定义在R上的奇函数“力的周期是冗，当XG0,|时，f（x）=sinxf则圆河的值为（）A.-B.IC.一直D.B2222【答案】C【分析】利用
16、函数的周期性、单调性等知识求得正确答案.【详解】依题意，/（x）是定义在R上的奇函数，且是周期为冗的周期函数,，（等卜/司T-AfS呜=岑故选：C24. （2023下辽宁鞍山高一校联考阶段练习）若cos（兀-”=*，x（-,则X的值为（）5兀37CTr-5C2A.或B.C.D.66663【答案】C【分析】根据诱导公式化简即可结合余弦函数的性质求解.【详解】由cos（X）=立得一COSX=走ncosx=-立，所以x=学+2E,攵2,由于工一冗,可，故产士%，OO故选：C25. （2023上黑龙江哈尔滨高三哈尔滨市第十三中学校校考期中）若函数/（x）=sin+聿）30）在区间（0,兀）上既有最大值
17、，又有最小值，则0的取值范围为（）A.仁收）B./+8）C.（2,oo）D.2,-x）【答案】A【分析】利用整体法求得8+的取值范围，从而结合题意得到切t+J=,解之即可得解.【详解】因为/（=。4的+胃30）,当（0,）时，x+-=,解得，O23所以的取值范围为(2+8)故选：A.26. (2023上北京顺义高三校考阶段练习)某同学用“五点法”作函数/(x)=ASinwX+q)a0m(9在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，见下表：x+023T2XV27nASin3x+)00-2(1)求函数/()的解析式；(2)求/(x)在区间-5,O上的最大值和最小值.【答案】(l)x)=2sin
18、(2x+|6-2【分析】(1)直接由表中数据列出方程组即可得解.(2)通过换元法结合正弦函数单调性即可得解.(o-122【详解】(I)由表格可知73+=1223AC=-A=-22所以函数/(x)的解析式为x)=2sin(2x+g.(2)当Xe-,0时，有2x-,J=2x+-Tw，2JrTrTrTr而y=2sinf在-7，-5上单调递减，在-于上单调递增，卜LX= max从而44L=2sin扪一2.当且仅当/=2呜=8=一泮=max卜G,G=G,当且仅当f=2x+g=g,x=0,综上所述，/(x)在区间一5,0上的最大值和最小值分别为6,-2.27. (2022下贵州铜仁高一贵州省松桃民族中学校
19、考阶段练习)已知函数f(%)=sinx,(xR),将/(x)图象向右平移个单位，得到函数g(x)的图象.求函数g(力的解析式；求g(x)在-2,0上的单调递增区间.【答案】(l)g(x)=-CoSX-2兀,-可【分析】(I)根据图象平移，即可得出答案：(2)根据余弦函数的单调性，即可得出答案.【详解】(1)由己知可得，g(x)=sin(X-T)=-COSX.(2)由2kX+2k,ZZ,可得,函数g(x)的单调递增区间为2E,r+2E火Z.又一2x0,所以一2x-,所以，g(x)在-2,0上的单调递增区间为-2,-.【高分突破】一、单选题28. (2021下内蒙古鄂尔多斯高一校联考期中)函数y=
20、3-2cos(2x-?的单调递减区间是()A.k+,k+-(AeZ)B.&-1,A+/(AeZ)2k-,2lt + -36(心Z)(&cZ)D.C.2k+-,2k+-_33【答案】B【分析】函数y=3-2cos(2x-的单调递减区间，即函数y=2cos(2x-gj的单调递增区间，利用复合函数性质，可得所求区间为2E-2x-0),x0弓的值域为-6,2，则0的取值范围是()【答案】D【分析】利用可得r-再由三角函数图像性质可得T+,解不等式即可求得。的取值范围.【详解】根据题意可知若XdOg,则可得8*显然当X=O时，可得2sin（s-）=-J,由/（力的值域为16,2,利用三角函数图像性质可得
21、5o一方4方+冗，解得洛当即G的取值范围是I舞.故选：D30. （2023上北京高三北京市第一六一中学校考期中）“；”是，飞1寅1”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】由xE推不出taul,如X=手,即必要性也不成立，4444所以X?是tanx0,30,Mq）的部分图象如图所示,则下列说法正确的个数为（）m2；/七；力在你引上单调递减；（=3.A.1B.2C.3D.4【答案】C【分析】由图像经过的特殊点:，2）和（7,0）逐项判断即可.【详解】由题图，得A=2,最小正周期T=4dq
22、）=r又T=女=乃，所以刃=2,故正确；“x)=2sin(2x+8),又“x)的图象过点(卷,2),所以2X+夕=2k兀+Z,1222 44t 又同行，所以e=g故错误;/(x)=2sin2x-J,令t=2x-三,当工0)在画)上单调，则的取值范围是()A.(l,4o)B.1,-H三o)C.(0,1)D.(0,1【答案】D【分析】由o,得到s+F+,然后根据“可在(局单调求解.【详解】解：因为0x方，所以色Vox+色2+Z,6636因为f(x)在(呜)单调，所以23+卜362.*.Owl,故选：D.二、多选题35. (2021下湖南娄底高二双峰县第一中学校考期末)下列关于函数f(x)=卜in2
23、的结论正确的是()A.函数/V)是偶函数B.函数f(x)的最大值为2C.函数在,单调递增D.函数/*)的最小正周期是冗【答案】AC【分析】先利用奇偶性定义和三角函数值的分布判断选项AB的正误，再结合函数图象判断CD的正误.【详解】由f(r)=卜皿-2刈=卜in2x=f(x)知，函数/)是偶函数，A正确；当sin2x=l时，/*)取得最大值1,故B错误：作出函数/)的图象如下：由图象易知，函数”x)在y,y单调递增，最小正周期为故选项C正确，D错误.故选：AC.36. (2021上.福建福州.高一福建省福州第一中学校考期末)己知函数)=sin8sx+cossinx,其中国表示不超过实数X的最大整
24、数，关于/(力有下述四个结论其中所有正确结论的是()A.”的一个周期是2;TB.”可是偶函数C.力在(U)单调递减D.”的最大值大于近【答案】AD【解析】利用函数周期性的定义可判断A选项的正误；利用/(高和/图的值可判断B选项的正误；化简函数/(x)在(0,1)上的解析式，可判断C选项的正误；由/(O)的值可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，/(x+2r)=sincos(x+2,)+cossin(x+2)=sincosxcossinx=f(x),所以，函数f(x)的一个周期为2万，A选项正确；对于B选项，f(|=sin+cos=sin0+cos0=1,/(一?)=Sin+C0S=sinO+
25、cos(-l)=cos1,j5)*(/I?卜一/(?)所以,函数/U)不是偶函数B选项错误；对于C选项，当0时，0sinx应，D选项正确.故选：AD.【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的新定义一取整函数，解题时充分利用正弦函数、余弦函数的有界性化简函数解析式，在推导命题不成立时，可充分利用特殊值法来进行验证.37. (2023上.广东广州.高三统考阶段练习)已知函数f(x)=Asin(5+(A0e0,Mk)的部分图象如图所示,图象经过点(0,1)和点(-点。)，且f(x)在区间怎，9上单调，则()A.9=1B./(-卜一2C.*=弓D./x+,)+f(T)=O【答案】BD【分析】由函数/(力
26、的最小值可求出A的值，由/(0)=1结合题中信息可求出。的值，由函数的单调性可求出的值，可判断出AC选项，代值计算可判断B选项，利用函数/(x)的对称性可判断D选项.【详解】由图可知，/Wmin=-A=-2,可得A=2,所以，/(x)=2sin(5+03O,),又因为/(0)=2Sine=1,则sin*=g,(x+j(O),STr函数“X)在丸=0附近单调递减，所以，中耳,贝J(x)=2sin6一兀5Z),可得G = 6 + 5(eZ),因为函数力的图象过点0,则-=O/OO上单调，则占产，所以，即06+546,解得一*J,因为cZ,贝1=0,0=5,66所以，/(x)=2sin(5x+引，4
27、5 L 5 10 5x+0,tanxNO,sinxN0,所以f(x)=Sinr0,同理，当TgO时，/(x)=-sinx0,即工+辅时，/(x)(0)=0,故D正确.故选：ACD.39. (2023上湖南邵阳高三统考期中)关于函数/(x)=sin2x+cos2x,下列结论正确的是()A.f0)的最小正周期为:B.Ax)的最大值为2C./S)在0勺上单调递减D.X=W是/()的一条对称轴O【答案】AD【分析】依题意可得/(x)=J1+卜in4x,再根据正弦函数的性质判断即可.【详解】因为/(X)=sin2x+cos2x=sin22x+cos22x+2sin2xcos2x=Jl+卜in4x,所以f
28、卜+：)=J+sin4(+|=J+bin4H=f(x),所以/(x)的最小正周期为：，故A正确.当卜后4乂=1时/(力取最大值，且最大值为故B错误.当x0,弓时，4xe0,9,所以函数y=sin4x在0小上单调递增，.占L2L.X.故函数“可在I。，上单调递增，故C错误.O所以X=?是/(X)的一条对称轴，故D正确.O故选：AD三、填空题40. (2022上广东深圳高一校考期末)函数力=-3sin(g+1)的最小正周期是2,则/=.【答案】1【分析】利用周期公式直接构建关于参数的方程求解即可.【详解】因为函数/(力=-3加(8+方)的最小正周期是27：,所以可得育二2,解得0二1,故答案为：1.41. (2023上.福建厦门福三厦门大学附属科技中学校考阶段练习)已知函数x)=cosx+60,0e0,T=，则/(T)=COSGy把+p)=COS(2+*)=COSe=1，2又0*兀,：.(p=,吗)=0,cos管+至=0,
