《用导数解决函数的单调性极值最值的方法步骤.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《用导数解决函数的单调性极值最值的方法步骤.docx（9页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、用导数解决函数的单调性极值最值的方法步骤用导数解决函数的单调性、极值、最值的方法步骤 新疆奎屯市第一高级中学 特级教师 王新敞 极值是一个局部概念 由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小 并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小 函数的极值不是唯一的 即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个 极大值与极小值之间无确定的大小关系 即一个函数的极大值未必大于极小值. 函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点 而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点 用导数判别f(x0)是极大、极小值的思路: 若x0满足f(x
2、0)=0，且在x0的两侧f(x)的导数异号，则x0是f(x)的极值点，f(x0)是极值，并且如果f(x)在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f(x)的极大值点，f(x0)是极大值；如果f(x)在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f(x)的极小值点，f(x0)是极小值 求函数f(x)的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间，求导数f(x) (2)求方程f(x)=0的根 (3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即
3、都为正或都为负，则f(x)在这个根处无极值 在闭区间a,b上连续的函数f(x)在a,b上必有最大值与最小值；在开区间(a,b)内连续的函数f(x)不一定有最大值与最小值. 函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近函数值得出的 函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个 利用导数求函数的最值步骤:求f(x)在(a,b)内的极值；将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较得出函数f(x)在a,b上的最值 22例1 求列函数的极值：y=(x-1)(x-2)；y=22/2x-2 2x+12解：Qf(x)=(x-1)(x-2),
4、f(x)=(x-1)(5x-7)(x-2) /令f(x)=0，得驻点x1=1,x2=7,x3=2 5x f/(x) f(x) (-,1) + 1 0 极大 7(1,) 5- 7 50 极小 7(,2) 5+ 2 0 (2,+) + 7108是函数的极小值. f(1)=0是函数的极大值；f=-531252x2(1+x2)-2x2x2(1-x)(1+x)/Qf(x)=2 -2,f(x)=2222x+1(1+x)(1+x)令f/(x)=0，得驻点x1=-1,x2=1 x f/(x) f(x) (-,-1) - 极小-1 0 极大 极大(-1,1) + =-1值。 1 0 极小 (1,+) - 当x=
5、-1时，f=-3；当x=1时，f2-x 例2 设f(x)=(ax+x-1)e(e为自然对数的底，a为常数且a2即-a0，由表 a2x f(x) f + 2 0 极大值 1(-2,-) a -1 a1(-,+) a+ 0 极小值 1x=-时,f(x)取极小值. a111=2即a=-时,f(x)=-e-x(x-2)20无极值. a2211当-2即a-时，由表 a2111(-2,+) (-,-2) - x 2 aaa当-f(x) f + 0 极大值 0 极小值 + x=-2时,f(x)取极小值.综上,当-1211a0时,x=-时,f(x)取极小值 2a 当a-时,x=-2时,f(x)取极小值。 例3
6、 求抛物线y=12x上与点A(6,0)距离最近的点。 212解：设M(x,y)为抛物线y=x上一点， 2则|MA|=(x-6)2+y2=(x-6)2+14x。 4Q|MA|与|MA|2同时取到极值， 令f(x)=|MA|=(x-6)+2214x。 4由f/(x)=(x-2)(x2+2x+6)=0得x=2是唯一的驻点. |MA|+,f(x)+,x=2是f(x)的最小值点，当x-或x+时，此时x=2,y=122=2. 212即抛物线y=x上与点A(6,0)距离最近的点是. 2例4 设函数f=x2+1ax，其中a0，求a的范围，使函数f在区间0，+）上是单调函数. 分析：要使f在0，+）上是单调函数
7、，只需f在0，+）上恒正或恒负即可. 解：f=x1+x2a. 当x0时， 0x1+x21 x1+x2因为a0，所以当且仅当a1时，f= a在0，+）上恒小于0，此时f是单调递减函数. 点评：要使f在上单调，只需f在上恒正或恒负，即f0单调递增. 例5 已知函数f=ax3+bx23x在x=1处取得极值. 讨论f和f是函数f的极大值还是极小值； 过点A作曲线y=f的切线，求此切线方程. 解：f=3ax2+2bx3， 3a+2b-3=0,依题意，f(1)=f(1)=0，即 3a-2b-3=0.解得a=1，b=0. f=x33x，f=3x23=3. 令f=0，得x=1，x=1. 若x，则f0，故 f在上是增函数， f在上也是增函数. 若x，则f0，故f在上是减函数. 所以f=2是极大值，f=2是极小值. 曲线方程为y=x33x，点A不在曲线上. 设切点为M，则点M的坐标满足y0=x033x0. 因f=3，故切线的方程为yy0=3. 注意到点A在切线上，有 16=3， 化简得x03=8，解得x0=2. 所以切点为M，切线方程为9xy+16=0. 点评：本题考查函数和函数极值的概念，考查运用导数研究函数性质和求曲线切线的方法，以及分析和解决问题的能力.
