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1、一、函数单调性的充分条件,第三章导数的应用,第二节函数的单调性及其极值,二、函数的极值及其求法,定理 1设函数 y=f(x)在区间(a,b)内可微，,(1)若当 x(a,b)时，f(x)0，,则 f(x)在(a,b)内单调递增；,(2)若当 x(a,b)时，f(x)0，,则 f(x)在(a,b)内单调递减.,一、函数单调性的充分条件,证设 x1，x2 为(a,b)内的任意两点，,且 x1 x2，,则由拉格朗日中值定理有,其中 x(a,b).,(1)若当 f(x)0，,则 f(x)0，,于是,因为 x2 x1 0，,所以 f(x2)f(x1)0，,即当 x2 x1时，,f(x2)f(x1)，,可
2、知 f(x)在(a,b)内递增.,有,(2)对于 f(x)0 的情形,其证法与(1)的类似.,定理1的几何意义是：,确定某个函数的单调性的一般步骤是：,(1)确定函数的定义域；,(2)求出使 f(x)=0 和 f(x)不存在的点，,并以这些点为分界点,将定义域分为若干个子区间；,(3)确定 f(x)在各个子区间内的符号，,从而判定出 f(x)的单调性.,注意：如果函数的导数仅在个别点处为零，而在其余的点处均满足定理1的条件，那么定理1的结论仍然成立.,例 1求函数 f(x)=x3-3x 的单调区间,解(1)该函数的定义区间为(,)；,(2)f(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1)，,令f(
3、x)=0，得 x=-1，x=1，,它们将定义区间分为三个子区间：,(,-1)，,(-1,1)，,(1,)；,(3)因为当 x(,-1)时，f(x)0，,x(1,1)时，f(x)0，,x(1,+)时 f(x)0，,所以(,-1)和(1,)是 f(x)的递增区间，,(-1,1)是 f(x)的递减区间.,为简便直观起见，我们通常将上述讨论归纳为如下的表格：,解(1)该函数的定义区间为(，)；,例 2,此外，显然 x=0 为 f(x)的不可导点，,分定义区间为三个子区间,(,0)，,亦可如例 1 那样，以下表表示 f(x)的单调性：,定义 1设函数 y=f(x)在 x0 的一个邻域内有定义，,若对于该
4、邻域内异于 x0 的 x 恒有,(1)f(x0)f(x)，,则称 f(x0)为函数 f(x)的极大值，,x0 称为 f(x)的极大值点；,(2)f(x0)f(x)，,则称 f(x0)为函数 f(x)的极小值，,x0 称为 f(x)的极小值点；,函数的极大值、极小值统称为函数的极值，,极大值点、极小值点统称为极值点.,二、函数的极值及其求法,显然，在图中，x1，x4 为 f(x)的极大值点，,x2，x5 为 f(x)的极小值点.,定理 2(极值的必要条件),设函数 y=f(x)在 x0 处可导，,且 f(x0)为极值(即 x0 为值点)，则,f(x0)=0.,当x0 x N(x0,)时，,f(x
5、0 x)-f(x0)0(x 0)，,因此，当 x 0 时，,有,当 x 0 时，,有,有,证(1)设 f(x0)为极大值，,则由定义 1 可知，必存在 x0 的一个邻域 N(x0,)，,所以 f(x)在该点处的左、右导数存在且相等，即 f-(x0)=f+(x0)，,因此，f(x0)=0.,由于,因为 f(x)在 x0 处可微，,(2)f(x0)为极小值情形的证明是类似的，从略.,定理 2 的几何意义是：,可微函数的图形在极值点处的切线与 Ox 轴平行.,定理 2 的重要意义在于：,对于可微函数来讲，,其极值点必在导数为零的那些点之中.,今后，我们称导数为零的点为驻点.,函数可能在其导数为零的点
6、，或者是在连续但不可导的点处取得极值.,定理 3(极值的第一充分条件),设函数 y=f(x)在 x0 的一个邻域内可微(在 x0 处可以不可微，但必须连续)，,若当 x 在该邻域内由小于 x0 连续地变为大于 x0 时，,其导数 f(x)改变符号，,则 f(x0)为函数的极值.,x0 为函数的极值点，,并且,(1)若导数 f(x)由正值变成负值，,则 x0 为极大值点，,f(x0)为 f(x)的极大值；,(2)若导数 f(x)由负值变成正值，,则 x0 为极小值点，,f(x0)为 f(x)的极小值.,证设所述邻域为 N(x0,)，且 x N(x0,)，,(1)若 f(x)由正变负，,即当 x(
7、x0-,x0)时，f(x)0，,当 x(x0,x0+)时，f(x)0，,则在(x0-,x0)内 f(x)递增，,在(x0,x0+)内递减，,又因为 f(x)在 x0 处连续，,所以当 x N(x0,)时恒有,f(x0)f(x)，,即 f(x0)为 f(x)的极大值，x0 为 f(x)的极大值点.,若 f(x)在 x0 处可导且 f(x0)=0，,但 f(x)在 x0 的两侧同号，,则 x0 不是 f(x)的极值点，,f(x)在 x0 处不是极值.,(2)f(x)由负变正的情形可类似地证明.从略.,定理 4(极值的第二充分条件),(1)当 f(x0)0 时，则 x0 为极小值点，f(x0)为极小
8、值；,(2)当 f(x0)0 时，则 x0 为极大值点，f(x0)为极大值.,若 f(x0)=0，且 f(x0)0，,则 x0 是函数的极值点，f(x0)为函数的极值，,并且,设函数 y=f(x)在 x0 处的二阶导数存在，,运用定理 3 求函数极值的一般步骤是：,(1)确定定义域，并找出所给函数的驻点和导数不存在的点；,(2)考察上述点两侧导数的符号，确定极值点；,(3)求出极值点处的函数值，得到极值.,运用定理 4 求函数极值的一般步骤是：,(1)确定定义域，并求出所给函数的全部驻点；,(2)考察函数的二阶导数在驻点处的符号，确定极值点；,(3)求出极值点处的函数值，得到极值.,例 3求函
9、数 f(x)=(x-1)2(x-2)3 的极值.,解(1)定义域为(-,+).,f(x)=(x-1)(x-2)2(5x-7).,所以由 f(x)=0 可得 f(x)的三个驻点：,该函数在定义区间内无不可导的点，,上述驻点将定义区间分为四个子区间,(2)当 x(-,1)时，f(x)0；,f(x)0；,当 x(2,+)时，f(x)0.,因此，由定理 3 可知，x=1 为极大值点，,x=2 不是极值点(因为在 x=2 的两侧 f(x)同为正号).,(3)计算极值,极大值 f(1)=(1-1)2(1-2)3=0，,有时，可以将整个解题过程以表格形式表示：,解所给函数的单调性在例 2 中已讨论过.,可得到本题表格形式的解答：,例 4求函数 f(x)=(x-1)3 的极值.,例 5求函数 f(x)=x4 10 x2+5 的极值.,因为,解(1)定义域为(-,+).,f(x)=4x3 20 x=4x(x2-5)，,所以，由 f(x)=0 可得该函数的三个驻点,所以有,由定理 4 可知：,(2)因为,f(x)=12x2 20，,(3)计算极值：,例 6求函数 f(x)=(x2 1)3+1 的极值.,由,解(1)定义域为(-,+).,f(x)=6x(x2-1)2，得知 f(x)的驻点为,（2）由,f(x)=6(x2-1)(5x2-1)，,从而由定理4推知 x=0为极小点，,
