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1、,第四节,一、函数单调性的判定法,四、曲线的凹凸性与拐点,函数的单调性、凹凸性与极值 利用导数研究函数,第三章,二、函数的极值及其求法,三、最大值与最小值问题,一、函数单调性的判定法,若,定理 1.设函数,则 在 I 内单调递增,(递减).,证:无妨设,任取,由拉格朗日中值定理得,故,这说明 在 I 内单调递增.,在开区间 I 内可导,证毕,例1.确定函数,的单调区间.,解:,令,得,故,的单调增区间为,的单调减区间为,说明:,单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点.,例如,2)如果函数在某驻点两边导数同号,则不改变函数的单调性.,例如,例2.证明,时,不等式,证:令,从而,因此,且,
2、证,证明,*证明,令,则,从而,即,定义1:,在其中当,时,(1),则称 为 的极大值点,称 为函数的极大值;,(2),则称 为 的极小值点,称 为函数的极小值.,极大值点与极小值点统称为极值点.,二、函数的极值及其求法,注意:,为极大值点,为极小值点,不是极值点,对常见函数,函数极值的可能点集合为：驻点，不可导点,1)函数的极值是函数的局部性质.,例如,为极大值点,是极大值,是极小值,为极小值点,函数,定理 2(极值第一判别法),且在空心邻域,内有导数,(自证),点击图中任意处动画播放暂停,例3.求函数,的极值.,解:,1)求导数,2)求极值可疑点,令,得,令,得,3)列表判别,是极大值点，
3、,其极大值为,是极小值点，,其极小值为,定理3(极值第二判别法),二阶导数,且,则 在点 取极大值;,则 在点 取极小值.,证:(1),存在,由第一判别法知,(2)类似可证.,例4.求函数,的极值.,解:1)求导数,2)求驻点,令,得驻点,3)判别,因,故 为极小值;,又,故需用第一判别法判别.,三、最大值与最小值问题,则其最值只能,在极值点或端点处达到.,求函数最值的方法:,(1)求 在 内的极值可疑点,(2)最大值,最小值,特别:,当 在 内只有一个极值可疑点时,当 在 上单调时,最值必在端点处达到.,若在此点取极大 值,则也是最大 值.,(小),对应用问题,有时可根据实际意义判别求出的可
4、疑点,是否为最大 值点或最小值点.,(小),例5.求函数,在闭区间,上的最大值和最小值.,解:显然,且,故函数在,取最小值 0;,存在一个取得最大利润的生产水平?如果存在,找出它来.,售出该产品 x 千件的收入是,例6.设某工厂生产某产品 x 千件的成本是,解:售出 x 千件产品的利润为,问是否,故在 x2=3.414千件处达到最大利润,而在 x1=0.586千件处发生局部最大亏损.,说明：在经济学中,称为边际成本,称为边际收入,称为边际利润,由此例分析过程可见,在给出最大利润的生产水平上,即边际收入边际成本,（见右图）,即,收益最大,亏损最大,定义2.设函数,在区间 I 上连续,(1)若恒有
5、,则称,图形是凹的;,(2)若恒有,则称,图形是凸的.,四、曲线的凹凸与拐点,连续曲线上有切线的凹凸分界点称为拐点.,拐点,定理4.(凹凸判定法),(1)在 I 内,则 f(x)在 I 内图形是凹的;,(2)在 I 内,则 f(x)在 I 内图形是凸的.,证:,利用一阶泰勒公式可得,两式相加,说明(1)成立;,(2),设函数,在区间I 上有二阶导数,证毕,例7.判断曲线,的凹凸性.,解:,故曲线,在,上是向上凹的.,说明:,1)若在某点二阶导数为 0,2)根据拐点的定义及上述定理,可得拐点的判别法如下:,若曲线,或不存在,的一个拐点.,则曲线的凹凸性不变.,在其两侧二阶导数不变号,例8.求曲线
6、,的拐点.,解:,不存在,因此点(0,0)为曲线,的拐点.,凹,凸,对应,例9.求曲线,的凹凸区间及拐点.,解:1)求,2)求拐点可疑点坐标,令,得,3)列表判别,故该曲线在,及,上向上凹,向上凸,点(0,1)及,均为拐点.,凹,凹,凸,作 业,第三节,P84页 练习题3.1 1,2,3.P87-88页 练习题3.2 1,2,3.P92-93页 练习题3.3 3.P103-104页 综合习题三 4,6,9.,内容小结,1.可导函数单调性判别（条件是充要的）,在 I 上单调递增,在 I 上单调递减,2.曲线凹凸与拐点的判别,拐点,连续曲线上有切线的凹凸分界点,内容小结,3.连续函数的极值,(1)
7、极值可疑点:,导数为0 或导数不存在的点,(2)第一充分条件,过,由正变负,为极大值,过,由负变正,为极小值,(3)第二充分条件,为极大值,为极小值,定理3,注：当这些充分条件不满足时,不等于极值不存在.,最值点应在极值点和边界点上找;,应用题可根据问题的实际意义判别.,4.连续函数的最值,试问,为何值时,在,时取得极值,还是极小.,解:,由题意应有,又,1.,求出该极值,并指出它是极大,即,2.设,是方程,的一个解,若,且,(A)取得极大值;,(B)取得极小值;,(C)在某邻域内单调增加;,(D)在某邻域内单调减少.,提示:,A,证明:,当,时,有,证明:令,则,是凸函数,即,3.,(自证),第五节,
