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1、1,主讲教师:王升瑞,高等数学,第十八讲,2,第九节,一、函数的单调性,二、函数的极值及其求法,函数的单调性与极值,第二章,3,一、函数的单调性,若,定理 1.设函数,则 在 I 内单调递增,(递减).,证:无妨设,任取,由拉格朗日中值定理得,故,这说明 在 I 内单调递增.,在开区间 I 内可导,证毕,I 称为单调递增(递减)区间。,4,例1.确定函数,的单调区间.,解:,令,得,故,的单调增区间为,的单调减区间为,为驻点,5,说明:,单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点.,例如,2)如果函数在某驻点两边导数同号,则不改变函数的单调性.,例如,6,例2 证明,证：令,令,从而,成立
2、,7,例3.证明,证:设,则,故,时,单调增加,从而,即,思考:证明,时,如何设辅助,函数更好?,提示:,8,例4 求证,证法一：设,当,时,当,时,综上可知，无论,为什么值，总有,则不等式,成立。,当,时,9,例4 求证,证法2：设,则无论,为什么值，总有,则不等式,成立,对 f(x)在 0 与 x 之间应用拉格朗日中值定理，有,式中,在 0 与 x 之间，由于,与 x 同号，,10,例5 证明,在,证明,令,在,上利用拉格朗日中值定理得,故当,时，,从而,在,内单调增加。,内单调增加。,此函数为幂指函数，两边取对数,11,例5 证明方程,在区间(0,1)内有且仅有一个实根。,证明：设,在区
3、间0,1 上连续，,由零点定理，,使,即,的根存在。又,单调增加。,的图形至多与 x轴有一个交点，,所以方程仅有唯一解。,12,二、函数的极值及其求法,定义:,在其中当,时,(1),则称 为 的极大点,称 为函数的极大值;,(2),则称 为 的极小点,称 为函数的极小值.,极大点与极小点统称为极值点.,13,注意:,为极大点,为极小点,不是极值点,2)对常见函数,极值可能出现在导数为 0 或 不存在的点.,1)函数的极值是函数的局部性质.,例如(P146例4),为极大点,是极大值;,是极小值.,为极小点,14,定理2（极值存在的必要条件）,如果,在x0处可导，且在x0处取得极值，则,（证明略）
4、,使,的点称为函数,的驻点。,定理2告诉我们，可导函数的极值点必定是驻点，,但驻点未必是极值点。,寻求函数的极值点首先要找,的驻点以及不可导的点，再判断其是否为,极值点。,15,定理 3(极值第一判别法),且在空心邻域,内有导数,(自证),点击图中任意处动画播放暂停,0,为极小值,为极小点,如：,16,例1.求函数,的极值.,解:,1)求导数,2)求极值可疑点,令,得,令,得,3)列表判别,是极大点，,其极大值为,是极小点，,其极小值为,17,定理4(极值第二判别法),二阶导数,且,则 在点 取极大值;,则 在点 取极小值.,证:(1),存在,由第一判别法知,(2)类似可证.,18,例2.求函
5、数,的极值.,解:1)求导数,2)求驻点,令,得驻点,3)判别,因,故 为极小值;,又,故需用第一判别法判别.,19,试问,为何值时,解:,由题意应有,又,取得极大值为,并求出该极值。,指出它是极大还是极小，,例3,20,内容小结,1.可导函数单调性判别,在 I 上单调递增,在 I 上单调递减,2.连续函数的极值,(1)极值可疑点:,使导数为0 或不存在的点,(2)第一充分条件,过,由正变负,为极大值,过,由负变正,为极小值,(3)第二充分条件,为极大值,为极小值,21,思考与练习,1.设,则在点 a 处().,的导数存在,取得极大值;,取得极小值;,的导数不存在.,B,提示:利用极限的保号性
6、.,22,2.设,(A)不可导;,(B)可导,且,(C)取得极大值;,(D)取得极小值.,D,提示:利用极限的保号性.,23,3.设,是方程,的一个解,若,且,(A)取得极大值;,(B)取得极小值;,(C)在某邻域内单调增加;,(D)在某邻域内单调减少.,提示:,A,24,作业,P149 1（1）（2）；2；3(2)(4);4；5(2),(3)(6);6；7；8.,25,思考与练习,上,则,或,的大小顺序是(),提示:利用,单调增加,及,B,1.设在,26,.,2.曲线,的凹区间是,凸区间是,拐点为,提示:,及,;,;,27,4、设函数,由方程,所确定，求,的极值。,令,得,代入原方程得,由,，所以函数,在,处有极小值,解 方程两边同时对x求导整理得,28,9、设函数,在,内连续，,在,内存在，且,，证明当,时，函数,单调增加。,因,，故,单调增加，因此,从而知,单调增加。,解,
