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1、3.4.1 函数单调性的判定法,3.4.2 函数的极值及其求法,3.4 函数的单调性和极值,3.4.3 最大值与最小值问题,3.4.1 函数单调性的判定法,如图所示,单调递增,曲线上各点处的切线斜率是非负的,单调递减,曲线上各点处的切线斜率是非正的,若,设函数,则 在I内单调递增,(递减).,证明 无妨设,任取,由拉格朗日中值定理得,故,这说明 在 I 内单调递增.,在开区间I内可导,证毕,定理,例1 确定函数,的单调区间.,解,令,得,故,的单调增区间为,的单调减区间为,注,(1)单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点.,例如,(2)如果函数在某驻点两边导数同号,则不改变函数的单调性
2、.,例如,讨论函数的单调性可按下列步骤进行:,(1)确定连续函数,的定义域;,(2)求出,(3)判断,在每个区间内的符号,就可以确定,出函数,的单调区间.,证明 令,则,由于,得证!,3.4.2 函数的极值及其求法,定义,在其中当,时,(1),则称 为 的极大点,称 为函数的极大值;,(2),则称 为 的极小点,称 为函数的极小值.,极大点与极小点统称为极值点.,注,为极大点,为极小点,2)对常见函数,极值可能出现在导数为 0 或不存在的点.,1)函数的极值是函数的局部性质.,例如(例1),为极大点,是极大值,是极小值,为极小点,定理 3.4.2(第一充分条件),且在空心邻域,内有导数,(1)
3、如果,处取得极大值。,(2)如果,处取得极小值。,(3)如果,处没有极值。,求极值的步骤:,例3求函数,的极值.,解,1)求导数,2)求极值可疑点,令,得,令,得,3)列表判别,是极大点，,其极大值为,是极小点，,其极小值为,定理(第二充分条件),二阶导数,且,则 在点 取极大值;,则 在点 取极小值.,证:(1),存在,由第一判别法知,(2)类似可证.,例4 求函数,的极值.,解 1)求导数,2)求驻点,令,得驻点,3)判别,因,故 为极小值;,又,故需用第一判别法判别.,试问,为何值时,还是极小.,解,由题意应有,又,取得极大值为,例5,求出该极值,并指出它是极大,例6(隐函数的极值)设,
4、求由方程,所确定的函数 在 内的极值点.,解,(1),(2),(3),例7(参数方程所表示的函数的极值)求由参数方程,解,由于,又因为,所以,3.4.3 最大值与最小值问题,则其最值只能,在极值点或端点处达到.,求函数最值的方法:,(1)求 在 内的极值可疑点(各驻点或不可导点),(2)最大值,最小值,情形1:,例8 求函数,在闭区间,上的最大值和最小值.,解 显然,且,故函数在,取最小值 0;,当 在区间内可导只有一个极值驻点时,若在此点取极大 值,则也是最大 值.,(小),在应用问题 往往会遇到这种情形.,(小),情形2:,例9 把一根直径为 d 的圆木锯成矩形梁,问矩形截面,的高 h 和
5、 b 应如何选择才能使梁的抗弯截面模量最大?,解 由力学分析知矩形梁的抗弯截面模量为,令,得,从而有,即,由实际意义可知,所求最值存在,驻点只一个,故所求,结果就是最好的选择.,这时如果函数 在区间内部只有一个,在应用问题中,往往根据问题的性质就可以,情形3:,判断,内部取得,确有最大值或最小值,而且一定在定义区间,驻点,就可以判定,是最大值或最小值.,解,例10,小结,2.连续函数的极值,(1)极值可疑点:,使导数为0 或不存在的点,(2)第一充分条件,过,由正变负,为极大值,过,由负变正,为极小值,在I 上单调递增,在I 上单调递减,1.可导函数单调性判别,(3)第二充分条件,为极大值,为极小值,最值点应在极值点和边界点上找;,应用题可根据问题的实际意义判别.,3.连续函数的最值,1.设,则在点 a 处().,的导数存在,取得极大值;,取得极小值;,的导数不存在.,B,提示:利用极限的保号性.,思考,2.设,在,的某邻域内连续,且,(A)不可导;,(B)可导,且,(C)取得极大值;,(D)取得极小值.,D,提示:利用极限的保号性.,3.设,是方程,的一个解,若,且,(A)取得极大值;,(B)取得极小值;,(C)在某邻域内单调增加;,(D)在某邻域内单调减少.,提示:,A,作业,P116 1;2;4;5;6;8;9,
