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1、椭圆的简单几何性质（2）,椭圆的第二定义,|x|a,|y|b,关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称,|x|b,|y|a,(a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b),(c,0)、(-c,0),长半轴长为a,短半轴长为b.ab,a2=b2+c2,(b,0),(-b,0),(0,a),(0,-a),(0,c)、(0,-c),标准方程,范围,对称性,顶点坐标,焦点坐标,半轴长,离心率,a,b,c的关系,图形,(0,1),椭圆的几何性质,准线方程,y=,例6、点M（x,y）与定点F（4，0）的距离和它到直线l:的距离的比是常数，求点M的轨迹。,解：,设d是点M到直线l：的距离，,根据题意，
2、点M的轨迹就是集合,由此得,将上式两边平方，并化简得,即,所以，点M的轨迹是长轴、短轴长分别为10、6的椭圆。（如图）,M,F,H,l,观察画图，你能得到什么结论？,信息技术画图1,信息技术画图2,当点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个常数,时,这个点的轨迹是椭圆,这叫做椭圆的第二定义,定点是椭圆的焦点,定直线叫做椭圆的准线，,常数e是椭圆的离心率.,对于椭圆,相应与焦点,的准线方程是,由椭圆的对称性,相应与焦点,的准线方程是,能不能说M到F(-c,0)的距离与到直线的距离比也是离心率e呢?,“三定”：定点是焦点；定直线是准线；定值是离心率。,由椭圆第二定义知,注:所用焦点要与
3、准线同侧,焦点在y轴的同理可得.,|MF2|=e|MB|=e(a2/c-x0)=a-ex0,|MF1|=e|MA|=ex0-(-a2/c)=a+ex0,下焦半径|PF1|=a+ey0,上焦半径为|PF2|=a-ey0,(2)点p(x0,y0)的在椭圆,左焦半径为|MF1|=a+ex0，右焦半径为|MF2|=a-ex0,(1)点M(x0，y0)在椭圆,椭圆的焦半径公式,上，,上,（焦半径：椭圆上任意点到焦点的距离）,椭圆中的特殊三角形及通径,a,b,c,椭圆的通径：,过焦点且垂直于焦点所在的轴的直线被椭圆所截得的线段长度。,A,B,AB=,D,在RtOFD中，,如图的AB,点P(x0,y0)与圆
4、C:(x-a)2+(y-b)2=r2 的位置关系有：,点在圆C外,点在圆C内,点在圆C上,(x-a)2+(y-b)2,r2,=r2,r2,C,P,P,P,(3)点P在椭圆外,则,(2)点P在椭圆上,则,(1)点P在椭圆内,则,的关系:,8.点(x0,y0)和椭圆,复习点与圆的位置关系,例7、已知椭圆，直线l:4x-5y+40=0，椭圆上是否存在 一点，它到直线l的距离最小？最小距离是多少？,解：,由直线l的方程与椭圆的方程可以知道，直线l与椭圆不相交，,设直线m平行于直线l，则直线m的方程可以写成,4x-5y+k=0,由方程组,消去y，得,25x2+8kx+k2-225=0,令方程的根的判别式
5、0，得,解方程得,64k2-425(k2-225)=0,k1=25,或k2=-25,由图可知，当时直线m与椭圆的交点到直线l的距离最近，此时直线m的方程为。直线m与直线l间的距离,所以,最小距离是,m,l,F2,F1,m,最大距离是多少？,椭圆与直线的关系？,怎么判断它们之间的位置关系？,问题1：直线与圆的位置关系有哪几种？,dr,dr,d=r,0,0,=0,几何法：,代数法：,相离,相切,相交,问题3：怎么判断它们之间的位置关系？能用几何法吗？,问题2：椭圆与直线的位置关系？,不能！,所以只能用代数法,-求解直线与二次曲线有关问题的通法。,因为他们不像圆一样有统一的半径。,相离,相切,相交,
6、例1、已知直线y=x-与椭圆x2+4y2=2，判断它们的位置关系。,解：联立方程组,消去y,0,因为,所以，方程（）有两个根，,那么，相交所得的弦的弦长是多少？,弦长公式：,则原方程组有两组解.,-(1),由韦达定理,小结：椭圆与直线的位置关系及判断方法,判断方法,这是求解直线与二次曲线有关问题的通法。,0,=0,0,（1）联立方程组,（2）消去一个未知数,（3）,1、直线与圆相交的弦长,A（x1,y1）,小结：直线与二次曲线相交弦长的求法,d,r,2、直线与其它二次曲线相交的弦长,（1）联立方程组,（2）消去一个未知数,（3）利用弦长公式:,|AB|=,k 表示弦的斜率，x1、x2、y1、y
7、2表示弦的端点坐标，一般由韦达定理求得|x1-x2|与|y1-y2|,通法,B（x2,y2）,=,设而不求,|PB|=|PA|=3,解:,补例1：如图，等腰RtAPB的一条直角边AP在y轴上，A点 在x轴下方，B点在y轴右方，斜边AB的边长为32，,若点P的坐标为(0，1)，求椭圆C的方程；,且A B两点均在椭圆C：,(ab0)上,由题意可得,B(3,1),A(0,-2),代入椭圆方程可得,解得,所求椭圆C的方程为,例2：已知椭圆E的两个焦点分别为F1（-1，0）、F2（1，0），,（1）求椭圆E的方程；（2）若点P在椭圆E上，且满足PF1PF2=t,求实数t的取值范围。,点C（1，3/2）在
8、椭圆E上。,解：,依题意,设椭圆E的方程为,由已知半焦距c=1,a2-b2=1,点C（1，3/2）在椭圆E上,解得a2=4,b2=3,椭圆E的方程为,（1）法1：,（1）法2：,依题意,设椭圆E的方程为,点C（1，3/2）在椭圆E上,2a=|CF1|+|CF2|=4,即a=2,由已知半焦距c=1,b2=a2-c2=3,椭圆E的方程为,解:(2),设P(x0,y0),由,得,(-1-x0,-y0)(1-x0,-y0)=t,即x02+y02=t+1,点P在椭圆上,由得y02=t+1-x02,代入，并整理得x02=4(t-2),由知，0 x04,结合解得，2t3,实数t的取值范围国2，3,例2：已知椭圆E的两个焦点分别为F1（-1，0）、F2（1，0），,（1）求椭圆E的方程；（2）若点P在椭圆E上，且满足PF1PF2=t,求实数t的取值范围。,点C（1，3/2）在椭圆E上。,应用：,1、求下列椭圆的准线方程：x24y24,2.已知P是椭圆 上的点,P到右准线的距离为8.5,则P到左焦点的距离为_.,3、已知P点在椭圆 上，且P到椭圆左、右焦点的距离之比为1:4，求P到两准线的距离.,4、求中心在原点、焦点在x轴上、其长轴端点与最近的焦点相距为1、与相近的一条准线距离为 的椭圆标准方程。,小结本节内容,
